2020届上海市崇明区高三上学期期末（一模）数学试题（解析版）

2020届上海市崇明区高三上学期期末（一模）数学试题

一、单选题

1．若,则下列不等式恒成立的是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵

∴设

代入可知均不正确

对于，根据幂函数的性质即可判断正确

故选D

2．“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（　　　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先求出关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，再由“”与“”的关系得解。

【详解】

解：关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，

即，

又“”不能推出“”，

“”能推出“”，

即“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的必要不充分条件，

故选：B．

【点睛】

本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题

3．已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（    ）

A. B. C. D.不能确定

【答案】B

【解析】利用已知条件作差比较可知.

【详解】

因为, 所以,

所以,

所以,

同理可得,,

故最小.

故选.

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.

4．函数，若存在，，，，使得，则n的最大值是（　　　　）

A.11 B.13 C.14 D.18

【答案】C

【解析】由已知得，又，，，，可求的最大值．

【详解】

解：，

，

，

当，时，，

，又，．

故选：C．

【点睛】

本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题

二、填空题

5．______．

【答案】

【解析】将分式 分子、分母同时除以，再利用，可求解．

【详解】

解：

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了极限的运算，属简单题．

6．已知集合，，则______．

【答案】

【解析】直接利用交集运算得答案．

【详解】

解：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了交集及其运算，是基础题．

7．若复数z满足，其中i为虚数单位，则______．

【答案】

【解析】设复数，、b是实数，则，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．

【详解】

解：设，、b是实数，则，

，

，

，，

解得，，

则

故答案为：．

【点睛】

本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．

8．的展开式中x7的系数为__________.（用数字作答）

【答案】

【解析】试题分析：展开式通项为，令，得，

所以展开式中的系数为．故答案为．

【考点】二项式定理

【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项．

②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．

9．角的终边经过点，且，则______．

【答案】

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

【详解】

解：角的终边经过点，且，

，则，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是______．

【答案】4

【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知，则P到准线的距离也为5，即，即可求出x．

【详解】

解：抛物线，

，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

，

，

故答案为：4．

【点睛】

考查了抛物线的定义、焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题.

11．圆的圆心到直线的距离等于______．

【答案】0

【解析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．

【详解】

解：由已知得圆心为：，

由点到直线距离公式得：，

故答案为：0．

【点睛】

本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．

12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为    .

【答案】

【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为，，解得，根据勾股定理，圆锥的高等于，所以圆锥的体积.

【考点】旋转体的体积

13．若函数的反函数的图象过点，则______．

【答案】6

【解析】的反函数图象过点，所以原函数的图象过，然后将点代入可解得．

【详解】

解：的反函数图象过点，所以原函数的图象过，

，即，，．

故答案为：6

【点睛】

本题考查了反函数,属基础题．

14．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种

【答案】1518

【解析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解

【详解】

解：由题意知本题是一个分步计数问题，

解决这个问题得分三步完成，

第一步把三个学生分成两组，

第二步从23所学校中取两个学校，

第三步，把学生分到两个学校中，共有，

故答案为：1518．

【点睛】

本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．

15．设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为______．

【答案】

【解析】根据是以2为周期的偶函数，并且在上单调递减，便可由，得出，，并且由得出，从而由得出，进而得出，解该不等式组即可．

【详解】

解：是以为周期的偶函数，且在上单调递减；

由，得，，，且，；

由得，；

由得，；

；

解得；

原不等式组的解集为．

故答案为：．

【点睛】

考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．

16．已知数列满足：①，②对任意的都有成立．函数，满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是______．

【答案】

【解析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．

【详解】

解：，当时，，，

又对任意的，总有两个不同的根，，

，，，

又，，

对任意的，总有两个不同的根，，

又，，

对任意的，总有两个不同的根，，

由此可得，

，

故答案为：，

【点睛】

本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

三、解答题

17．如图，设长方体中，，直线与平面ABCD所成角为．

求三棱锥的体积；

求异面直线与所成角的大小．

【答案】（1）（2）．

【解析】转换顶点，以为顶点，易求体积；

平移至，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．

【详解】

解：连接AC，则为与平面ABCD所成的角，

，

，

，

，

连接，易知，

或其补角即为所求，

连接BD，

在中，，，，

由余弦定理得：

，

，

故异面直线，所成角的大小为．

【点睛】

此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．

18．已知函数．

求函数的单调递增区间；

在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的面积．

【答案】（1）；；（2）

【解析】利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解的单调递增区间；

根据，求解，，利用余弦定理求解，即可求解的面积．

【详解】

解：函数

令，

得，

的单调递增区间为；；

由，即，

是锐角三角形，

可得

余弦定理：，即

解得：

的面积．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

19．    某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立．

(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;

(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．

【答案】(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2]

【解析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.

【详解】

(1)对于函数模型,

当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，

综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，

故函数模型，不符合公司要求．

(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，

∴最大值∴

设恒成立，∴恒成立，即,

∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4

∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1，2]

【点睛】

这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.

20．已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．

写出椭圆的标准方程；

当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；

设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】由是边长为4的等边三角形得，进一步求得，则椭圆方程可求；

由直线的一个方向向量是，可得直线所在直线的斜率，得到直线的方程，由椭圆方程联立，求得P点坐标，得到的中点坐标，再求出，可得以为直径的圆的半径，则以为直径的圆的标准方程可求；

方法一、设，求出直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，同理求得直线的方程，联立两直线方程求得R的横坐标，再结合在椭圆上可得与的关系，由求解；

方法二、设直线，的斜率为k，得直线的方程为结合，可得直线的方程为，把与椭圆方程联立可得，再由在椭圆上，得到，从而得到，得结合，可得直线的方程为与线的方程联立求得再由求解．

【详解】

解：如图，由的边长为4的等边三角形，得，且．

椭圆的标准方程为；

解：直线的一个方向向量是，

直线所在直线的斜率，则直线的方程为，

联立，得，

解得，．

则的中点坐标为，．

则以为直径的圆的半径．

以为直径的圆的标准方程为；

证明：方法一、设，

直线的斜率为，由，得直线的斜率为．

于是直线的方程为：．

同理，的方程为：．

联立两直线方程，消去y，得．

在椭圆上，

，从而．

，

．

方法二、设直线，的斜率为k，，则直线的方程为．

由，直线的方程为，

将代入，得，

是椭圆上异于点，的点，，从而．

在椭圆上，

，从而．

，得．

，直线的方程为．

联立，解得，即．

．

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

21．已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，．

若，求的值；

若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列；

若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是．

【答案】（1）8；（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】直接代入计算即可；

通过设，利用等比数列的求和公式及，计算可知，进而化简即得结论；

通过数列是公差为的等差数列，对变形可知，然后分别证明充分性、必要性即可．

【详解】

解：，，，

，

，

，

证明：设，则，

，

，

，为常数

数列为等比数列，

数列是公差为d的等差数列，

当时，，

即，

数列的各项都不为零，

，，

当时，，

当时，，

两式相减得：当时，．

先证充分性：

由可知，

当时，，

又，

，

即，，，成等差数列；

再证必要性：

，，，成等差数列，

当时，，

，

．

综上所述，，，，成等差数列的充要条件是

【点睛】

本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．