2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第四章 数列 29 word版含答案

这是一份2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第四章 数列 29 word版含答案，共9页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试29　等差数列   一、基础小题1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝(　　)A．10 B．18C．20 D．28答案　C解析　由题意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C. 2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5等于(　　)A．7 B．15C．20 D．25答案　B解析　S5＝＝＝＝15.3．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)A．37 B．36C．20 D．19答案　A解析　am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)A．8 B．7C．6 D．5答案　D解析　由a1＝1，公差d＝2，得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是(　　)A．S7<S8 B．S15<S16C．S13>0 D．S15>0答案　C解析　因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{an}是递减的，且S7最大，即Sn≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16<a15<0，S16＝S15＋a16<S15，选项B错误；S15＝(a1＋a15)＝15a8<0，选项D错误；S13＝(a1＋a13)＝13a7>0.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)A．6 B．7C．8 D．9答案　A解析　∵a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，∴d＝2.Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，显然，当n＝6时，Sn取得最小值．故选A.7．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列答案　C解析　A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．8．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.答案　解析　由＝＋知，数列为等差数列，则＝1＋(n－1)，即an＝.∴a10＝＝.二、高考小题9．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100 B．99C．98 D．97答案　C解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.10．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列答案　A解析　不妨设该锐角的顶点为C，∠A1CB1＝θ，|A1C|＝a，依题意，知A1、A2、…、An顺次排列，设|AnAn＋1|＝b，|BnBn＋1|＝c，则|CAn|＝a＋(n－1)b，作AnDn⊥CBn于Dn，则|AnDn|＝sinθ，于是Sn＝|BnBn＋1|·|AnDn|＝·c·sinθ＝bcsinθ·n＋(a－b)csinθ，易知Sn是关于n的一次函数，所以{Sn}成等差数列．故选A.11．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0答案　B解析　由a＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，整理得d(5d＋3a1)＝0，又d≠0，∴a1＝－d，则a1d＝－d2<0，又∵S4＝4a1＋6d＝－d，∴dS4＝－d2<0，故选B.12．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．答案　20解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得解得从而a9＝a1＋8d＝20.13．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案　5解析　设该等差数列为{an}，若项数为2n－1，n∈N*，则有a2n－1＝2015，an＝1010，由a1＋a2n－1＝2an，得a1＝5.若项数为2n，n∈N*，则有a2n＝2015，＝1010，由a1＋a2n＝an＋an＋1，得a1＝5.综上，a1＝5.三、模拟小题14．在等差数列{an}中，a3＋a8＋a13＝m，其前n项和Sn＝5m，则n＝(　　)A．7 B．8C．15 D．17答案　C解析　由a3＋a8＋a13＝m，得a8＝，则S15＝＝15a8＝5m，故n＝15.15．已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝(　　)A．0 B．－109C．－181 D．121答案　B解析　设等差数列{bn}的公差为d，则d＝－14，因为an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝＝－112，则a8＝－109.16．已知{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－8，－7) B．(－7，－6)C．(－8，－6) D．(－6，－5)答案　A解析　对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，即≥，∵{an}为递增数列，∴即a∈(－8，－7)．17．在数列{an}中，已知a1＝，当n∈N*，且n≥2时，an＝1－，则a2016＝(　　)A． B．C． D．答案　D解析　∵an＝1－，∴an－＝－＝，则＝＝2＋，即－＝2，∴数列为等差数列，则＝1＋2(n－1)＝2n－1，因此an＝＋，所以a2016＝.18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________.答案　13解析　由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13.一、高考大题1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？解　(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2，得n＝63.所以b6与数列{an}的第63项相等．2．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解　(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)·(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*，知2m＋k－1≥k＋1>1，故所以 二、模拟大题3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)证明：－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn>an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．解　(1)∵a1＝1，S3＝6，∴数列{an}的公差d＝1，an＝n.由题知，①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，又b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故bn＝2n.(2)λbn>an恒成立⇒λ>恒成立，设cn＝，则＝，当n≥2时，<1，数列{cn}单调递减，又c1＝c2＝，∴(cn)max＝，故λ>.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解　(1)设公差为d，由题意得解得a1＝1，d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2.(2)由(1)知bn＝，要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，移项得＝－＝，整理得m＝3＋.因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.所以存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．6．在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.(1)求an；(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．解　(1)∵an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，①an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44，②②－①得，an＋2－an＝2.又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23，∴a2＝－19，同理得，a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．从而an＝(2)当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋＝2－·44＝－22n，故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…＋＝a1＋2＋·(－44)＝－23＋－22(n－1)＝－22n－.故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.