高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算练习

能 力 提 升

一、选择题

1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝(　　)

A．λ(＋)　λ∈(0,1)

B．λ(＋)　λ∈(0，)

C．λ(－)　λ∈(0,1)

D．λ(－)　λ∈(0，)

[答案]　A

[解析]　设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．

2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)

A.   B. 

C．－   D．－

[答案]　A

[分析]　将、都用从C点出发的向量表示．

[解析]　(方法一)：由＝2，

可得－＝2(－)⇒＝＋，

所以λ＝.故选A.

(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A.

3．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)

A．△ABC内部   B．AC边所在的直线上

C．AB边所在的直线上   D．BC边所在的直线上

[答案]　B

[解析]　∵＝λ＋，∴－＝λ.

∴＝λ.

∴P、A、C三点共线．

∴点P一定在AC边所在的直线上．

4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于(　　)

A.a＋b   B．a＋b

C.(a＋b)   D．a＋b

[答案]　C

[解析]　＋＝＋＝＝2，

所以＝(a＋b)，故选C.

5．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A、B、D  B．A、B、C

C．B、C、D   D．A、C、D

[答案]　A

[解析]　＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．

6．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是(　　)

A．r＝－p＋q

B．r＝－p＋2q

C．r＝p－q

D．r＝－q＋2p

[答案]　A

[解析]　∵＝＋，＝－3＝3，

∴＝.

∴＝＋＝＋(－)．

∴r＝q＋(r－p)．

∴r＝－p＋q.

二、填空题

7．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.

[答案]　a－b＋c

[解析]　∵2x－a－b－c＋x＋b＝0，

∴x＝a－b＋c.

∴x＝a－b＋c

8．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.(用a、b表示)．

[答案]　(b－a)

[解析]　＝＋＋

＝－＋＋

＝－－＋(＋)

＝－b－a＋(a＋b)

＝b－a＝(b－a)．

9．(2013·四川理)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.

[答案]　2

[解析]　本题考查向量加法的几何意义．

＋＝＝2，∴λ＝2.

三、解答题

10．已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.

(1)将用e，f表示；

(2)证明四边形ABCD为梯形．

[解析]　(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.

(2)因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，

即＝2，

所以根据数乘向量的定义，与同方向，且长度为的长度的2倍，

所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．

11．设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？

[解析]　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，

即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2

＝2ke2－9ke2.由，

得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，

只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

12．如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．

[解析]　在△ABD中，＝－，因为＝a，＝b，所以＝b－a.

∵N点是BD的三等分点，∴＝＝(b－a)．

∵＝b，∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b.　①

∵M为AB中点，∴＝a，

∴＝－＝－(＋)＝－＝－a－b.　②

由①②可得：＝.

由共线向量定理知：∥，又∵与有公共点C，∴C、M、N三点共线．