贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题 Word版含解析

这是一份贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题）
已知集合，，则
A. B. C. D.
设复数z满足，则
A. 1B. C. D. 2
某地区高考改革，实行“”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？
A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种
已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下结论：
，，，，，
，，，．
其中正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的值为
A. B. C. D.
若二项式的展开式的第5项是常数，则自然数n的值为
A. 6B. 10C. 12D. 15
已如非零向量，，满足，则与的夹角为
A. B. C. D.
函数的图象可能是
A. B.
C. D.
已知奇函数在R上是增函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则
A. 为奇函数，在上单调递减
B. 周期为，图象关于点对称
C. 为偶函数，在上单调递增
D. 最大值为1，图象关于直线对称
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共4小题）
曲线在点处的切线方程为______．
已知，则______．
若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则的面积为______．
已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，，，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于______．
三、解答题（本大题共7小题）
商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：
Ⅰ求销量y关于x的线性回归方程；
Ⅱ预计今后的销售中，销量与单价服从中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？结果保留整数
参考数据：，，
参考公式：，
在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
求角C的大小；
Ⅱ若，求周长的取值范围．
如图所示，四棱锥中，底面ABCD；，，，，，．
Ⅰ求证：平面SAD；
Ⅱ求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，
求椭圆和抛物线的方程；
设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆一点，且有，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程．
已知函数．
求函数的单调区间；
若恒成立，求a的值．
在直角坐标系xOy中，曲线为参数，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的极坐标方程；
已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线的交点为O，P，与曲线的交点为Q，求的面积．
已知．
当时，求不等式的解集；
若时不等式成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，；
．
故选：B．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．
2.【答案】A
【解析】解：，
故，
故选：A．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，分3步进行分析：
，语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；
，在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；
，在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；
则这名学生的不同选科组合有种；
故选：B．
根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于，，，时，
根据两个平面互相垂直的判定定理，不能得出，错误；
对于，，，，，
根据两个平面互相平行的判定定理，不能得出，错误；
对于，，，，
根据两个平面互相垂直的判定定理，得出，正确；
对于，，，
根据直线与平面平行的判定定理，不能得出，错误．
综上，正确的命题是，只有1个．
故选：B．
根据空间中的直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系，判定正误即可．
本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由，，成等比数列，得到，
又公差，得到，即，
解得：，
则

．
故选：C．
由，，成等比数列，根据等比数列的性质及通项公式，由列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，由求出的首项和公差，根据等差数列的通项公式求出和的值，即可求出结果．
此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．
6.【答案】C
【解析】解：的展开式的通项为

展开式的第5项是常数


故答案为C．
利用二项展开式的通项公式求得第项，求出第五项，令x的指数为0求得n．
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
7.【答案】C
【解析】解：非零向量，，满足，
所以；
又，
所以，
即；
所以，
又，所以，
即与的夹角为．
故选：C．
由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角的余弦函数，即可求出与的夹角．
本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．
【解答】
解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，
故排除A和B．
当时，函数的值为0，故排除C．
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可得，，
，即为偶函数，
当时，由是增函数可知单调递增，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，
，，，，
则．
故选：D．
根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
故为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；
再根据的周期为，最大值为1，当时，，故B错误；
，，函数没有单调性，故C错误；
当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，
故选：D．
由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．
设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．
【解答】
解：设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，
由，且ON为的中位线，可得
，，
即有，
在直角三角形中，可得，
即有，
由双曲线的定义可得，
可得，
则双曲线的渐近线方程为
故选A．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目．
由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数，
再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，
结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案．
【解答】
解：定义在R的奇函数满足：
，
且，
又时，，即，
0'/>，函数在时是增函数，
又，是偶函数；
时，是减函数，结合函数的定义域为R，且，
可得函数与的大致图象如图所示，
由图象知，函数的零点的个数为3个．
故选：C．
13.【答案】
【解析】解：依题解：依题意得，
因此曲线在处的切线的斜率等于1，
所以函数在点处的切线方程为
故答案为：．
利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
利用二倍角公式即可算出结果．
本题主要考查了二倍角公式，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由抛物线定义，，所以，，
所以，的面积．
故答案为：．
利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．
本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
16.【答案】
【解析】解：设球心为O，如图．
由，，可求得
在矩形ABCD中，可求得对角线，故BE
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，
设，在直角三角形BOE中，
过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故
在直角三角形POH中，
，解得，
球的半径
则此球的表面积等于．
故答案为：．
设球心为O，如图．由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，，设，分别在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半径，从而得出表面积．
本题是基础题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力．
17.【答案】解：Ⅰ，，
，
．
销量y关于x的线性回归方程为；
Ⅱ设商品A的单价应定为x元，
则利润，
当时，获得的利润最大．
【解析】Ⅰ由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
Ⅱ设商品A的单价应定为x元，则利润，再由二次函数求最值．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
18.【答案】解：，
，
，
，
，
又，．
Ⅱ，，，
则的周长，
，，
，
周长的取值范围是．
【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．
熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．
19.【答案】Ⅰ证明：在中，
，，，则，
在中，由，，得，
，又，
，
平面SAD，平面SAD，
平面SAD；
Ⅱ解：由底面ABCD，，
可以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，，，得
0，，1，，0，，2，，
，，，
设平面SBC的一个法向量为，
由，取，得，
设直线SD与平面SBC所成角为，
则．
【解析】Ⅰ由已知求解三角形证明，再由，可得，由线面平行的判定可得平面SAD；
Ⅱ以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面SBC的一个法向量，利用空间向量求解直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：由得，又有，代入，解得，
所以椭圆方程为，
由抛物线的焦点为得抛物线的方程为：．
由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于0，
设直线OA方程为：，
得：，可知点A的横坐标，即，
因为，可设直线OB方程为：
联立可得得：，从而得，
若线段AB的中点在y轴上，可知，即，
且有，且，解得，
从而得，，
直线AB的方程：．
【解析】通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可．
可知直线OA的斜率一定存在且大于0，设直线OA方程为：，，联立得，求出点A的坐标x，然后求解B的坐标，即可求解直线AB的方程．
本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21.【答案】解：的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增；
恒成立，即恒成立，
时，即在恒成立，
令，，
，
令，则，
故在递增，
故，
故，
故在递增，
由，
故，
时，显然成立，
时，即在恒成立，
令，，
，
故在递增，
由，
故，
综上，．
【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
通过讨论x的范围，得到在恒成立或在恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
22.【答案】解：，
其普通方程为，化为极坐标方程为：．
联立与l的极坐标方程：，解得P点极坐标为
联立与l的极坐标方程：，解得Q点极坐标为，所以，
又点M到直线l的距离，
故的面积．
【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程，再利用互化公式可得曲线的极坐标方程；
将直线l的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程，得到P、Q的极坐标，利用极坐标的几何意义可得PQ，再求出M到l的距离，代入面积公式可得．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.【答案】解：当时，，
由，
或，
解得，
故不等式的解集为，
当时不等式成立，
，
即，
即，
，
，
，
，
，
，
，
故a的取值范围为．
【解析】去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
当时不等式成立，转化为即，即，转化为，且，即可求出a的范围．
本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
单价元
15
16
17
18
19
销量件
60
58
55
53
49