北京市延庆区2021届高三模拟考试数学试题（word版 含答案）

北京市延庆区2021届高三模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

2．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（    ）

A． B． C．是递减数列 D．存在最小值

3．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形，侧(左)视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（    ）

A． B．

C． D．

6．在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

7．已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8．设为所在平面内一点，，则（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的血液中酒精含量为，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到的即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（    ）

（参考数据：）

A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时

二、填空题

11．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．

12．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为______．

13．在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是______．

14．已知的面积为，，则=____．

15．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______．

①如果，那么函数为奇函数；

②如果，那么为单调函数；

③如果，那么函数没有零点；

④如果那么函数的最小值为2．

三、解答题

16．已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：

（1）的值；

（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．

条件①：的最大值为2；条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

17．如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面为矩形，且侧面底面，，分别是的中点.

（Ⅰ）求证平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值

18．2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．

（1）①若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

②若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

（2）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望．

19．已知函数．

（1）求曲线的斜率等于的切线方程；

（2）求函数的极值；

（3）设，判断函数的零点个数，并说明理由．

20．已知椭圆经过点，离心率．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．

21．若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”．

（1）若具有性质“”，且，，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；

（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，求证：具有性质“”．

参考答案

1．D

【分析】

根据补给和并集的定义求解即可.

【详解】

易知，则.

故选：D.

2．B

【分析】

根据等比数列的性质分别进行判断即可.

【详解】

A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误；

B：成立，B选项正确；

C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误；

D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误；

故选：B.

3．B

【分析】

设出坐标，根据长度以及抛物线的焦半径公式求解出的值，则的横坐标可求.

【详解】

设，因为，

所以，

所以，

故选：B.

【点睛】

结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

4．A

【分析】

分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.

【详解】

；；

易知集合是的真子集，故是充分不必要条件.

故选：A.

5．A

【分析】

由三视图可以得到四棱锥中侧棱面，底面是直角梯形，所以根据棱锥的体积公式计算即可.

【详解】

由三视图可得几何体是如图所示的四棱锥：

其中面,

底面是直角梯形，其中,,

所以底面ABCD面积为，

所以.

故选：A.

【点睛】

(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

6．B

【分析】

由直线方程得直线横过定点，再将求半径最值转化为求点到直线距离的最值问题.

【详解】

由直线方程可得该直线横过定点，

又由相切可得该圆的半径等于圆心到直线的距离，

最大值为，

故选：B.

【点睛】

处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

7．A

【分析】

首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.

【详解】

由题得.

函数是上的增函数.

因为，，

所以，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】

方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小.

8．B

【分析】

利用向量减法的三角形法则的逆运算，将化为以为始点的向量即可得解.

【详解】

因为，所以，

所以.

故选：B

9．A

【分析】

作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.

【详解】

在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，

观察的区域，

由图象可知，在区间和上

，由此的解集.

故选：A

10．D

【分析】

根据题意求出经过小时后，他血液中酒精含量，再根据不构成酒驾行为的定义列式，利用指数函数的单调性，结合参考数据可求得结果.

【详解】

依题意可知，在停止喝酒且经过小时后，他血液中酒精含量为，

要想不构成酒驾行为，必有，即，

因为为减函数，所以当时，，不符合题意，

当时，，不符合题意，

当时，，符合题意，

所以要想不构成酒驾行为，那么他至少经过10小时.

故选：D

11．

【分析】

利用复数的乘法运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【详解】

解：复数是纯虚数，

，且，解得：.

故答案为：.

12．

【分析】

由条件可得直线过点，然后可得，然后可得答案.

【详解】

双曲线的渐近线方程为

所以直线过点，代入可得

所以

故答案为：

13．

【分析】

在二项式的展开式中，只需要使的指数幂为偶数即可使该系数为有理数.

【详解】

该二项式的通式为，故时，系数为有理数，有4个.

故答案为：4.

14．

【分析】

利用面积公式求得a的值，利用余弦定理求得b的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.

【详解】

,   

，解得,

所以，

∴,

∴,

故答案为：.

【点睛】

本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化.

15．②③

【分析】

利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论.

【详解】

对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误.

对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确.

对③：当时，函数，

当时，函数；

综上：如果，那么函数没有零点；故③正确.

对④：由，则，

当时，函数；

当时，函数；

故时，函数没有最小值；故④错误.

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性和最值的应用，考查基本不等式，考查指数函数的性质，属于中档题.

16．选择见解析；（1）；（2）单调增区间为．

【分析】

（1）选择①：利用三角恒等变换化简函数解析式，进而根据最值求得的值；选择②：代入直接求解即可；

（2）根据三角函数伸缩平移变换可得函数解析式，进而求得其单调递增区间.

【详解】

解：（1）选择①：因为

所以，其中，

所以，又因为，所以．

选择②：，所以．

（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）

（2）因为

所以

则，

，

所以函数的单调增区间为

(一个都没写的扣一分)

17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）连结，利用线线平行证明线面平行；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面法向量。进而求得二面角余弦值.

【详解】

（Ⅰ）证明：连结.

因为分别为的中点，

所以，且.

又因为为的中点，所以.   

由题设知且，

可得且，

故且

因此四边形为平行四边形，.

又平面，所以平面.    

（Ⅱ）因为底面是正方形，

所以，

又因为侧面底面，且侧面底面，

所以平面，所以，，

又因为侧面为矩形，所以，

如图建立空间直角坐标系，

其中，，，，

且，，

因为平面，所以平面，

故为平面的一个法向量，

设为平面的法向量，则

即 ，不妨设，可得．         

所以，         

因为二面角的平面角是钝角，

所以二面角的余弦值.

【点睛】

本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．

(2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

18．（1）①；②；（2）分布列见解析；期望为．

【分析】

（1）①先根据分步乘法计数原理计算出“每天随机观看一个项目”对应的情况数，然后分析“看到冰壶和冰球”的情况数，由此求解出对应概率；

②先根据分步乘法计数原理计算出“每天随机观看一场决赛”对应的情况数，然后分析“决赛恰好在同一赛区”的情况数，由此求解出对应概率；

（2）先分析随机变量的可取值，然后利用组合数计算出取不同值时对应的概率，由此得到的分布列，并结合期望的计算公式求解出.

【详解】

解：（1）①记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶和冰球”为事件．

由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同情况，

其中恰好看到冰壶和冰球，共有种不同情况，

所以．

②记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件．

由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同情况，

其中两场决赛恰好在北京赛区共有种不同情况，在张家口赛区共有种不同情况，

所以．

（2）随机变量的所有可能取值为．

根据题意，，

，

．

随机变量的分布列是：

数学期望．

【点睛】

思路点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：

（1）分析随机变量的可取值；

（2）计算随机变量取不同值时对应的概率；

（3）根据公式求解出期望值.

19．（1）；（2）极小值，无极大值；（3）函数有三个零点；理由见解析．

【分析】

（1）根据导数的几何意义可求得结果；

（2）根据极值的定义，利用导数可求得结果；

（3），利用导数得到的单调性，结合零点存在性定理可得有2个零点，而函数在上有唯一零点，且3个零点互不相等，所以有3个零点.

【详解】

（1）设切点为，因为，

所以，，，

所以切线方程为，即．

（2）的定义域为．

令即，，

令，得，令，得，故在上单调递减，

在上单调递增，

所以存在极小值，无极大值，

（3）函数有三个零点，理由如下：

由（2）知在上单调递减，在上单调递增，

由且，，

所以存在唯一，使得，

又因为，，

且三个零点互不相同，所以函数有三个零点．

【点睛】

方法点睛：判断函数零点个数的常用的方法：

（1）直接法：直接解方程得到方程的根，可得函数零点的个数；

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

20．（1）；（2）或为等差数列；证明见解析．

【分析】

（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；

（2）设的斜率为，则直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再利用韦达定理化简得，即得解.

【详解】

解：（1）由点在椭圆上得，①，．

又②．

由①②得，．

故椭圆的标准方程为．

（2）或能构成一个等差数列．

椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，

设的斜率为，则直线的方程为③．

代入椭圆方程，整理得，易知．

设，则有④．

在方程③中，令，得，从而，

因为

=⑤，

将④代入⑤得．

而，所以，即为、的等差中项，

所以或为等差数列．

【点睛】

方法点睛：关于直线和椭圆的位置关系问题，经常要联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理来化简求解.

21．（1）；（2）不具有性质“”；答案见解析；（3）证明见解析．

【分析】

（1）由已知定义可得，．由此可求得答案；

（2）由已知求得，．假设具有性质“”，推出矛盾可得结论；

（3）由已知得，．，．由此可得，，可得结论.

【详解】

解：（1）因为具有性质“”，所以，．

由，得，由，得，

因为，所以，即；

（2）不具有性质“”．．．

由等比数列的公比为，由，得，故

设等差数列的公差为，由，，

得，由，所以，故．．．

所以．若具有性质“”，则，．

因为，，所以，故不具有性质“”

（3）因为具有性质“”，所以，．①

因为具有性质“”，所以，．②

因为，，所以由①得；由②，得，

所以，即．．．

由①②，得，，

所以，，．．

所以具有性质“”.

【点睛】

关键点点睛：在解决数列的新定义问题时，关键在于紧抓数列的定义，运用等差数列和等比数列的性质得以解决.