试卷 专题29《函数与圆》

这是一份试卷 专题29《函数与圆》，共6页。试卷主要包含了已知点M等内容，欢迎下载使用。
直线与圆位置关系的解题策略：
（1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题；
（2）联立直线方程和圆的方程构成方程组，通过该方程组的解来解决问题；
（3）利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解决问题；
（4）构造相似三角形，列比例式解决问题．
例题讲解
例1 如图，直线l：y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，⊙O的半径为1，C是y轴正半轴上的一个点，如果⊙C与⊙D相切，又与直线l相切，求圆心C的坐标．
解 如图1，过点C作CD⊥AB于点D．易证△CDB∽△AOB．所以．
设CD＝ 3m，BC＝5m，则点C的坐标为（0，4－5m），⊙C的半径为3m．
所以⊙O与⊙C的圆心距为d＝OC＝4－5m．
①如图2，当两圆外切时．有3m＋1＝4－5m，
解得m＝，此时圆心C的坐标为（0，）．
②如图3．当两圆内切时，有3m－1＝4－5m．
解得m＝．此时圆心C的坐标为（0，），
综上可得，符合满足题意的圆心C的坐标为（0，）或（0，）
例2 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（－2，－2），…都是梦之点，显然梦之点有无数个．点Q是反比例函数y＝上异于点P（2，2）的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，tan∠OAQ＝1．已知点M（m，3）．若⊙O的半径为，在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．
解 因为tan∠OAQ＝1．
所以∠OAQ＝45°，
由已知MN∥l或MN⊥l，
所以直线MN为y＝－x＋b或y＝x＋b．
①若MN为y＝－x＋b时，将点M的坐标代入，可得m＝b－3
（i）如图，当直线MN平移至与⊙O相
切，且切点在第三象限时，b取得最小值．
此时MN记为M1N1，其中N1为切点，
T1为直线M1N1与y轴的交点，
显然△OT1N1为等腰直角三角形，
所以OT1＝ON1＝2，
所以b的最小值是－2．
所以m的最小值是－5．
（ii）如图，当直线MN平移至与⊙O相
切，且切点在第一象限时，b取得最大值．
此时MN记为M2N2，其中N2为切点，T2为直线M2N2与y轴的交点，
同理可得b的最大值为2，m的最大值为－1．
所以m的取值范围为5≤rn≤－1，
②若直线MN为y＝x＋b．
同理可得m的取值范因为1≤m≤5．
综上所述，m的取值范围为－5≤m≤－1或1≤m≤5．
例3 设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，，2），B（－，－1），C（，－1）．
（1）如图1．过点A作直线交x轴正半轴于点M，使∠AMO＝30°．若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
（2）如图1，将直线AM向下平移得到直线y＝kx＋b，当b满足什么条件时，直线y＝kx＋b上总存在等边△ABC的中心关联点？
（3）如图2，Q为直线y＝－1上一动点，⊙Q的半径为，当点Q从点（－4，－1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；
如果不存在，请说明理由．
解 （1）由∠AMO＝30°．可得AM＝2OA＝4，OM＝OA＝2．
如图3．过点O作OH⊥AM于点H．
易求OH＝OM＝，
即AM与外接圆相交，与内切圆相离，记AM与外
接圆的另一个交点为G．
连结OG，则△OAG为等边三角形，
所以AC＝OG＝AM，
即G为AM的中点，
所以点G的坐标为（，1）．
显然AG上的点都是△ABC的中心关联点，
所以0≤M≤．
（2）直线AM向下平移的过程中，只要与△ABC
的外接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线
y＝kx＋b上就存在等边△ABC的中心关联点．
如图4，直线IJ∥AM，且与△ABC的外接圆相切
于点K，此时为直线y＝kx＋b的临界状态．
连鲒OK，则OK＝2．
所以OJ＝，
所以≤b≤2．
（3）存在．符合题意的t的值为4－或4＋．
如图5，当点Q移动到Q1．Q2住置时．即⊙Q内切
圆环时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点．
连结OQ1，OQ2，
则OQ1＝OQ2＝．
令直线y＝－1与y轴的交点为L，则OL＝1．
所以Q1L＝Q2＝，
所以，
进阶训练
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x＝1，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，－3）．
（1）求抛物线的表达武；
（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．
答案：（1）抛物线的表达式为；（2）满足条件的圆有2个，其半径为或．
【提示】（2）令点M在点N的左侧，设圆的半径为r，则xN＝r＋1，yN＝r2－4，若以MN为直径的圆与x轴相切，则，解得，，如图，满足条件的圆有两个，其半径为或．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段BP1，BP2，称点P1，P2为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．

图1 图2
（1）已知点A的坐标为（0，4），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，求y与x之间的关系式；
（2）如图2，点C的坐标为（－3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出点A纵坐标m的取值范围．
答案：（1）y＝－x－4；（2）－5≤m≤－1或1≤m≤5．
【提示】（1）如图，分别过点P1，P2向x轴作垂线，垂足分别为M、N，对于伴随点P1（x，y），有△AOB≌△BMP1，所以BM＝OA＝4，OB＝MP1＝－y，所以BM＝OB＋OM＝－y－x＝4，即y＝－x－4，对于伴随点P2（x，y）有△AOB≌△BNP2，所以BN＝OA＝4，OB＝NP2＝y，所以BN＝ON－OB＝x－y＝4，即y＝x－4．
（2）点A（0，m），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，则y与x之间的关系式为y＝－x－m，或y＝x－m，所以⊙C与直线y＝－x－m，y＝x－m的位置关系为相交或相切，相切时的位置关系如图所示．当y＝x－m与⊙O相切时，得m＝5或1，当y＝－x－m与⊙O相切时，得m＝－5或－1，所以－5≤m≤－1或1≤m≤5．

3．在平面直角坐标系xOy中，绐出如下定义：对于⊙C及⊙C上两点M、N，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．

图1 图2
（1）如图1，⊙O的半径为1，若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围；
（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，－1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，求点C的横坐标xC的取值范围．
答案：（1）0＜xP＜；（2）xC＜或xC＞．
【提示】（1）因为点P关于⊙O的视角为60°时，点P在以O为圆心，2为半径的圆上，而点P关于⊙O的“视角”大于60°，所以点P在以O为圆心，1位半径和以O为圆心，2为半径的圆环内，因为点P在直线上，如图，则半径为2的圆与直线的交点为临界点，此时xP＝0或，所以0＜xP＜．
（2）因为关于⊙C的“视角”小于120°，所以该点在以C为圆心，为半径的圆外，所以xC＜或xC＞．