2021高考数学考点专项突破二项式定理的应用含解析

这是一份2021高考数学考点专项突破二项式定理的应用含解析，共16页。试卷主要包含了4的展开式中x3的系数为等内容，欢迎下载使用。

1、（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的展开式通项为：
当，即时，
项的系数为：
本题正确选项：
2、（2020年高考北京）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．5
C．D．10
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
3、（2020届山东省临沂市高三上期末）的展开式的中间项为（ ）
A．-40B．C．40D．
【答案】B
【解析】的展开式的通项为
则中间项为.
故选：B.
4、（2020届山东省潍坊市高三上期中） 展开式中的系数为（ ）
A．-112B．28C．56D．112
【答案】D
【解析】由．
取，得．
展开式中的系数为．
故选：D.
5、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意得x3的系数为，故选A．
6、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C.
7、（2020·吉林省吉大附中高二月考）若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】由题意的展开式的 ，
令 ，得，当 时，取到最小值5，故答案为C．
8、（2020届浙江省温州市高三4月二模）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】展开式的通项为：，故，
，
根据对称性知：.
故选：.
9、（2020·河北衡水中学高三月考）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）
A．14B．C．240D．
【答案】C
【解析】二项展开式的第项的通项公式为
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.
解得：.
所以
令，解得：，所以的系数为，故选C
10、（2020·贵州省贵阳一中高三月考）在二项式的展开式中,各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为（ ）
A．18B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】令,可得各项系数之和;各项二项式系数之和;而=,解得;所以,其通项=,令,可得展开式中常数项为.故选C.
多选题
11、（2020·枣庄市第三中学高三月考）对任意实数x，有.则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对任意实数x，
有[﹣1+2（x﹣1）]9，
∴a222＝﹣144，故A正确；
故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确；
令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确；
令x＝0，可得a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正确；故选：ACD.
12、（2020·山东省日照实验高级中学高三月考）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项； B．对任意，展开式中没有常数项；
C．对任意，展开式中没有的一次项； D．存在，展开式中有的一次项.
【答案】AD
【解析】设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。
故答案选AD
13、对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．对任意，展开式中有常数项B．存在，展开式中有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】BD
【解析】展开式的通项为：，
取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；
取，取，时成立，故错误正确；
故选：.
14、（2021年徐州一中月考）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项B．展开式中的常数项是-240
C．展开式中各项系数之和为1D．展开式中的二项式系数之和为64
【答案】CD
【解析】
的展开式共有7项，故A错误；
的通项为，
令，展开式中的常数项为，故B错误；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
的展开式中的二项式系数之和为，故D正确.
故选：.
15、已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若为偶数，则展开式中和的系数相等
【答案】ACD
【解析】对于A，
令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，故A正确；
对于B，
，
展开式的通项为，
当展开式是中常数项为：令,得
可得展开式中常数项为：，
当展开式是中常数项为：
令,得(舍去)
故的展开式中常数项为.故B错误；
对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等
，令，可得：
展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；
对于D，
展开式的通项为，
当为偶数，保证展开式中和的系数相等
①和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
②和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
③和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
故D正确；
综上所在，正确的是：ACD
故选：ACD.
16、对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项；
B．对任意，展开式中没有常数项；
C．对任意，展开式中没有的一次项；
D．存在，展开式中有的一次项.
【答案】AD
【解析】设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。
故答案选AD
17、已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
【答案】BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,
又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,
所以二项式为,
则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；
由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；
由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,
故选: BCD
填空题
18、（2020年高考全国III卷理数）的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
【答案】60
【解析】
有题意可得，二项式展开式的通项为：

令可得 ，此时.
20、（2020·全国高三专题练习（理））在的展开式中,含项的系数是_______.
【答案】280
【解析】
的展开式中： ，
取得到项的系数为
故答案为：
21、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．
【答案】7
【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，，令，可得常数项为7.
22、（2019年高考浙江卷理数）在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．
【答案】
【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．
23、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.
【答案】
【解析】
的展开式的通项为，
令，得，所以，展开式中的常数项为；
令，令，即，
解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.
故答案为：；.
24、（2020年高考浙江）二项展开式，则_______，________．
【答案】80；122
【解析】的通项为，令，则，故；.
故答案为：80；122.
25、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）二项式的展开式中，常数项为______，所有项的系数之和为______．
【答案】4 16
【解析】
的展开式的通项，
令，解得，
则常数项为；
二项式中，令，得到，
则所有项的系数之和为16.
故答案为：4；16.
25、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知，则_____，_______.
【答案】0 665
【解析】
因为，
令可得：.
所以：；
；
；
；
……
；
；
故.
故答案为：0，665.
27、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知多项式，则_________，_________.
【答案】4 16.
【解析】令，得，
设，则，
则多项式等价为，
则为一次项的系数，则，
故答案为：4，16.
28、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）若二项式的展开式中各项系数之和为108，则________，有理项的个数为________．
【答案】2 4
【解析】
中令可得，可得．
中只有一项为有理项，因此展开式中有理项是4个．
故答案为：2；4.
29、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知多项式满足，则_________，__________．
【答案】
【解析】∵多项式 满足
∴令，得，则
∴
∴该多项式的一次项系数为
∴
∴
∴
令，得
故答案为5，72
解答题
30、（2020·湖北省江夏一中高二月考）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（1）求的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子的值.
【解析】（1）依题意，，即，解得；
（2）由（1）知，∴，
，
由，得，展开式中常数项．
（3）令得．
31、（2019年高考江苏卷理数）设．已知．
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值．
【解析】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
32、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
【解析】由二项式定理，得；
（1）；
（2）因为，
所以
，
，
因为，所以能被整除.