贵州省毕节市2020届高三上学期诊断性考试（一）数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年贵州省毕节市高三（上）诊断数学试卷（理科）（一）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合0，1，2，，，则

A. 2， B. 1，2， C.  D.

2. 已知i为虚数单位，若，则

A.  B.  C.  D.

3. 设，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知m，n，p，q成等差数列，且函数且的图象过定点，则

A.  B.  C.  D. 1

5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

6. 若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为

A. 1 B.  C.  D.

7. 执行如图所示的程序框图，如果输出，则
    

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9






 

8. 某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费达到一定数量以上者，可获得一次抽奖机会．抽奖工具是如图所示的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，则一次抽奖中奖的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一个“鳖臑”如图，底面ABC，，且，则异面直线PB与AC所成角的大小为

A.  B.  C.  D.

10. 已知向量，，若，则向量与的夹角为

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线C：的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接F并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为

A.
B.
C. 或
D.

12. 已知，，则方程的实数根个数为

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知的展开式中的系数为5，则______．
14. 设数列满足，则______．
15. 关于函数有下列命题，其中正确的是______．
    的表达式可改写为；
    是以为最小正周期的周期函数；
    的图象关于点对称
    的图象关于直线对称
16. 已知圆C：上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图．
    Ⅰ根据频率分布直方图，估计该市企业年上缴税收的平均值；
    Ⅱ以直方图中的频率作为概率，从该市企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于单位：万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，．
    Ⅰ求a；
    Ⅱ设D为BC边上一点，且，求的面积
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知四棱锥的底面ABCD是菱形，且，是等边三角形．
    Ⅰ证明：；
    Ⅱ若平面平面ABCD，求二面角的余弦值．

20. 已知函数．
    Ⅰ求函数的极值；
    Ⅱ若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为B、A，，是椭圆内一点，直线AM、BM分别与椭圆C交于P、Q两点．
    Ⅰ求椭圆C的标准方程；
    Ⅱ若的面积是的面积的5倍，求实数m的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C．
    写出曲线C的参数方程；
    Ⅱ设直线与曲线C的交点为，，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段的垂直平分线的极坐标方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. Ⅰ解不等式．
    Ⅱ已知，，且，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：0，1，2，，，
．
故选：D．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
 

【解析】解：由，
得．
故选：A．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
3.【答案】A
 

【解析】解：，得，
，得，
，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义，结合解不等式进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，基础题．
4.【答案】B
 

【解析】解：，n，p，q成等差数列，，
已知函数且的图象过定点，
而令，求得，，可得的图象经过定点，
，，
则，
故选：B．
令幂指数等于零，求得x、的值，可得函数的图象经过定点的坐标，从而得到n、p的值，再利用等差数列的性质，求出的值．
本题主要考查等差数列的性质，指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
5.【答案】C
 

【解析】解：，，，
则．
故选：C．
利用对数函数和指数函数的性质分别确定a，b，c的范围即可求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用
6.【答案】C
 

【解析】解：由得
作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
平移直线，
由图象可知当直线，过点A时，直线
的截距最大，此时z最小，
由，解得．
代入目标函数，
得，
目标函数的最小值是，
故选：C．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
7.【答案】B
 

【解析】解：根据程序框图，运行结果如下：
              S        k
第一次循环        3
第二次循环        4
第三次循环        5
第四次循环        6
第五次循环        7
第六次循环       8
故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是？即a的值为7．
故选：B．
根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得判断框内应填入的条件．
本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．
8.【答案】A
 

【解析】解：设区域Ⅰ的面积为a，则：
圆盘总面积，
一次抽奖中奖的概率，
故选：A．
设出区域Ⅰ的面积，根据题意写出其他区域面积，求出总面积，再利用几何概型概率公式算出结果即可．
本题主要考查了几何概型，是基础题．
9.【答案】C
 

【解析】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则1，，0，，1，，0，，
，，
设异面直线PB与AC所成角的大小为，
则．
．
故选：C．
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与AC所成角的大小．
本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，是基础题．
10.【答案】D
 

【解析】解：由于向量，，所以向量；
；
；
设向量与的夹角为则；
，
向量与的夹角．
故选：D．
根据向量的夹角公式，已知向量，，所以向量，由，可求出a的值，即可得的坐标，
代入公式可求出向量与的夹角．
本题考查了向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题．
11.【答案】D
 

【解析】解：由题意，，准线方程为：，
过点Q作准线的垂线，垂足为M，
由点P的纵坐标为负数可知点Q在第一象限，
由抛物线的定义可得，
，
，
，从而直线PF的倾斜角为，斜率为，
直线PF的方程为：，即．
故选：D．
过点Q作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义得，从而可求出直线PF的斜率，根据点斜式写出直线方程．
本题主要考查抛物线的定义的运用，属于基础题．
12.【答案】B
 

【解析】解：当时，，，，解得；
当时，，，
即有或，
所以，当时，或，由图可知
与有一个交点，所以当时，有一个根．
与有一个交点，所以当时，有一个根．
当时，或，
与的图象相切于，所以当时，没有根．
与的图象没有交点，所以当时，没有根．
综上，方程的实数根个数为3个．
故选：B．
根据自变量的范围讨论，得出的解析式，解出方程，直接求解或
再将方程的根的个数转化为图象之间的交点个数即可求出．
本题主要考查方程的根与函数零点，以及图象之间交点的个数关系应用，属于中档题．
13.【答案】1
 

【解析】解：当第一式子为2时，第二个式子为，
当第一式子为mx时，第二个式子为，
则的系数为，
的系数为5，
，
得，
，
故答案为：1
根据多项式乘积的关系进行讨论求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，结合多项式乘法关系进行讨论是解决本题的关键．比较基础．
14.【答案】
 

【解析】解：，
，
得，，则，
．
故答案为：．
由题意，，进而得到，由此得解．
本题考查利用递推数列求通项，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
 

【解析】解：，所以不正确；
函数有最小正周期为，所以正确；
又，所以函数关于对称，所以不正确；正确；
故答案为：．
利用三角函数的图象和性质分别判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的对称性，属于基础题．
16.【答案】
 

【解析】解：圆C：可化为，可得圆心为，半径，
圆C：上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，
圆心到双曲线渐近线的距离为2，
由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为，
，即为，
则，
故答案为：．
由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离等于2，由此列式求解双曲线离心率的取值．
本题考查双曲线的离心率e的取值，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ根据频率分布直方图得：
该市企业年上缴税收平均值估计为：
．
Ⅱ由题意X的可能取为0，1，2，3，4，且，
，
，
，
，
的分布列为：

，．
 

【解析】Ⅰ根据频率分布直方图求出，由此能求出该市企业年上缴税收平均值．
Ⅱ由题意X的可能取为0，1，2，3，4，，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：Ⅰ得，
，
，
又，
，
由于，解得，
由余弦定理得，整理得．
Ⅱ由题设可得，
所以，
故面积与面积的比值为．
又的面积为．
所以的面积为．
 

【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换和平面向量数量积的应用和余弦定理的应用求出结果．
Ⅱ直接利用三角形的面积之比进一步求出结果．
本题考查的知识要点：平面向量的数量积的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.【答案】Ⅰ证明：取AB的中点O，连接OP，OD，BD，

是等边三角形，，
又四边形ABCD是菱形，，
是等边三角形，
，
，PO，平面POD，
平面POD，
平面POD，
．
Ⅱ平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD
，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
平面PAB的一个法向量为，，0，，，
，，
设平面PBC的一个法向量为，则，
令，得，，
，
设二面角的平面角为，为钝角，
．
 

【解析】Ⅰ取AB的中点O，连接OP，OD，BD，证明，，推出平面POD，然后证明．
Ⅱ以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面PAB的一个法向量，平面PBC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，，
当时， 0'/>恒成立，在上为增函数，此时无极值，
当时，
令得，
令得，
在是增函数，在是减函数．
的极大值为，无极小值．
Ⅱ由得，
，在上有解，令，，
令得，令得，
在上是增函数，在上是减函数，
，
．
 

【解析】Ⅰ求出，通过a与0的大小讨论，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．
Ⅱ由得，推出在上有解，令，利用导函数判断单调性求解函数的最大值推出结果即可．
本题考查函数的导数的应用，单调性以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21.【答案】解：Ⅰ由，得，又因为，得，所以，
所以椭圆的标准方程为．
Ⅱ因为，，，
所以，所以，
由，解得，同理可得，
同理可得，
又因为，即，
所以，
所以，因为，
所以，因为点M在椭圆内，所以，
所以．
 

【解析】Ⅰ求出，通过，得，求出，即可得到椭圆的标准方程．
Ⅱ求出，得到，联立直线与椭圆方程，求出Q、P的横坐标，通过，即转化求解m即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22.【答案】解：Ⅰ圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，即整理得转换为参数方程为为参数．
Ⅱ由于曲线与直线与曲线C的交点为，，
故：，解得或，所以中点的坐标为，，即，线段的斜率，它的垂直平分线的斜率，
所以，转换为极坐标方程为，整理得．
 

【解析】Ⅰ直接利用变换关系求出曲线的方程，进一步利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
Ⅱ利用直线和曲线的位置关系式的应用求出交点的坐标，进一步求出直线的方程，最后求出直线的极坐标式．
1本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线位置关系的应用，直线的方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：Ⅰ，
由，得或或，
或或，
，
不等式的解集为；
Ⅱ由，得，
，
，
当且仅当，即，时，取等号，
的最小值是．
 

【解析】Ⅰ由，然后根据分别解不等式即可；
Ⅱ由，可得，然后根据利用基本不等式求出的最小值．
本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．