2020届吉林省重点高中高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2020届吉林省重点高中高三上学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简,根据A求出,再求出.

【详解】

全集，，

.又，

.

故选A.

【点睛】

本题考查了集合的交集和补集运算,容易忽视全集U中的.属于基础题.

2．“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】将改写为，然后否定结论即可.

【详解】

解：依题意，“，”的否定是：，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了命题的否定，要注意命题的否定和否命题的区别．本题属于基础题．

3．若角的终边过点，则的值是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三角函数的定义可直接求得的值.

【详解】

解：根据题意，可得．

故选：B．

【点睛】

本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

4．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数。

【详解】

据题意，得解得或所以或.故选D.

【点睛】

本题考查扇形的面积公式以及弧长公式，方程思想，牢记公式是解答本题的关键。

5．函数的一个零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令,将化为,根据零点存在性定理可得 的一个零点在区间内,又的零点也是的零点,所以函数的一个零点所在区间为.

【详解】

因为，

令，则，，，，.

又函数的图象是一条连续不断曲线，且,

所以根据零点存在性定理可得,有一个零点在区间内，

又的零点也是的零点,

所以的一个零点所在区间为.

故选A.

【点睛】

本题考查了零点存在性定理,解题关键是转化为判断的零点所在的区间.属基础题.

6．如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用向量的线性运算即可求出答案.

【详解】

.故选C.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

7．若，且为第三象限角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先根据的值以及所在的象限,由同角公式解得,再由同角公式解得,然后根据两角和的正切公式可得.

【详解】

因为，为第三象限角，所以，

所以，

所以.

故选D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式,属基础题.

8．若函数的图象与直线一个交点的坐标为，则(    )

A． B．1 C． D．无法确定

【答案】B

【解析】由已知可得，代入，利用诱导公式化简求值．

【详解】

解：由题意，，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，是基础题．

9．已知在矩形中，，，若，分别为，的中点，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由平面向量的线性运算得，，利用平面向量的数量积运算法则进行计算。

【详解】

据题意，得

.故选B.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题。

10．已知中，角的对边分别为，，，，则外接圆的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由余弦定理可得

由正弦定理可得

则外接圆的面积 .

故选B

11．一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（     ）

（A）北偏东，   

（B）北偏东，

（C）北偏东，   

（D）北偏东，

【答案】C

【解析】试题分析：依题意可得在中．

．

由余弦定理可得

．

，

由正弦定理可得，

由题意可知在中为锐角，所以．

所以如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向为北偏东，路程为海里．故C正确．

【考点】1余弦定理；2正弦定理．

12．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将函数在上有两个不同的零点转化为关于的方程在区间上有两个不同的实数根.再构造函数,再转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点.利用导数求得在处取得最大值,根据图象可知: 且,从而可解得的范围.

【详解】

因为函数在区间上有两个不同的零点,

所以关于的方程在区间上有两个不同的实数根.

引入函数，

所以函数与函数的图象在上有两个不同的交点,

.

讨论：当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增，

当时，在处取得极大值，也是最大值.

又函数与函数的图象在上有两个不同的交点,

如图:

，且，

.

故选A.

【点睛】

本题考查了函数的零点,利用导数研究函数的最值.解题关键是转化为两个函数的图象的交点个数来做,最后通过两个函数在 和 时的函数值的大小关系满足的条件可解决.属较难题.

二、填空题

13．若，，则__________．

【答案】

【解析】由指对关系，把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算。

【详解】

，.又，.

【点睛】

本题考查指数与对数的关系及对数的运算，属于基础题。

14．已知平面向量，，若，则实数__________．

【答案】

【解析】由两向量垂直则两向量的数量积为零，根据向量的数量积的坐标运算得到方程，解出即可。

【详解】

据题意，得，解得.

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件，属基础题．

15．化简：__________．

【答案】

【解析】根据两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值可以化简,

根据诱导公式可以化简,,,然后代入原式可化简得.

【详解】

.

【点睛】

本题考查了两角差的正弦公式以及诱导公式,属基础题.

16．已知奇函数在定义域上单调递增，若对任意的成立，则实数的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题意利用奇偶性及单调性将问题转化为2cos2x+2cosx﹣1+m≥0对任意的x∈（﹣∞，+∞）成立．令g（x）＝2cos2x+2cosx﹣1，求得g（x）的最小值即可．

【详解】

因为f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上单调递增且为奇函数，

所以f（cosx+cos2x）+f（cosx+m）≥0对任意的x∈（﹣∞，+∞）成立⇔cosx+cos2x+cosx+m≥0对任意的x∈（﹣∞，+∞）成立．

2cos2x+2cosx﹣1+m≥0对任意的x∈（﹣∞，+∞）成立．

令g（x）＝2cos2x+2cosx﹣1＝2（cosx）2，

故当cosx时，g（x）min，

只需即可，∴m

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的性质、恒成立问题的处理方法，属于中档题．

三、解答题

17．已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题可得，把已知等式化弦为切求解；

（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切计算．

【详解】

（1），

，

.

（2）

.

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

18．已知函数．

求函数的单调递增区间；

当时，求函数的最小值．

【答案】（1）和；（2）

【解析】先求导函数，利用导数大于0，可得函数的单调增区间；

令导数等于0，确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值．

【详解】

解：由题意，，

当时，；

当时，；

当时，．

所以，函数的单调递增区间为和．

当x变化时，，的变化情况如下表

当，．当，．

所以当时，函数的最小值为．

【点睛】

本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是正确运用导数工具，是基础题．

19．已知平面向量，

若，，求实数x的值；

求函数的单调递减区间．

【答案】（1）；（2）单调递减区间为：

【解析】直接根据向量共线的结论即可求解；

先求出其数量积，再结合三角函数的性质即可求出结论．

【详解】

解：，，

，

即，

，

，

；

由题得：

，

令；

；

函数的单调递减区间为：．

【点睛】

本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为.

（1）求的值；

（2）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】(1)先根据二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式将化成,再根据两角和的正弦公式的逆用进一步化成,然后利用正弦型函数的周期公式列等式可得;

(2)根据图象的平移变换(口诀:左加右减)和周期变换 ,可以得到的解析式,然后可求得.

【详解】

解：（1）

.

又函数图象两条相邻的对称轴间的距离为，，

所以，

即.

（2）由(1)可知，.

将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，

得到函数的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，

所以

.

【点睛】

本题考查了二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式,两角和的正弦公式以及图象的平移变换和周期便能换,属于中档题.

21．已知函数.

（1）若函数是偶函数，求实数的值；

（2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求的值；

（2）根据题意方程有且只有一个实数根，等价于只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，令，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根，结合二次函数的性质来分析。

【详解】

解：（1）因为是偶函数，

所以对任意的成立，

所以对任意的成立，

所以对任意的成立，

所以.

（2）因为，，

所以，

所以

设，则有关于的方程.

若，即，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根.

设，则，

所以，

所以成立，

所以，满足题意；

若，即时，解得，不满足题意；

若，即时，，且，

所以.

当时，关于的方程有且只有一个实数根，满足题意.

综上，所求实数的取值范围是..

【点睛】

本题主要考查偶函数的性质以及指数函数性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于难题。

22．已知函数.

（1）求函数的图象在点处切线的方程；

（2）讨论函数的极值；

（3）若对任意的成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）当时，函数取得极小值，且的极小值为，不存在极大值

（3）

【解析】(1)先求导函数,然后根据导数的几何意义求得切线的斜率为,再根据直线方程得点斜式求得函数的图象在点处切线的方程;

(2)先求得导函数的零点,再判断零点左右两侧导数的符号,根据导数符号可得极值点,从而可得极值.

(3) 将对任意的成立转化为对任意的成立,然后构造函数,求导后讨论得的单调性,根据单调性可得.

【详解】

解：（1）因为，

所以，

所以.

又，

所以函数的图象在点处切线的方程为，即.

（2）因为，

所以.

令,得,

因为时,,时,,

所以函数在处取得极小值,极小值为.不存在极大值.

（3）据题意，得对任意的成立，

即对任意的成立.

令，

所以.

讨论：

当时，，此时在上单调递增.

又，所以当时，，

这与对任意的恒成立矛盾；

当时，二次方程的判别式.

若，解得，此时，在上单调递减.

又，

所以当时，，满足题设；

若，解得，此时关于的方程的两实数根是，，其中，.

又分析知，函数在区间上单调递增，，

所以当时，，不符合题设.

综上，所求实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立,构造法,属于难题.