2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学（理）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试

高三数学（理科）

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，则 （     ）

A．  B．  C．  D．

2．设复数满足（其中为虚数单位），则（     ）

A．  B．  C．  D．

3．已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是（     ）

A．  B．  C．  D．

4．已知为数列的前项和，，则（     ）

A．  B．  C．   D．

5．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

则下列结论中表述不正确的是（     ）

1. 从2000年至2016年，该地区环境基础

设施投资额逐年增加；

2. 2011年该地区环境基础设施的投资额比

2000年至2004年的投资总额还多；

3. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
4. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立投资额y与时间t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.

6．已知直线是函数图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（     ）

A．向左平行移动个单位长度   B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度  D．向右平行移动个单位长度

7．函数的图象大致为（     ）

8．若，，，则的大小关系为（     ）

A．  B． C． D．

9．若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则（     ）

A．       B．       C．      D．

10．已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为（     ）

A．     B．  C．     D．

11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（     ）

A．  B．  C．  D．2

12．已知函数(e为自然对数底数)，若关于的不等式

有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（     ）

A． B．  C．  D．

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知为互相垂直的单位向量，若，则．

14．已知函数，若，则实数的取值范围是．

15．数列是等差数列，，公差d∈[1，2]，且，则实数的最大值为．

16．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．

①三棱锥的体积的最大值为；

②三棱锥的外接球体积不变；

③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是；

④异面直线与所成角的最大值为．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

在△中，内角,,的对边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求的最小值．

18．（本小题满分12分）

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：

（Ⅰ）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？

（Ⅱ）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。

(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；

(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？

19．（本小题满分12分）

如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点，设为椭圆上一动点，且满足（为坐标原点）．当时，求的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数（为常数）在区间内有两个极值点．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]

已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆的普通方程及其极坐标方程；

（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长．

23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]

已知函数，

（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；

（Ⅱ）当时不等式恒成立，求的取值范围

西安中学高2020届高三期末考试

数 学（理科）参考答案

一、选择题:

二、填空题：

13．      14．  15． 16．②④

三、解答题:

17．解：（Ⅰ）∵△中，，

∴由正弦定理知，，…………2分

∵∴，

∴，…………4分

∴，

∴，∴．…………6分

（Ⅱ）∵∴，得…………8分

所以

当且仅当时取等号…………11分

所以的最小值为…………12分

18．解：（Ⅰ）设小李9月份的税前收入为元，因为

所以按调整起征点前应缴纳个税为：，

解得…………2分

按调整起征点后应缴纳个税为：

调整后小李的实际收入是（元）…………4分

（Ⅱ）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为千元，

则有，解得（千元）

估计该公司员工收入的中位数为千元. …………8分

（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为

（元）

估计小李所在的公司员工平均纳税元…………12分

19．解：（Ⅰ）依题意，平面平面，…………………1分

平面，平面平面，…………………2分

平面，又平面……………4分

…………5分

（Ⅱ）在中，取中点，连接，平面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．……………………6分

设，，．

，

………………………8分

设平面的法向量为，

则，

取，得 ……………9分

设直线与平面所成角为，则……10分

因为，

所以直线与平面所成角的余弦值为．…………………12分

20．解：（Ⅰ）依题意得，．以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则， 解得，．

所以椭圆的方程为．          ……………………4分

（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，

联立方程得，，

…………………………6分

，，          …………………………7分

因为，即，所以．

所以点，又点在椭圆C上，所以有，

化简得，

所以，化简，因为，所以，                        ………………………………9分

因为，

又，，所以．

令，则．…………………11分

当时，取得最小值，最小值为． ………………………12分

21．解：（Ⅰ）解法一：

由，可得·····························1分

由题意，则，设．

由题意，知是在上的两个零点．

当时，，则在上递增，至多有一个零点，不合题意；………2分

当时，由，得，………………………3分

（i）若且，即时，在上递减，递增；

若，即时，至多有一个零点，不合题意，舍去；

若，即时，又，

从而，在和上各有一个零点．

所以时，在上存在两个零点．…………………4分

（ii）若，即时，在上单调递减，至多有一个零点，舍去…………5分

（iii）若且，即时，在上有一个零点，在

上没有零点，舍去．

综上可得，实数的取值范围是．…………………………6分

解法二：由，可得……………1分

由题意，则，由题意知是在上的两个零点．

由，得，………………………………2分

从而只需直线与函数的图象在有两个交点．…………3分

由得在区间内单调递减，在区间内单调递增，

所以．…………………………4分

且时，．………………………5分

所以实数的取值范围是．…………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：令………………7分

则，

所以在上递增，…………………………………………………8分

…………………………10分

而，且在递增；

………………………………………………………11分

，命题得证．………………………12分

解法二：由（1）有

…………7分

则证明    ①………8分

下证①式成立，由，得，

令，则……………………………9分

易知，从而①式………10分

又令，即证对成立．．

设，则，…………………………11分

从而．即，，即

从而①式成立．，命题得证．…………………………12分

22．解：（Ⅰ）由……………1分

平方相加，得：，所以圆的普通方程为：……2分

又………………………………………3分

………………………………………4分

化简得圆的极坐标方程为：．…………………………………5分

（Ⅱ）把代入圆的极坐标方程可得：…………7分

把代入直线的极坐标方程可得：……………9分

所以线段的长…………………………………10分

23．证明：

（Ⅰ）①当时，，解得，………1分

②当时，，解得

………………2分

③当时，解得，……………3分

综上知，不等式的解集为.………………5分

（Ⅱ）解法1：

当时，，…………6分

设，则，恒成立，

只需， …………8分

即，解得…………10分

解法2：

当时，，…………6分

，即，即…………7分

①当时，上式恒成立，；…………8分

②当时，得恒成立，

只需，

综上知，． …………10分