数学选修1-13.3导数在研究函数中的应用同步测试题

3.3.3　函数的最大(小)值与导数

课时目标　1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在______________的最大值．

2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条______________的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．

3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求f(x)在(a，b)内的________；

(2)将f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．

一、选择题

1．下列结论正确的是(　　)

A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值

B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值

C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得

D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值

2．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是(　　)

A．f(1)，f(3)                     B．f(3)，f(5)

C．f(1)，f(5)                     D．f(5)，f(2)

3．函数y＝在[0,2]上的最大值是(　　)

A．当x＝1时，y＝              B．当x＝2时，y＝

C．当x＝0时，y＝0              D．当x＝，y＝

4．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为(　　)

A.         B．1        C．0           D．不存在

5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为(　　)

A．1         B．4        C．－1         D．0

6．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)

A．－      B.          C．－         D．－或－

二、填空题

7．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．

8．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为__________________．

9．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．

三、解答题

10．求下列各函数的最值．

(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

11．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升

12．设函数f(x)＝x2ex.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．

13．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．

1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．

2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．

3．3.3　函数的最大(小)值与导数

答案

知识梳理

1．f(x)≤f(x0)　定义域上

2．连续不断　(1)闭区间　(2)连续不间断　定义域　极值点附近

3．(1)极值　(2)端点处的函数值f(a)，f(b)　最大　最小

作业设计

1．D　[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]

2．D　[f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0，得x＝2.

∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6.

∴最大值为f(5)，最小值为f(2)．]

3．A　[y′＝＝，令y′＝0得x＝1.

∵x＝0时，y＝0，x＝1时，y＝，x＝2时，y＝，

∴最大值为 (x＝1时取得)．]

4．A　[y′＝－.由y′＝0，得x＝.

又0<x<时，y′>0，<x<1时，y′<0，

所以ymax＝ ＋ ＝ .]

5．B　[∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，

∴a＝2.

当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.]

6．C　[y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－或

a＝－(舍去)．]

7．－1

解析　f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x<0或x>1，∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．

∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.

8.

解析　∵x∈，∴f′(x)＝excos x≥0，

∴f(0)≤f(x)≤f.

即≤f(x)≤e.

9．20

解析　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，

得x＝1，(x＝－1舍去)．

∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.

∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.

10．解　(1)f′(x)＝＋cos x.

令f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π，

∴x＝或x＝.

∴f＝＋，f＝－，

又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.

∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，

当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)

＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，

∴f(x)在[－1,1]上为增函数．

故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.

11．解　由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，

知m>f(x)max，

f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，

解得x＝－或x＝1.

因为f(－)＝，

f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.

所以f(x)的最大值为5，

故m的取值范围为(5，＋∞)．

12．解　(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．

由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，

∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，

由x(x＋2)<0，得－2<x<0，

∴(－2,0)为f(x)的减区间．

∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；

单调减区间为(－2,0)．

(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，

∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，

∴f(x)∈[0,2e2]，

又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.

故m的取值范围为(－∞，0)．

13．解　∵f(x)＝ax3－6ax2＋b，

∴f′(x)＝3ax2－12ax.

令f′(x)＝0，解得x＝0或4.

∵4 [－1,2]，故舍去，

∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，

f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，

f(2)＝－16a＋b.

当a>0时，最大值为b＝3，

最小值为－16a＋b＝－29，解得

当a<0时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29，

解得，

综上所述：或.