2023届上海市嘉定区中光高级中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市嘉定区中光高级中学高三上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市嘉定区中光高级中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】随机选取两个不同的数，基本事件总数，利用列举法能求出其和等于18包含的基本事件有2个，然后按古典概型计算后即可做出判定.【详解】解：在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，基本事件总数，其和等于18包含的基本事件有：，，共2个，其和等于18的概率是.故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，涉及古典概型的计算，组合数的应用，考查运算能力，是基础题.2．已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（    ）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【答案】C【分析】函数的图象上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，画出函数图象，即可求出结果．【详解】作出函数的图象，如图示，则的图象上上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，由图象可知，交点有2个，所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．故选：．3．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从，，这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由频率之和为1求得，根据分层抽样可求得从，，分别抽取3人，2人，1人，再从这6名学生中随机抽取3人，求出基本事件总数，再求出这三人中恰有两人体重位于区间包含的基本事件，即可求得概率.【详解】由频率分布直方图可得，解得，采用分层抽样的方法，则从中抽取人，从中抽取人，从中抽取人，再从这6名学生中随机抽取3人，则基本事件共有个，这三人中恰有两人体重位于区间包含的基本事件有个，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率为.故选：B.4．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，设，进而结合题意求解即可.【详解】解：根据题意设，，因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，所以，解得，因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，所以，，解得，因为时，，故，即，解得.所以，故选：B 二、填空题5．不等式的解集是___________.【答案】【分析】直接解一元二次不等式即可.【详解】.故答案为：6．复数等于 __________.【答案】【分析】利用复数的除法法则即可求解.【详解】.故答案为：.7．已知集合，，集合，则集合C的子集的个数为____________．【答案】16【分析】分别求出函数的值域、定义域化简集合A，B，再利用交集的定义求出集合C即可作答.【详解】集合，，则集合，所以集合C的子集的个数为．故答案为：168．已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为____________．【答案】##【分析】先利用题意得到，然后对进行平方可得到，即可得到答案【详解】因为，是两个夹角为的单位向量，则，则，所以，即的最小值为，故答案为：9．已知向量，，直线l经过点且与向量垂直，则直线l的方程为____________.【答案】【分析】设是直线上异于的任意一点，表示出、，由已知可得，，化简即可得到方程.【详解】设是直线上异于的任意一点，则为直线的一个方向向量，又，直线与向量垂直，所以，，即，整理可得，.故答案为：.10．若，则用t表示，可得_____________.【答案】【分析】使用倍角公式将原式化为，再次使用倍角公式将原式化为关于的齐次化分式，分式上下同除构造即可.【详解】将分式上下同除得原式故答案为：11．已知 则当a的值为________时取得最大值.【答案】4【详解】试题分析：由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.【解析】基本不等式求最值． 12．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数_________.【答案】【分析】利用导数求出曲线在处的切线的斜率，根据已知条件可知切线与直线垂直，由此可求得实数的值.【详解】对函数求导得，所以，曲线在处的切线斜率为，由已知条件可得，解得.故答案为：.13．设集合，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】根据已知条件及不等式有解问题，结合绝对值的三角不等式即可求解.【详解】因为集合，所以不等式在有解，所以只需要，即可.由绝对值三角不等式可得，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，所以.所以实数的取值范围为.故答案为：.14．已知则函数的最大值为______________.【答案】【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】，,令,因为,所以,所以,所以,所以,对称轴,所以在单调递增,所以当时，,即当,时，有最大值.故答案为: .15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解： 因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为： 16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．  三、解答题17．已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）、.【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期的值，可求出，再将点代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值，由可求得的值，综合可得出函数的解析式；（2）利用函数图象变换求得，求出函数在上的单调递增区间，再与定义域取交集可得结果.【详解】（1）由图可得函数的最小正周期为，所以，， ，则，，则，，则，所以，，因为，所以，，所以，；（2）由题意可得，令，，得，，记，则.因此，函数在上的增区间是、.【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.18．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.19．某市一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为，且分上､下两层，其中上层是半径为米的半球体，下层是底面半径为r米，高为h米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米的建造费用为2千元，下层圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分每平方米的建造费用均为3千元，设每座账篷的建造费用为y千元.(1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)当半径r为何值时，每座帐篷的建造费用最小？并求出最小值.【答案】(1)，(2)当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元 【分析】（1）利用圆柱和球的表面积、体积公式建立函数关系式；（2）利用导数判断单调性，求出最小值.【详解】（1）（1）由题意可得，所以，所以，即.因为，，所以，所以，故，.（2）（2）设，，则，令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，也是最小值，且.所以当时，.所以当半径r为3米时，建造费用最小，最小为162π千元.20．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2) 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；（2），则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000 则的值域为，故的取值范围为. 21．已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．（3）．【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由，得，解得．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a设1﹣t＝r，则0≤r，，当r＝0时，0，当0＜r时，，∵y＝r在（0，）上递减，∴r，∴，∴实数a的取值范围是a．【一题多解】（3）还可采用：当时，，，所以在上单调递减．则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．