高考数学二轮复习练习：专题限时集训12《圆锥曲线中的综合问题》（含答案详解）

这是一份高考数学二轮复习练习：专题限时集训12《圆锥曲线中的综合问题》（含答案详解），共5页。试卷主要包含了∴椭圆E等内容，欢迎下载使用。
高考数学二轮复习练习：专题限时集训12《圆锥曲线中的综合问题》1.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋=0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.                2.如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆P过定点B(1,0)，直线l是圆P在点B处的切线，过A(－1,0)作圆P的两条切线分别与l交于E，F两点.(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；(2)设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.            3.已知F1，F2为椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.                  4.已知动圆M过定点E(2,0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A，B是轨迹C上的两点，且·=－4，F(1,0)，记S=S△OFA＋S△OAB，求S的最小值.         
0.答案详解1.解：(1)由题意知=，=b，即b=.又a2=b2＋c2，所以a=2，c=1.故椭圆C的方程为＋=1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12=0.则Δ=322k4－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，解得0≤k2＜.易知x1＋x2=，x1x2=，所以·=x1x2＋y1y2=x1x2＋k2(x1－4)(x2－4)=(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2=(1＋k2)·－4k2·＋16k2=25－.因为0≤k2＜，所以－≤－＜－，所以－4≤25－＜，所以·的取值范围为.(3)因为点B，E关于x轴对称，所以E(x2，－y2)，所以直线AE的方程为y－y1=(x－x1).令y=0，可得x=x1－.因为y1=k(x1－4)，y2=k(x2－4)，所以x=x1－===1.所以直线AE与x轴交于定点(1,0). 2.解：(1)设AE切圆P于点M，直线x=4与x轴的交点为N，故|EM|=|EB|.从而|EA|＋|EB|=|AM|=====4.所以|EA|＋|EB|为定值4.(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|=4，故E，F均在椭圆＋=1上.设直线EF的方程为x=my＋1(m≠0).令x=4，求得y=，即Q点纵坐标yQ=.由得，(3m2＋4)y2＋6my－9=0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有y1＋y2=－，y1y2=－.因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)=(y2－yB)(yQ－y1)，即－y1·＋y1y2=y2·－y1y2，等价于2y1y2=(y1＋y2)·.将y1＋y2=－，y1y2=－代入，知上式成立.所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|. 3.解：(1)∵|PF1|＋|PF2|=4，∴2a=4，a=2.∴椭圆E：＋=1.将P代入可得b2=3，∴椭圆E的方程为＋=1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋=＋=；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k(x＋1)，代入椭圆方程＋=1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12=0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2=－，x1·x2=.|AC|=|x1－x2|==.∵直线BD的斜率为－，∴|BD|==.∴＋=＋=.综上，2λ=＋=，∴λ=.故存在常数λ=，使得，λ，成等差数列. 4.解：(1)设M(x，y)，PQ的中点为N，连接MN(图略)，则|PN|=2，MN⊥PQ，∴|MN|2＋|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|，∴|MN|2＋|PN|2=|EM|2，∴x2＋4=(x－2)2＋y2，整理得y2=4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设A，B，不妨令y1＞0，则S△OFA=·|OF|·y1=y1，∵·=－4，∴x1x2＋y1y2=＋y1y2=－4，解得y1y2=－8，　①当y1=－y2时，AB⊥x轴，A(2,2)，B(2，－2)，S△AOB=4，S△OFA=，S=5.当y1≠－y2时，直线AB的方程为=，即y－y1=，令y=0，得x=2，∴直线AB恒过定点(2,0)，设定点为E，∴S△OAB=|OE|·|y1－y2|=y1－y2，由①可得S△OAB=y1＋，∴S=S△OFA＋S△OAB=y1＋=y1＋≥2=4.综上，Smin=4.