北京市延庆区2021届高三下学期3月第一次模拟考试数学试题 Word版含答案

延庆区高三模拟考试试卷

数学 2021.3

本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，，则=

（A） （B） （C） （D）

2．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是

（A） （B）（C）是递减数列（D）存在最小值

3．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为

（A）（B）（C）（D）

4．设，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是直角三角形,俯视图是直角梯形,则该四棱锥的体积是

（A）（B）

（C）（D）

6．在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为

（A） （B） （C） （D）

7．已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为

（A）（B）（C）（D）

8．设为所在平面内一点，，则

（A） （B）

（C） （D）

9．已知函数 则不等式的解集是

 （A）（B） （C） （D）

10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的血液中酒精含量为，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到的即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过

（参考数据：）

（A）4小时（B）6小时（C）8小时（D）10小时

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．

12．已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为.

13．在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是___________．

14．已知的面积为，，则=.

15．同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是.

①如果，那么函数为奇函数；

②如果,那么为单调函数；

③如果，那么函数没有零点；

④如果那么函数的最小值为2.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题共13分）

已知函数(),再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间.

条件①：的最大值为2；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17．（本小题共14分）

如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面为矩形，且侧面底面，，分别是的中点.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

18．（本小题共14分）

2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日～2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目。下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.

（Ⅰ）(i)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

(ii)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

（Ⅱ）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记为赛区的个数，求的分布列及期望.

19．（本小题共15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）设，判断函数的零点个数，并说明理由.

20．（本小题共15分）

已知椭圆经过点，离心率.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．

21．（本小题共14分）

若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.

（Ⅰ）若具有性质“”，且，，求；

（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；

（Ⅲ）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，求证：具有性质“”.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

延庆区2020—2021学年度高三数学模拟试卷参考答案

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。

16解：（Ⅰ）选择①：因为…………2分

所以，其中，              …………3分

所以，又因为，所以.…………5分

选择②：，所以.    …………5分

（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）

（Ⅱ）因为…………7分

所以…………9分

则，…………11分

，…………12分

所以函数的单调增区间为…………13分

(一个都没写的扣一分)

17．（Ⅰ）证明：连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.…………2分

由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.…………5分

（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，又因为侧面底面，且侧面底面，所以，所以，，又因为侧面为矩形，所以，如图建立空间直角坐标系，                                                      …………7分

其中，，，，且，，       …………8分

因为，所以，

故，…10分

设为平面的法向量，则

即，不妨设，可得．…………12分

所以，…………13分

因为二面角的平面角是钝角,所以二面角的余弦值.

…………14分

18.解：（Ⅰ）(i) 记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件.  由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有种不同方法，其中恰好看到冰壶冰球，共有种不同方法．所以，．…3分

(ii) 记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件. 由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有种不同方法，其中两场决赛恰好在北京赛区共有种不同方法，在张家口赛区共有．所以. 6分

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为．…7分

根据题意，，…9分

，…11分

．…13分

随机变量的分布列是：

数学期望．…………………………14分

19.解：（Ⅰ）设切点为，因为，                ……………….1分

所以，，，                    ……………….3分

所以切线方程为，即.……………….4分

（Ⅱ）的定义域为……………….5分

令即，，                           .……………….6分

令，得，令，得，故在上单调递减，

在上单调递增，                                           .……………….8分

所以存在极小值，无极大值..……………….10分

（Ⅲ）函数有三个零点，理由如下：.………….11分

由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增，        ……………….12分

由且，，  

所以存在唯一，使得，                        ……………….13分

又因为，                                       ……………….14分

，                                        ……………….15分

且三个零点互不相同，所以函数有三个零点.

20.解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①，           ……………….1分

②                                      ……………….2分

由 ①②得，……………….4分

故椭圆的标准方程为……………….5分

（Ⅱ）或能构成一个等差数列                    …………….6分

椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，

设③                   …………….7分

代入椭圆方程，整理得，易知….8分

设，则有④……………….10分

在方程③中，令，得，从而

，                                            ………….11分

因为

=⑤，将④代入⑤得

………….13分

而，所以，即为、的等差中项， 14分

所以或为等差数列。                           ……………….15分

21解 ：（Ⅰ）因为具有性质“”，所以，.          ……1分

由，得，由，得.          ..………………3分

因为，所以，即.             .………………4分

（Ⅱ）不具有性质“”.                        . .………………5分

由等比数列的公比为，由 ，得，故…………6分

设等差数列的公差为，由 ，，

得，由，所以，故.        ..………………7分

所以.若具有性质“”，则，.

因为，，所以，故不具有性质“” …9分

（Ⅲ）因为具有性质“”，所以，.①

因为具有性质“”，所以，.②

因为，，所以由①得；由②，得，……10分

所以，即.                              ..………………11分

由①②，得，，……………12分

所以，，                          ..………………13分

所以具有性质“”                 .………………14分