2020-2021学年第二章 随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差同步训练题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)

A．0.1　　　B．0.2　　　C．0.3　　　D．0.4

【解析】　∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选 D.

【答案】　D

2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为(　　)

A．0.6   B．1 

C．3.5   D．2

【解析】　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.

【答案】　C

3．设ξ的分布列为

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

【解析】　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.

【答案】　D

4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为(　　)

A.   B．1 

C.   D.

【解析】　遇到红灯的次数X～B，∴E(X)＝.

∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.

【答案】　D

5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为(　　)

A．2.5  B．3.5  C．0.25  D．2

【解析】　E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.

【答案】　A

二、填空题

6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________. 【导学号：97270049】

【解析】　X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.

【答案】　1.75

7．(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．

【解析】　随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此E(X)＝.

【答案】　

8.如图2­3­2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.

图2­3­2

【解析】　依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

【答案】　

三、解答题

9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？

【解】　设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3 000)，

∴P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3 000－k，

则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)．

∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．

10．(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

【解】　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．

[能力提升]

1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：

据此判定(　　)

A．甲比乙质量好   B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同   D．无法判定

【解析】　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，

E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.

由于E(Y)>E(X)，

故甲比乙质量好．

【答案】　A

2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)

A．2 000元  B．2 200元

C．2 400元  D．2 600元

【解析】　出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．

【答案】　B

3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.

【解析】　∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋2××2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

【答案】　

4．(2015·山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．

(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．

【解】　(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.

(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝－1)＝＝，

P(X＝1)＝1－－＝.

所以X的分布列为

则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.