人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差当堂检测题

2.3.2　离散型随机变量的方差

课后篇巩固探究

基础巩固

1.已知X的分布列为

则D(X)的值为(　　)

A. B. 

C. D.

解析∵E(X)=1×+2×+3×+4×,

∴D(X)=.

答案C

2.已知随机变量X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别是(　　)

A.6,2.4 B.2,2.4 

C.2,5.6 D.6,5.6

解析∵X~B(10,0.6),∴E(X)=10×0.6=6,

D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4.

又X+Y=8,∴Y=8-X.

∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2,

D(Y)=D(-X+8)=D(X)=2.4.

答案B

3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为:

现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好(　　)

A.甲 

B.乙

C.甲、乙均可 

D.无法确定

解析∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2),即甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.

答案A

4.若随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,且E(X)=24,则D(X)的值为(　　)

A.8 B.12 

C. D.16

解析由题意可知X~B,

∴E(X)=n=24.

∴n=36.

∴D(X)=36×=8.

答案A

5.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为(　　)

A.E(X)=0,D(X)=1

B.E(X)=,D(X)=

C.E(X)=0,D(X)=

D.E(X)=,D(X)=1

解析得分X的分布列为

所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.

答案A

6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=　　　　　. 

解析由题意知取到次品的概率为,

∴X~B.

∴D(X)=3×.

答案

7.某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的标准差为　　　　　　　,在5次投篮中(假设各次投篮相互之间没有影响)命中次数η的方差是　　　. 

解析依题意知:ξ服从两点分布,η服从二项分布,即η~B(5,0.8),

所以D(ξ)=0.8×(1-0.8)=0.16,所以=0.4,D(η)=5×0.8×(1-0.8)=0.8.

答案0.4　0.8

8.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个题目选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为　　　　　　　. 

解析设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则Y=4X.

由题知X~B(25,0.6),

所以E(X)=25×0.6=15,

D(X)=25×0.6×0.4=6,

E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,

D(Y)=D(4X)=42×D(X)=16×6=96,

所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.

答案60,96

9.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4),现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.

(1)求X的分布列,均值和方差;

(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.

解(1)X的分布列为

故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.

(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,

即a=±2,又E(Y)=aE(X)+b,

故当a=2时,由1=1.5×2+b,得b=-2;

当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.

因此,即为所求.

能力提升

1.已知随机变量X的分布列为

若E(X)=2,则D(X)的最小值等于(　　)

A.0 B.2 C.4 D.6

解析依题意得a=1-,

∴E(X)=m+n=2,即m+2n=6.

又D(X)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,

∴当n=2时,D(X)取得最小值0.

答案A

2.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)等于(　　)

A.m B.2m(1-m) 

C.m(m-1) D.m(1-m)

解析随机变量ξ的分布列为

∴E(ξ)=0×(1-m)+1×m=m.

∴D(ξ)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).

答案D

3.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　)

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

解析∵D(X甲)>D(X乙),∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.

答案B

4.已知X的分布列为

则下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故①正确.

D(X)=,故②不正确.由分布列知③正确.

答案C

5.离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=pkq1-k(k=0,1,p+q=1),则E(X)与D(X)依次为(　　)

A.0和1 B.p和p2

C.p和1-p D.p和p(1-p)

解析根据题意,E(X)=0×q+1×p=p,D(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p(1-p),或可以判断随机变量X满足两点分布,所以E(X)与D(X)依次为p和p(1-p).

答案D

6.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　　　　. 

解析由题意知X的可能取值有0,1,2,3,并且

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

∴E(X)=0×+1×+2×+3×,

D(X)=

=.

答案

7.若p为非负实数,随机变量X的分布列为

则E(X)的最大值是　　　,D(X)的最大值是　　　. 

解析由分布列性质可知p∈0,,则E(X)=p+1∈1,,故E(X)的最大值为.

又D(X)=-p(p+1)2+p(p+1-1)2+(p+1-2)2

=-p2-p+1=-p+2+,∵p∈0,,∴当p=0时,D(X)取得最大值1.

答案　1

8.(选做题)有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示:

甲:

乙:

试分析两名学生的成绩水平.

解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,

D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,

E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,

D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,

∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),

∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.

9.(选做题)A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为

(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(单位:万元)和Y2(单位:万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.

解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为

E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,

D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;

E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,

D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.

(2)f(x)=D+D

=D(Y1)+D(Y2)

=[x2+3(100-x)2]

=(4x2-600x+3×1002).

所以当x==75时,f(x)=3为最小值.