2020西安中学高三上学期期末考试数学（理）试题含答案

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西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，则 （ ）A． B． C． D．2．设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）A． B． C． D．3．已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D．4．已知为数列的前项和，，则（ ）A． B． C． D．5．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（ ）从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ； 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立投资额y与时间t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.6．已知直线是函数图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度7．函数的图象大致为（ ）8．若，，，则的大小关系为（ ）A． B． C． D．9．若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则（ ）A． B． C． D．10．已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为（ ）A． B． C． D．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．212．已知函数(e为自然对数底数)，若关于的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知为互相垂直的单位向量，若，则．14．已知函数，若，则实数的取值范围是．15．数列是等差数列，，公差d∈[1，2]，且，则实数的最大值为．16．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．①三棱锥的体积的最大值为；②三棱锥的外接球体积不变；③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是；④异面直线与所成角的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在△中，内角,,的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的最小值．18．（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：（Ⅰ）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？3 5 7 9 11 13 15 x（千元）0.160.140.120.100.080.060.040.02频率组距（Ⅱ）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数； (ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？19．（本小题满分12分）如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点，设为椭圆上一动点，且满足（为坐标原点）．当时，求的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数（为常数）在区间内有两个极值点．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数，（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）当时不等式恒成立，求的取值范围西安中学高2020届高三期末考试数 学（理科）参考答案一、选择题:二、填空题：13． 14． 15． 16．②④三、解答题:17．解：（Ⅰ）∵△中，，∴由正弦定理知，，…………2分∵∴，∴，…………4分∴，∴，∴．…………6分（Ⅱ）∵∴，得…………8分所以当且仅当时取等号…………11分所以的最小值为…………12分18．解：（Ⅰ）设小李9月份的税前收入为元，因为所以按调整起征点前应缴纳个税为：，解得…………2分按调整起征点后应缴纳个税为：调整后小李的实际收入是（元）…………4分（Ⅱ）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为千元，则有，解得（千元）估计该公司员工收入的中位数为千元. …………8分（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为（元）估计小李所在的公司员工平均纳税元…………12分解：（Ⅰ）依题意，平面平面，…………………1分平面，平面平面，…………………2分平面，又平面……………4分…………5分（Ⅱ）在中，取中点，连接，平面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．……………………6分设，，．，………………………8分设平面的法向量为，则，取，得 ……………9分设直线与平面所成角为，则……10分因为，所以直线与平面所成角的余弦值为．…………………12分解：（Ⅰ）依题意得，．以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则， 解得，． 所以椭圆的方程为． ……………………4分（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，联立方程得，，…………………………6分，， …………………………7分因为，即，所以．所以点，又点在椭圆C上，所以有，化简得，所以，化简，因为，所以， ………………………………9分因为，又，，所以．令，则．…………………11分当时，取得最小值，最小值为． ………………………12分解：（Ⅰ）解法一：由，可得·····························1分由题意，则，设．由题意，知是在上的两个零点．当时，，则在上递增，至多有一个零点，不合题意；………2分当时，由，得，………………………3分（i）若且，即时，在上递减，递增；若，即时，至多有一个零点，不合题意，舍去；若，即时，又，从而，在和上各有一个零点．所以时，在上存在两个零点．…………………4分（ii）若，即时，在上单调递减，至多有一个零点，舍去…………5分（iii）若且，即时，在上有一个零点，在上没有零点，舍去．综上可得，实数的取值范围是．…………………………6分解法二：由，可得……………1分由题意，则，由题意知是在上的两个零点．由，得，………………………………2分从而只需直线与函数的图象在有两个交点．…………3分由得在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以．…………………………4分且时，．………………………5分所以实数的取值范围是．…………………………………………6分（Ⅱ）解法一：令………………7分则，所以在上递增，…………………………………………………8分…………………………10分而，且在递增；………………………………………………………11分，命题得证．………………………12分解法二：由（1）有…………7分则证明 ①………8分下证①式成立，由，得，令，则……………………………9分易知，从而①式………10分又令，即证对成立．．设，则，…………………………11分从而．即，，即从而①式成立．，命题得证．…………………………12分解：（Ⅰ）由……………1分平方相加，得：，所以圆的普通方程为：……2分又………………………………………3分………………………………………4分化简得圆的极坐标方程为：．…………………………………5分（Ⅱ）把代入圆的极坐标方程可得：…………7分把代入直线的极坐标方程可得：……………9分所以线段的长…………………………………10分证明：（Ⅰ）①当时，，解得，………1分②当时，，解得………………2分③当时，解得，……………3分综上知，不等式的解集为.………………5分（Ⅱ）解法1：当时，，…………6分设，则，恒成立，只需， …………8分即，解得…………10分解法2：当时，，…………6分，即，即…………7分①当时，上式恒成立，；…………8分②当时，得恒成立，只需，综上知，． …………10分个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元的部分3%1不超过3000元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%2超过3000元至12000元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%3超过12000元至25000元的部分20%………………题号123456789101112答案CBBADCAADBAC