2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第四章　数列 29 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第四章　数列 29 word版含答案，共9页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试29　数列的概念与简单表示法 一、基础小题1．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)A．第8项   B．第9项  C．第10项   D．第12项答案　C解析　由题意知＝，n∈N*，解得n＝10，即是这个数列的第10项，故选C.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于(　　)A．4   B．2  C．1   D．－2答案　A解析　由Sn＝2(an－1)，得a1＝2(a1－1)，即a1＝2，又a1＋a2＝2(a2－1)，得a2＝4.3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)A．an＝n－1   B．an＝(n－1)2C．an＝(n－1)3   D．an＝(n－1)4答案　B解析　a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，所以a2＝0＋1＝1，a3＝1＋3＝4，a4＝4＋5＝9，故数列{an}的一个通项公式为an＝(n－1)2.4．设an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是(　　)A．107   B．108  C.   D．109答案　B解析　因为an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋，n∈N*，所以当n＝7时，an取得最大值108.5．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　解法一：令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝，故选A.解法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.两式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝，故选A.6．已知在数列{an}中，a1＝2，a2＝7，若an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2016的值为(　　)A．8   B．6  C．4   D．2答案　B解析　因为a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4；因为a2a3＝7×4＝28，所以a4＝8；因为a3a4＝4×8＝32，所以a5＝2；因为a4a5＝8×2＝16，所以a6＝6；因为a5a6＝2×6＝12，所以a7＝2；因为a6a7＝6×2＝12，所以a8＝2；依次计算得a9＝4，a10＝8，a11＝2，a12＝6，所以从第3项起，数列{an}成周期数列，周期为6，因为2016＝2＋335×6＋4，所以a2016＝6.7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项an＝________.答案　解析　当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－＝2n－1.此时对于n＝1不成立，故an＝8．数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________.答案　解析　当n＝1时，a1＝12.因为a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，①所以当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－2.②所以①－②，得an＝3n＋1.所以an＝二、高考小题9．根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是(　　)A．an＝2n   B．an＝2(n－1)C．an＝2n   D．an＝2n－1答案　C解析　由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：an＝2n，故选C.10．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)A．d<0   B．d>0  C．a1d<0   D．a1d>0答案　C解析　∵数列{2 a1an }为递减数列，∴2 a1an >2a1an＋1，n∈N*，∴a1an>a1an＋1，∴a1(an＋1－an)<0.∵{an}为公差为d的等差数列，∴a1d<0.故选C.11．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.答案　解析　由an＋1＝，得an＝1－，∵a8＝2，∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，……，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝.12．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.答案　1　121解析　解法一：∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.解法二：由an＋1＝2Sn＋1，得a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，则Sn＋1＋＝3，又S1＋＝，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，∴S5＝＝121.13．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．答案　解析　由已知得，a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…，an－an－1＝n－1＋1(n≥2)，则有an－a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋(n－1)(n≥2)，因为a1＝1，所以an＝1＋2＋3＋…＋n(n≥2)，即an＝(n≥2)，又当n＝1时，a1＝1也适合上式，故an＝(n∈N*)，所以＝＝2，从而＋＋＋…＋＝2×＋2×＋2×＋…＋2×＝2×＝.三、模拟小题14．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)A．100   B．110  C．120   D．130答案　C解析　{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120，故选C.15．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)A．3(3n－2n)   B．3n＋2C．3n   D．3·2n－1答案　C解析　解得代入选项逐一检验，只有C符合．16．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1)   B.  C．(2,3)   D．(1,3)答案　C解析　因为{an}是递增数列，所以解得2<a<3，所以实数a的取值范围是(2,3)．17．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2017项的乘积a1·a2·a3·…·a2017＝________.答案　2解析　由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，∴数列{an}是以4为周期的数列，而2017＝4×504＋1，a1a2a3a4＝1，∴前2017项的乘积为1504·a1＝2.18．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．答案　an＝解析　a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，故当n≥2时，an＝，所以an＝一、高考大题1．设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.解　(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋，所以3Tn＝1＋，两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n＝－＝－，所以Tn＝－＝－.经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－＝－.2．已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．(1)证明：1≤≤2(n∈N*)；(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*)．证明　(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.由an＝(1－an－1)an－1，得an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0.由0<an≤，得＝＝∈，即1≤≤2.(2)由题意得a＝an－an＋1，所以＝－，Sn＝a1－an＋1.①由＝－和1≤≤2，得1≤－≤2，所以n≤－≤2n，因此≤an＋1≤(n∈N*)．②由①②得≤≤(n∈N*)．二、模拟大题3．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．又∵a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋.∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，∴5<<6，∴－10<a<－8.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝4Sn－1(n∈N*)．(1)证明：an＋2－an＝4；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)证明：∵anan＋1＝4Sn－1，∴an＋1an＋2＝4Sn＋1－1，∴an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.又an≠0，∴an＋2－an＝4.(2)由anan＋1＝4Sn－1，a1＝1，得a2＝3.由an＋2－an＝4知数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴an＝2n－1.5．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1，a1＝0(舍)．S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2(负值舍去)；同理可得a3＝3，a4＝4.(2)因为Sn＝a＋，①所以当n≥2时，Sn－1＝a＋，②①－②得an＝(an－an－1)＋(a－a)，所以(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n.6．在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解　(1)当n≥2时，由题可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，①a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，②②－①得nan＝an＋1－an，即(n＋1)an＋1＝3nan，＝3，∴{nan}是以2a2＝2为首项，3为公比的等比数列(n≥2)．∴nan＝2·3n－2，∴an＝·3n－2(n≥2)．∵a1＝1，∴an＝(2)an≤(n＋1)λ⇔λ≥，由(1)可知当n≥2时，＝，设f(n)＝(n≥2，n∈N*)，＝·，则f(n＋1)－f(n)＝<0，∴>(n≥2)．故n≥2时，是递增数列．又·＝及＝，∴所求实数λ的最小值为.