高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差当堂检测题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差当堂检测题，共7页。
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】　∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．【答案】　B2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)A．n＝4，p＝0.6　　　　 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3   D．n＝24，p＝0.1【解析】　由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.【答案】　B3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　)A．6　　　　B．9　　　　C．3　　　　D．4【解析】　E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.【答案】　A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)A.   B.  C.   D．5【解析】　两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B，因此D(ξ)＝10××＝.故选A.【答案】　A5．已知X的分布列为(　　)X－101P则①E(X)＝－，②D(X)＝，③P(X＝0)＝.其中正确的个数为(　　)A．0  B．1  C．2  D．3【解析】　E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确；③P(X＝0)＝显然正确．【答案】　C二、填空题6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.【解析】　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.【答案】　7．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】　由独立重复试验的方差公式可以得到D(ξ)＝np(1－p)≤n2＝，等号在p＝1－p＝时成立，所以D(ξ)max＝100××＝25，＝＝5.【答案】　　58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】　设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】　60,96三、解答题9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05 X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．【解】　∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．由上可知，A面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．【解】　(1)X的分布列为：X01234P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴或即为所求．[能力提升]1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)A.   B.  C．3   D.【解析】　∵E(X)＝x1＋x2＝.∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝.∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3.【答案】　C2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　) 【导学号：97270052】A．8  B．12  C.  D．16【解析】　由题意可知ξ～B，∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.又D(ξ)＝n××＝×36＝8.【答案】　A3．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．【解析】　由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，故分布列为ξ－101P∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.【答案】　4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2­3­3所示．图2­3­3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解】　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.