2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题  一、单选题1．已知，则“”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：由题意可知，，⫌∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．2．下列函数中，值域为的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．【详解】解：选项A.的值域为，选项B. 的值域为，选项C. 的值域为R，选项D. 的值域为．故选：A．【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．3．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（    ）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】作出过P与两直线相交的直线l判断①；通过平移直线a，b，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型（）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（    ）A．16时 B．17时 C．18时 D．19时【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，时，，由五点法作图可知：如果当时，函数取得最小值可得：，可得，此时函数，函数的周期为：，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当时，函数取得最小值可得：，可得，此时函数，函数的周期为：，时，，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．  二、填空题5．已知集合，，则______.【答案】【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出交集．【详解】解：∵，，∴．故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．方程的解为______.【答案】【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．【详解】解：，∴指数式化为对数式得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题．7．行列式的值为______.【答案】5【解析】直接利用行列式公式可求．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查二阶行列式计算．属于基础题．8．计算______.【答案】2【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【详解】解：故答案为：2．【点睛】本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．9．若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为______.【答案】2【解析】根据圆面积公式算出底面半径r＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥的底面积为，∴圆锥的底面半径为，满足，解得又∵圆锥的侧面积为，∴设圆锥的母线长为，可得，，解之得故答案为：【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．10．已知向量，，则______.【答案】【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得的值．【详解】解：向量，，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有种情况，则位女生不相邻的排法有种；故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12．已知点在角终边上，且，则______.【答案】【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y，然后即可求解．【详解】解：由题意可得，，解得故答案为：．【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中，两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了、两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：支付金额（元）支付方式大于2000使用18人29人23人使用10人24人21人 依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为______.【答案】【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：，使用过B种支付方式的人数为：，又两种支付方式都没用过的有人，所以两种支付方式都用过的有，所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率．故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．14．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.【答案】－3【解析】先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量、、两两不平行，且，，，，解得故答案为：．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.15．已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为、最小值为，则______.【答案】1078【解析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论．【详解】解：因为数列{an}满足：，，即解得；或或；或，，所以最小为4，最大为8；所以，数列的最大值为时，是首项为1，公比为2的等比数列的前项和：；取最小值时，是首项为1，公差为1的等差数列的前项和：；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．16．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．【详解】解：由题意，在区间上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．设函数图象向下平移了个单位，（）．，解得.∴此时函数的最大值为．根据绝对值函数的特点，可知实数的取值范围为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题． 三、解答题17．如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值.【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】（1）说明即直线与平面的所成角，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点到平面的距离为，由于底面积和高都不变，故体积不变.【详解】解：（1）由直棱柱知平面，所以，又因为，所以直线平面，所以即直线与平面的所成角由题意，，所以所以直线与平面的所成角.（2）记点到平面的距离为，三角形的面积为，则，由已知，,所以为定值.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18．在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），，计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1），；（2）证明详见解析，当时.【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，可知，，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出，以及复数的几何意义表示出、计算其数量积，利用作差法比较的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1），所以证明（2），，，所以，当且仅当时取“”，此时.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为.【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可．（2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意，，，所以所以，不符合要求（2），，所以，，所以，的最小值为.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列.（1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式；（2）证明（1）中的猜想；（3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.【答案】（1），，，；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）代入，求出，，，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知，，因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数，所以，，此时，因为的任意性，不妨设，求出即可．【详解】（1）解：由已知，所以，，，猜想证明（2）当时，，所以得，因为，所以数列为等差数列，又由（1），所以（3）解由（2）知，.若，则，因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数所以，，此时，设，则，所以或2①当时，对于任意，②当时，对于任意，所以实数取值的集合为【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n项和公式的应用，中档题．21．已知函数，其中为常数.（1）当时，解不等式；（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；（3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】解：（1）解不等式当时，，所以当时，，所以，综上，该不等式的解集为（2）当时，，因为是以2为周期的偶函数，所以，由，且，得，所以当时，所以当时，，所以函数的反函数为（3）①当时，在上，是上的增函数，所以所以，得；②当时，在上，是上的增函数，所以所以，得；③当时，在上不单调，所以，，在上，.，不满足.综上，的取值范围为.③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是令，解得或，不符合题意；④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，令，解得或，不符合题意.综上，所求实数的取值范围为.【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．