2020届贵州省凯里一中高三3月模拟（入学诊断）数学（理）试题（解析版）

2020届贵州省凯里一中高三3月模拟（入学诊断）数学（理）试题  一、单选题1．若全集，，则（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】计算得到，再计算补集得到答案.【详解】，，∴或.故选：B.【点睛】本题考查了补集的计算，属于简单题.2．设复数，且为纯虚数，则 （    ）A．-1 B．1 C．2 D．-2【答案】D【解析】为纯虚数，，解得，故选D.3．蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出关于的线性回归方程，那么下表中的值为（    ）（℃）38414239（次数/分钟）294436  A． B． C． D．【答案】B【解析】计算，，代入回归方程计算得到答案.【详解】计算，，代入与的线性回归方程中，得，解得.故选：B.【点睛】本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据程序框图依次计算，找出规律：的值成周期为的间隔存在，得到答案.【详解】由程序框图可得第一次：，，第二次，，，不满足退出循环的条件；第三次，，，不满足退出循环的条件；第四次，，，不满足退出循环的条件；第五次，，，不满足退出循环的条件；第六次，，，不满足退出循环的条件；…观察可知的值成周期为的间隔存在，第次，，，满足退出循环的条件；第次，，，满足退出循环的条件；故输出值为，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，找出周期规律是解题的关键.5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（  ）A．2 B．4 C．18 D．36【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长．详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．6．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】计算，再根据计算得到答案.【详解】因为，，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键，意在考查学生的计算能力.7．若函数的图象关于点对称，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】化简得到，根据对称中心得到，，解得答案.【详解】函数，其图象关于点对称，则，；解得，，又，所以时，取得最小值是.故选：A.【点睛】本题考查了根据三角函数的中心对称求参数，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.8．函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，当时，，故排除ABC，得到答案.【详解】当时，，当时，，故排除ABC.故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除选项可以快速得到答案，是解题的关键.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为（    ）A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺【答案】C【解析】直接利用体积公式计算得到答案.【详解】由题意可得：这个四棱锥的体积立方尺，故选：C.【点睛】本题考查了四棱锥的体积计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.10．已知均为正实数，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】画出函数，，，的图像，根据图像得到答案.【详解】，，，利用函数，，，，如图所示：由图象可得：，故选：C.【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键.11．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为，即可求解其最小值．详解：设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以 点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．  二、填空题12．已知实数满足不等式组若当且仅当，时，取得最大值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.【详解】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，则由图可知，当且仅当，时，取得最大值，即目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则，故选：. 【点睛】本题考查了根据线性规划最值点求参数范围，画出图像是解题的关键.13．已知向量，，若，则______.【答案】【解析】根据得到，得到，计算模长得到答案.【详解】根据题意，向量，，，则，解得，则，则；故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.14．已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到两个班级，若甲必须在班，且每班至少有这五名中的人，则不同的分配方案有______种.【答案】10【解析】将人分为人数为、两组，有种分法，将甲所在的组安排到班，剩下的组安排到班，有种情况，得到答案.【详解】根据题意，分步进行分析：①将人分为人数为、的两组，有种分法，②将甲所在的组安排到班，剩下的组安排到班，有种情况，则有种不同的安排方法.故答案为：.【点睛】本题了分步乘法原理，意在考查学生的应用能力.15．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正三棱锥内切球的表面积为__________．【答案】.【解析】作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积.【详解】如图,是底面的重心,则内切球球心在上,与到的距离都是内切球的半径.其中,,所以.设内切圆的半径为.由,得.即,解得.所以内切球的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.16．已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，即则，当且仅当时取到等号；故答案为【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题 三、解答题17．知数列的前项和,数列满足.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为.则.（2）结合(1)中的结论错位相减可得数列的前项和.详解：(1)在中,令,得，当时, ,所以 .由于满足,所以.因为,所以.（2）由（1）知，所以 ，①则 .②①-②得 ，所以.点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．2019年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，，参考的文科生与理科生人数之比为，成绩（单位：分）分布在的范围内且将成绩（单位：分）分为，，，，，六个部分，规定成绩分数在分以及分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.（1）求实数的值；（2）（i）完成下面列联表； 文科生/人理科生/人合计优秀作文6____________非优秀作文__________________合计____________400 （ii）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？注：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828  【答案】（1），，（2）（i）填表见解析（ii）在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关【解析】（1）根据频率直方图得到，，解得答案.（2）（i）计算人中文科生的数量为，理科生的数量为，完善列联表得到答案.（2）（ii）计算，对比临界值表得到答案.【详解】（1）由频率分布直方图可知，，因为，所以，解得，所以，.即，，.（2）（i）获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以人中文科生的数量为，理科生的数量为.由表可知，获奖的文科生有人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人，不获奖的理科生有.于是可以得到列联表如下： 文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400  （ii）计算；所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.【点睛】本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，平面的法向量，，得到证明.（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，平面的法向量，∵，平面，∴平面.（2），，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取得，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为.、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点，当它与轴正方向的夹角为60°时,.(1)求抛物线的方程;(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.【答案】(1) .(2)4.【解析】分析：（1）设，则由抛物线的定义得，当与轴正方向的夹角60°时，，由，从而可得结果；（2）设，则，所以，则，利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.详解：（1）设，则由抛物线的定义得.当与轴正方向的夹角60°时，，即.又.所以，抛物线的方程为（2）因为所以点在线段的中垂线上，设，则所以所以当且仅当时等号成立，此时所以.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21．已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增；（2）的取值范围为.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意 ，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而.若，令 ，当时，；当时，.∴综合得出结论即可解析：（1） ，当时，，∴在上单调递增.当时，，故当或时，在上单调递增.当时，令，得或；令，得.∴在上单调递减，在，上单调递增.（2）设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而.此时，在上恒成立.若，令 ，当时，；当时，.∴，则不合题意.故的取值范围为.点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若，直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直线的直角坐标方程为，根据极坐标公式得到答案.（2）直线的参数方程为，代入椭圆方程得到，，，计算得到答案.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程转换为标准式为（为参数），代入，得到：，所以，，所以.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程的转化，直线的参数方程求弦长，意在考查学生的计算能力和应用能力.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）把代入，分别解不等式及，求交集可得不等式的解集；（2），可对 分三种情况进行讨论，求解的取值范围.详解：（1）当时，因为所以的解集为，由，得，则，即，解得，故不等式的解集为；（2）当时，，则，又，所以．当时，，故不合题意，当时，当且仅当时等号成立，则，又，所以综上：的取值范围为．点睛：不等式证明选讲近年来多以考察绝对值不等式为主，要能够对参数熟练进行分类讨论，或者运用绝对值不等式的几何意义进行求解，当不等式两侧都含有绝对值时，对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论，减少计算量.