2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（理）试题（解析版）

2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，然后利用交集运算即可得到答案

【详解】由题意知，，即集合，

因为，

所以，

故选：B.

2．若，，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，，

显然在上单调递减，

所以，即实数a的取值范围为.

故选：D

3．在△ABC中，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量基本定理求解可得，，进而可得答案.

【详解】由可得，则，即，，所以.

故选：B．

4．已知点是角的终边上一点，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用三角函数的定义可求得、的值，再利用二倍角公式可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可得，，

所以，.

故选：A.

5．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，分情况讨论，利用其轴截面，根据勾股定理，可得答案.

【详解】解：由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，轴截面如图所示，

设球的半径为R，

当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解；

当两底面在球心异侧时，有，即，

所以，即，则，.

∴这个球的表面积是.

故选：B.

6．已知数列满足，且，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据累加法求解即可.

【详解】由，且，根据累加法可得：

，

所以，则.

故选：B

7．已知为等差数列的前项和，，且，，则满足的最大的正整数（    ）

A．2021 B．2022 C．4042 D．4043

【答案】C

【分析】根据等差数列的单调性，结合第项与前项的关系进行求解即可.

【详解】为等差数列，∵，且，

∴，，，

即该等差数列的公差，

∴数列是递减的等差数列，当时，，当时，，

∵，∴，

，

，，∴满足题意的最大的正整数，

故选：C

8．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，再求导分析函数的单调性，进而结合判断大小关系即可.

【详解】由，化简，令，则，所以函数在上单调递增，，所以.

故选：D

9．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】计算函数的对称中心为，确定，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】，，得，，

即函数的对称中心为，

函数存在极大值与极小值，设极值点为，，

，即或．，

，

当和时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

，，故的值域为．

故选：D

10．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．12

【答案】C

【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，，因为，，故，，

，

当且仅当时，即时等号成立．所以的最小值为．

故选：C

11．已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】确定为奇函数，是偶函数，函数周期为4，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】，所以为奇函数，故函数图象关于点对称，

是偶函数，故，即，

函数图象关于直线对称，所以

所以，所以函数周期为4，

对选项A：，故A正确；

对选项B：无法确定，错误；

对选项C：，错误；

对选项D：，故，即，，错误.

故选：A

12．设函数，若关于x的方程（）有四个实数解，且，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】作出函数图像，由图像得出函数单调性，再作直线由直线与函数图像交点得满足的性质，再求得其范围．

【详解】如图所示：

因为关于x的方程（）有四个实数解，且，，所以.的对称轴为，所以.

因为，所以，即，.因为，所以.

所以，令，，

因为，为减函数，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查方程解的问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图像交点问题，作出函数图像与直线，利用数形结合思想得出解具有的性质，然后再求解.

二、填空题

13．命题“，”的否定是__________．

【答案】，

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】命题“，”的否定是，．

故答案为：，

14．已知，，，则__________.

【答案】

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，由，则，则，所以，则.

故答案为：

15．写出一个同时满足下列性质的函数：__________.

①定义域为R；

②；

③设是函数的导函数，且.

【答案】(答案不唯一)

【分析】根据三角函数的性质结合基本函数的导数公式即得.

【详解】因为函数的定义域为R，

所以，，

所以，

所以满足题意.

故答案为：.（答案不唯一）

16．设函数（），若在上有且仅有5个极值点，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据极值的定义，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】

当时，，

令，则，

由函数（，）性质可知，若函数在上有且仅有5个极值点，只需，解得.

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用函数极值与单调性的关系进行求解是解题的关键.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，，．

(1)求；

(2)设是数列的前项和，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可推出，数列是首项为1，公差为的等差数列，即可解出，进而解得；

（2）由（1）可得，然后求和即可得到.

【详解】（1）由题，可得，

又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，

所以，即．

（2）由（1）可得，

∴．

18．如图，在四棱锥中，为正方形，平面平面，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明平面平面，根据平面，得到证明.

（2）确定B，D两点到平面EFG的距离相等，，计算得到答案.

【详解】（1），，分别是线段，，的中点，故，，

平面，平面，平面，平面，

故平面，平面，

，平面，平面，平面平面，

平面，故平面．

（2）连接，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，PA⊥AD，

故PA⊥平面ABCD，平面，PA⊥CD，

四边形ABCD为正方形，AD⊥CD，，平面，

故CD⊥平面PAD．GD＝2，．

平面EFG，故B，C两点到平面EFG的距离相等，

G是线段CD的中点，C，D两点到平面EFG的距离相等，

即B，D两点到平面EFG的距离相等，

，

三棱锥B－EFG的体积为．

19．已知数列{}满足＝，＝，＝．

(1)证明：{－}为等差数列，并求；

(2)设＝＋·，求数列{}的前项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】(1)定义法证明等差数列, 应用等差数列通项公式可得通项,再构造等比数列, 应用等比数列通项公式计算即可.

(2)分奇偶讨论,并应用等差数列求和公式计算即可得解.

【详解】（1）根据题意得an＋1＝4an－3an－1，可得an＋1－3an＝an－3an－1，

又知a2－3a1＝－2，

所以数列是首项为－2，公差为0的等差数列，

所以an－3an－1＝－2，即an－1＝3（an－1－1），

又知a1－1＝4－1＝3，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以．

（2），

当n为偶数时，前n项和；

当n为奇数时，前n项和，

则

20．如图，在四棱锥中，，垂足为，平面，，，．

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，证明平面即可

（2）计算，再利用等体积法得到点到平面的距离为，再计算线面夹角得到答案

【详解】（1）∵平面，平面，故，

又，，平面，平面，

故平面，又平面．

平面平面

（2）在中，由得，

在中，由得，

在中，由得．

在中，由得，

在中，由，

由可得，

，

设点到平面的距离为，

由，得，

即，

设直线与平面所成的角为，则．

21．如图所示，在平面四边形中，，，．

(1)求角的大小；

(2)当角为何值时，四边形的面积最大．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简得到，计算得到答案.

（2）计算，，得到，根据三角函数的有界性得到最值.

【详解】（1）因为，所以，

即，解得，，．

（2），，为等边三角形，

在中，由余弦定理知：

，

而，

，

四边形ABCD的面积

，

，，当即时，取得最大值为，

故四边形ABCD面积的最大值为．

22．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若（）有两个零点，，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；

（2）由题可得，令，则，构造函数，求导判断单调性，即可求出，再利用基本不等式即可证明.

【详解】（1），

则，即切线斜率为2，

又，

则切线l的方程为，即切线方程为.

（2）∵是的零点，，且，，

则，即，

∴，即，

令，则，则，

令，则.

令，则，则单调递增，

∴，即，则单调递增，

∴，

∴，即，即，

则（由于，故不取等号），得证.

【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于得到后，令，则，进而构造函数，求导判断单调性，即可求出，从而可证得结论.