2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第四章　数列 31 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第四章　数列 31 word版含答案，共8页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试31　等比数列   一、基础小题1．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝(　　)A．10   B．25  C．50   D．75答案　B解析　因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　)A．3   B．－3  C．－   D.答案　D解析　设数列{an}的公比为q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故选D.3．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝(　　)A．8   B．15(＋1)C．15(－1)   D．15(1－)答案　B解析　∵a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．4．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)A．2   B．4  C．8   D．16答案　B解析　由anan＋1＝aq＝16n>0知q>0，又＝q2＝＝16，∴q＝4.5．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件 答案　A解析　若n∈N*时，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…，应选A.6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)A．－   B.  C．－   D.答案　A解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，∴a＋＝，∴a＝－.故选A.7．已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)A．7   B．5  C．－5   D．－7答案　D解析　设数列{an}的公比为q.由题意，得所以或解得或当时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×＝－7.综上，a1＋a10＝－7.故选D.8．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.答案　16解析　由题意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.二、高考小题9．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21   B．42  C．63   D．84答案　B解析　解法一：由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.解法二：同解法一求出q2＝2，由a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝42，故选B.10．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)A．a1，a3，a9成等比数列   B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列   D．a3，a6，a9成等比数列答案　D解析　根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则am，ak，an成等比数列，故选D.11．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)A．充要条件   B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件   D．既不充分也不必要条件答案　C解析　若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0；若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.12．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．答案　64解析　设{an}的公比为q，于是a1(1＋q2)＝10，①a1(q＋q3)＝5，②联立①②得a1＝8，q＝，∴an＝24－n，∴a1a2…an＝23＋2＋1＋…＋(4－n)＝2＝2≤26＝64.∴a1a2…an的最大值为64.13．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．答案　2n－1解析　由已知得，a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，解得或而数列{an}是递增的等比数列，∴a1<a4，∴a1＝1，a4＝8，从而q3＝＝8，即q＝2，则前n项和Sn＝＝2n－1.三、模拟小题14．已知等比数列{an}的公比q＝2，且2a4，a6,48成等差数列，则{an}的前8项和为(　　)A．127   B．255  C．511   D．1023答案　B解析　∵2a4，a6,48成等差数列，∴2a6＝2a4＋48.∴2a1q5＝2a1q3＋48，又∵q＝2，∴a1＝1.∴S8＝＝255.15．已知等比数列{an}满足a1＝2，a3a5＝4a，则a3的值为(　　)A.   B．1  C．2   D.答案　B解析　∵{an}为等比数列，设公比为q，由a3·a5＝4a可得：a＝4a，∴＝，即q4＝.∴q2＝，a3＝a1·q2＝1.16．已知数列{an}是首项a1＝的等比数列，其前n项和Sn中S3＝，若am＝－，则m的值为(　　)A．8   B．10  C．9   D．7答案　A解析　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝≠，不符合题意，∴q≠1.由得∴an＝·n－1＝n＋1，由am＝m＋1＝－，得m＝8.17．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对任意的n∈N*，有S2n<3Sn，则q的取值范围是(　　)A．(0,1]   B．(0,2)  C．已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.答案　解析　设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5＝105，a10＝2a5，得解得a1＝7，d＝7，因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．对任意的m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1，所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝.一、高考大题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.解　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝，得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.∴＝3，又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．则an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.二、模拟大题3．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.解　(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.当n＝1时，a1＝1，不适合上式．∴an＝(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.4．已知等比数列{an}的公比q>1，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*.(1)求q；(2)若a＝a10，求数列的前n项和Sn.解　(1)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2(an＋anq2)＝5anq.由题意，得an≠0，∴2q2－5q＋2＝0.∴q＝2或q＝.∵q>1，∴q＝2.(2)∵a＝a10，∴(a1q4)2＝a1q9.∴a1＝q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n.∴＝n.∴Sn＝＝2－.5．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2n.证明：(1)数列{an＋2n}是等比数列；(2)对一切正整数n，有＋＋…＋<.证明　(1)由an＋1＝3an＋2n，得an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3(an＋2n)，又a1＋2＝3，所以{an＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＝3n－2n.又3n－2n>2n(n≥2)，故＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝－n<.6．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解　(1)∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1.∴＝，即an＋2＝an.∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝.∴{bn}是公比为的等比数列．∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝⇒b1＝a1＋a2＝.∴bn＝×n－1＝.(2)由(1)可知an＋2＝an，∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列．∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.