2020届贵州省毕节市高三诊断性考试（二）数学（文）试题（解析版）

2020届贵州省毕节市高三诊断性考试（二）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分别求出集合和集合，再由并集的运算求出.

【详解】

对集合，等价于，

解得，，故；

对集合，由，解得，

故；

所以.

故选：A

【点睛】

本题主要考查集合并集的运算、解分式不等式和一元二次不等式，考查学生计算能力，属于基础题.

2．已知为虚数单位，若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将变形成，利用复数的乘除运算求解即可.

【详解】

由题意，，

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查学生计算能力，属于基础题.

3．从某校高三年级学生中按分层抽样的方法从男、女同学中共抽取90人进行考前心理辅导，若在女同学层次中每个个体被抽到的概率为，则高三年级总人数为(    )

A．560 B．300 C．270 D．27

【答案】B

【解析】由已知可得每个个体被抽到的概率为，即可求解

【详解】

女同学层次中每个个体被抽到的概率为，

共抽取90人，则高三年级总人数为.

故选:B

【点睛】

本题考查分层抽样，分层抽样每个个体被抽取的概率相等，抽取的样本数、个体总数、个体被抽取的概率，知二求一，属于基础题.

4．函数在一个周期内的图象如图（其中，，），则函数的解析式为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由函数的最大值和最小值求出和，由图像得函数的周期，进而求出，最后由函数图像经过点求出，即可得函数解析式.

【详解】

由图像可知，函数的最大值为3，最小值为，

所以，，

，即，所以，

函数，

函数经过点，代入函数方程，

得，即，

即，，又，

所以，

所以函数的解析式为.

故选：D

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像和性质，考查学生数形结合的能力，属于中档题.

5．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据，列等式计算即可求出.

【详解】

由题意，是上一点，设，

则，

又，所以，

所以，

所以，解得.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理及其意义，考查数形结合的思想，属于中档题.

6．若，则的值是（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【解析】由得，解出，再利用二倍角公式和平方关系化简，将代入求解即可.

【详解】

由题意，，解得，

故选：B

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式和平方关系的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.

7．函数满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，所以令，化简，得到，从而，联立两式求解出的周期为6，从而，即可求出.

【详解】

由题意，取，

则，

即①，

所以②，

联立①②得，，

所以，

所以函数的周期为，

由，所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数值的求法，如何利用题目中的条件求解出函数的周期是关键，属于中档题.

8．过抛物线：的焦点，且倾斜角为的直线与物线交于，两点，若，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，设直线方程，代入抛物线方程并整理得，利用韦达定理分别表示出和，再由弦长公式表示出，求解出，即可得到抛物线方程.

【详解】

由题意，抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为，

设过抛物线焦点，倾斜角为的直线方程：，

代入抛物线方程并整理得，，

设点，点，

则，，

由弦长公式，，

解得，，

所以抛物线方程为：

故选：C

【点睛】

本题主要考查抛物线的应用和弦长公式，注意韦达定理的应用，考查学生计算能力，属于中档题.

9．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由平面，得，，再由勾股定理求出，所以可得三棱锥外接球半径，由球的体积公式求解即可.

【详解】

由题意，平面，所以，，

又，，

所以，即，

所以、、两两垂直，

三棱锥的外接球即以、、为长宽高的长方体的外接球，

故三棱锥外接球半径，

外接球体积.

故选：D

【点睛】

本题主要考查外接球体积的求法，考查学生转化和空间想象能力，属于基础题.

10．设，为两个平面，命题：的充要条件是内有无数条直线与平行；命题：的充要条件是内任意一条直线与平行，则下列说法正确的是(    )

A．“”为真命题 B．“”为真命题

C．“”为真命题 D．“”为真命题

【答案】C

【解析】根据平面与平面平行的定义和判定定理可得命题为假，命题为真，根据复合命题间的真假关系，逐项判断，即可求出结论.

【详解】

若，则在中存在无数条直线与平行，

也平行平面，所以命题为假；

若，由面面平行的性质定理可知内任意一条直线与平行，

若内任意一条直线与平行，则在内必存在两条相交的直线平行，

根据平面与平面平行的判定定理可得，，所以命题为真，

“”为假命题，选项错误；

“”为假命题，选项错误；

“”为真命题，选项正确；

“”为假命题，选项错误.

故选:C.

【点睛】

本题考查复合命题真假的判定，涉及到平面与平面平行的判定和性质，属于基础题.

11．的内角、、的对边分别为、、，且，若，，则角的大小为（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【解析】由边化角得到，再由，化简得到，求出，再由正弦定理求出，根据的范围即可求出角的大小.

【详解】

由，得，

在中，，所以，

所以，

解得，即，

由正弦定理，，

因为，所以，

所以角的大小为或.

故选：B

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用、诱导公式和两角和差的正弦公式，考查学生的分析转化能力，属于中档题.

12．已知函数恰有1个零点，则的取值集合是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令在只有一个零点，而函数是偶函数，根据对称性在不能有零点，所以在存在一个零点，即可求解.

【详解】

，

函数恰有1个零点，

在，

是偶函数，

在存在一个零点，

只需.

故选:A.

【点睛】

本题考查函数的零点，换元转化是解题的关键，属于中档题.

二、填空题

13．2019年7月1，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为______.

【答案】

【解析】由已知随意投放有4中，错误投放有3种，即可求解.

【详解】

“湿垃圾”随意地投放到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、

“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶内，有4种投放方法，

被处罚的投放有“可回收物”、“有害垃圾、“干垃圾”3种投法，

该居民会被处罚的概率为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查古典概型的概率，属于基础题.

14．计算：______.

【答案】

【解析】利用换底公式，再由对数的运算性质求得，最后求解出即可.

【详解】

由题意，，

所以，

，

所以原式.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数的运算性质和换底公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.

15．已知函数，则的单调递减区间为______.

【答案】

【解析】根据的解析式，求出，再根据导函数求出，再利用导数来判断的减区间即可.

【详解】

由题意，，

，

所以，故，

，

所以，解得，

故，

，即，解得，，

故的单调递减区间为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数值的求法、利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

16．过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，与轴交于点，若，且双曲线的离心率为，则的值为______.

【答案】2

【解析】由双曲线离心率为，求出渐近线方程，由右焦点和直线和渐近线垂直，设直线方程，求出和，再由，得到，从而求解出.

【详解】

由题意，双曲线的离心率为，

即，解得，

设双曲线的一条渐近线方程为：，

双曲线右焦点，又直线与渐近线垂直，

所以设直线：，

当时，，即，

所以，

，

由，得，

解得

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质、直线方程的应用和点到直线距离公式，考查学生的转化能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为，公差，且，，成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由和表示出，再由等比中项的性质表示出，，成等比数列，可以求出和，再表示出即可；

（Ⅱ）由是首项为1，公比为3的等比数列，得到的通项公式，再表示出的通项公式，由分组求和的方法求出即可.

【详解】

（Ⅰ）根据题意得：

，

由，，成等比数列可得，

∴，即，

∵，∴，

∴，.

（Ⅱ），

∴，

∴

.

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列通项公式、分组求和求数列前项和，考查学生的计算能力，属于基础题.

18．某手机生产企业为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到单价（单位：千元）与销量（单位：百件）的关系如下表所示：

已知.

（Ⅰ）若变量，具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；

（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值，当销售数据对应的残差满足时，则称为一个“好数据”，现从5个销售数据中任取3个，求其中“好数据”的个数的分布列和数学期望.

参考公式：，.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，

【解析】（Ⅰ）由可求出，求出，再分别计算出和，代入公式可求出，由求出，从而得到线性回归方程；

（Ⅱ）利用的值判断共有三个好数据，再计算对应的概率值，列出分布列，计算数学期望即可.

【详解】

（Ⅰ）由，可得，

，

，

，

代入得，

，

∴回归直线方程为.

（Ⅱ），

，

，

，

，

共有3个“好数据”.

∴，

，，

∴的分布列为：

的期望值为.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程、分布列和数学期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题.

19．如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.现分别沿，将和折起，点折至点，点折至点，使得平面平面，平面平面，连接，如图2.

（Ⅰ）若、分别为、的中点，求证：平面平面；

（Ⅱ）求多面体的体积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（1）取中点，连，由已知可得，，为正三角形，

，可得平面，平面，

平面，从而有，即可证明结论.

（2），只需求出到平面的距离，由（1）得点到平面的距离等于点到平面的距离为，即可求出结论.

【详解】

（1）取中点，连，

∵、是和的中点，∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

在图1等腰梯形中，，，

，，，

，同理

，，为正三角形，

∴.

又∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面，

同理可证平面，

又∵平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面；

（Ⅱ）连接，作于，

由（Ⅰ）得，平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

等于点到平面的距离的，

∴，

则.

【点睛】

本题考查空间点、线、面的位置关系，证明平面与平面平行以及组合体的体积，注意空间中垂直相互转化，属于中档题.

20．已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线，与直线分别交于点，，求证：以线段为直径的圆过定点，.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ）将代入椭圆方程求出点纵坐标，得到，且等于，再由离心率和关系，即可求解；

（Ⅱ）设点，求出线，的斜率，，由点的椭圆上，得到为定值，分别求出坐标，证明即可.

【详解】

（Ⅰ）代入椭圆方程得，

由，得，

又因为且，

得，，，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设点，

则得，

又设直线，的斜率分别为，，

则，，

所以，

∴直线：，直线：，

所以点，，

由，

所以以线段为直径的圆过定点，

同理，以线段为直径的圆过定点.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线关系，考查计算求解能力，属于中档题.

21．已知函数，.

（Ⅰ）若函数在处的切线垂直于轴，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.

【答案】（Ⅰ）的极小值为0；（Ⅱ），证明见解析.

【解析】（Ⅰ）求出求出，进而求出的解，得出单调区间，即可求出结论；

（Ⅱ）代入解析式得函数值为0，整理得，转化为证明，不妨设，只需证，根据函数单调性只需证，构造函数，，利用单调性证明恒成立，即可证明结论.

【详解】

（Ⅰ），

，∴，∴，

令，，

，

∴的极小值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有两个零点，，

必须有且最小值

，

∴，∴，∴，

又∵当时，；

当时，，∴，

此时，，

∴，，

∴，

要证：，即证：，

即证：，即证：，

即证：，

不妨设，∴，∴，

即证：，

即证：，

令

，

，

当且仅当时取“”，

∴在上为增函数，

∴，∴成立，

∴成立.

【点睛】

本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、函数单调性、极值、零点、不等式的证明，分析法构造函数是解题的关键，属于较难题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，按照逆时针方向排列，点的极坐标为.

（Ⅰ）求点，，的直角坐标；

（Ⅱ）设为上任意一点，求点到直线的距离的取值范围.

【答案】（Ⅰ）点的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为.

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由点的极坐标和，，的排列顺序，得到点和点的极坐标，再由求出，，的直角坐标即可；

（Ⅱ）由点和点的坐标可得直线的方程，设点，由点到直线距离公式表示出点到直线的距离，再由辅助角公式和三角函数的性质得到的取值范围即可.

【详解】

（Ⅰ）由题意，等边的顶点都在上，

且点，，按照逆时针方向排列，点的极坐标为，

所以点的极坐标，点的极坐标，

由，

可得点的直角坐标为，

点的直角坐标为，

点的直角坐标为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以得的直线方程为：，

设点，

则点到直线的距离为

，

因为，所以，

所以，

.

【点睛】

本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转化、点到直线距离的应用、三角恒等变换和三角函数的性质，考查学生对极坐标的理解和计算能力，属于基础题.

23．已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求证：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）对去绝对值，分别求解、、时的不等式即可；

（Ⅱ）将不等式两边平方并化简为，由和的范围即可证明.

【详解】

（Ⅰ）①当时，不等式可化为，

解得：，故此时无解；

②当时，不等式可化为，解得：，故有；

③当时，不等式可化为，

解得：，故此时无解；

综上，不等式的解集.

（Ⅱ）要证，

即证，

即证，

即证，

即证，

即证，

∵，∴，，

∴成立.

∴成立.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，属于基础题.