2021高考数学考点专项突破函数的性质含解析

函数的性质

1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则（    ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】C

【解析】∵函数，

∴，

.

故选：C.

2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】时，.

当时，，，

由于函数是奇函数，，

因此，当时，，故选C.

3、（2020届山东省临沂市高三上期末）函数（）的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

，

 .

即

故选：

4、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数的部分图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】， 为奇函数，排除B

当时，恒成立，排除CD

故答案选A

5、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称；

因此，由得；

又在上单调递减，则在上单调递增；

所以，当即时，由得，所以，

解得；

当即时，由得，所以，

解得；

因此，的解集是.

6、（2019年北京高三月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】偶函数在区间上单调递增

则在区间上单调递减

若满足

则

化简可得

解不等式可得,即

故选:A

7、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，

，，

，由.

故选：C

8、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题,因为单调递减,则；

因为单调递减,则；

因为单调递增,则,

所以,

故选：A

9、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60        B．63    

C．66        D．69

【答案】C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C．

10、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c  B．b<a<c 

C．b<c<a  D．c<a<b

【答案】A

【解析】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

11、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，函数是奇函数，则，

即，可得，

则，有，解可得，

即函数的定义域为，

设，则，

，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，

若，即，解可得，

则，即，解得，

又由，则有，

即的取值范围为；

故选：A.

12、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（    ）

A．-15 B．-7 C．3 D．15

【答案】A

【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称

则,解得

因为奇函数当时,

则

故选:A

13、（2020年高考全国I卷理数）若，则（    ）

A．  B． 

C．  D．

【答案】B

【解析】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B．

14、（2020年新高考全国Ⅰ卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A．    B．  

C．    D．

【答案】D

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或.

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D．

二、多选题

15、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.

对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.

对于C选项，为奇函数，不符合题意.

对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.

故选：AD.

16、（2020届山东省临沂市高三上期末）若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】由，，得，，则

，

，

，

故正确的有：

故选：.

17、（2020年南通期末）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是　　

A． B． 

C． D．

【答案】．

【解析】：若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为，不可能为．

若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，可能为，不可能为．

故选：．

18、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（    ）

A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数

【答案】ABC

【解析】

因为，所以，即，故A正确；

因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；

又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；

因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.

故选：ABC.

三、填空题

19、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．

【答案】

【解析】因为，所以，应填答案.

20、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______.

【答案】

【解析】由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得.

故答案为：

21、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_______．

【答案】

【解析】幂函数的图象经过点，

则，解得；

所以，其中；

所以的单调递减区间为．

故答案为：．

22、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，

，

则不等式等价为不等式，

即，

即不等式的解集为，

故答案为：.

23、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.

【答案】-2

【解析】因为图像关于对称，则，

，

故是以8为周期的周期函数，

故答案为：.

24、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．

【答案】

【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，

又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，

所以，即.

故答案为：.

四、解答题

25、(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：＋＝ ；

(2)若60a＝3，60b＝5，求的值．

【解析】　(1)设3a＝4b＝6c＝k，则k>1.由对数定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，

则＋＝＋

＝2logk3＋logk4

＝logk9＋logk4

＝logk36.

又＝＝2logk6＝logk36，

∴＋＝.

(2)由a＝log603，b＝log605，得1－b＝1－log605＝log6012，

于是1－a－b＝1－log603－log605＝log604，

则有＝＝log124，

∴12＝

12log124

＝12log122＝2.

26、函数f(x)定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数x的取值范围．

【解】　(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，

有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－≤x<－或－<x<3或3<x≤5.

∴x的取值范围是{x|－≤x≤－或－<x<3或3<x≤5}．

27、(1)设函数f(x)＝(x∈R)为奇函数，求实数a的值；

(2)设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．

【解】　(1)要使f(x)为奇函数，∵ x∈R，

∴需f(x)＋f(－x)＝0成立．

又∵f(x)＝a－，

∴ f(－x)＝a－＝a－.

由＋＝0，得2a－＝0，∴ a＝1.

(2)由f(x)的定义域是，知解得<a<.

由f(a－2)－f(4－a2)<0，得f(a－2)<f(4－a2)．∵函数f(x)是偶函数，∴ f(|a－2|)<f(|4－a2|)．

由于f(x)在(0，1)上是增函数，∴ |a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2.

综上，实数a的取值范围是<a<且a≠2.

28、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若，且在上恒成立，求的取值范围；

（3）设函数，若，且在上存在零点，求的取值范围.

【解析】（1）当时，   

令得：

函数的定义域为

当时，；当时，，

函数的单调减区间为，单调增区间为

（2）由得：.

当时，恒成立

当，即时，恒成立；

当，即时，

解得：

综上所述：

当时，由恒成立得：恒成立

设，则.

令得：

当时，；当时，

综上所述：的取值范围为：

（3）

在上存在零点    在上有解

即在上有解

又，即

在上有解

设，则

令得：

当时，；当时，

，即    .

设，则

同理可证：   

则在上单调递减，在上单调递增

，故

的取值范围为：

29、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）已知函数是奇函数.

（1）求实数，的值；

（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.

【解析】（1）当时，，

因为为奇函数，∴，

∴，

即总成立.

∴，∴，

又当时，同理可得，综上.

（2）∵，，原不等式化为，

令，则，原不等式进一步化为在上恒成立.

记，.

①当时，即时，，∴合理；

②当时，即时，，显然矛盾.

综上实数的取值范围为：.