高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列巩固练习

课时训练11　等比数列

一、等比数列中基本量的运算

1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于 (　　)

A.- B.-2 C.2 D.

答案:D

解析:=q3=,∴q=.

2.已知等比数列{an}中,a1=32,公比q=-,则a6等于(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.

答案:B

解析:由题知a6=a1q5=32×=-1,故选B.

3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列{an}中,=2,a4=8,则a6=(　　)

A.31 B.32 C.63 D.64

答案:B

解析:设等比数列{an}的公比为q,

由=2,a4=8,得解得所以a6=a1q5=25=32.故选B.

4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于(　　)

A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

答案:B

解析:∵等差数列{an}的公差为2,a1,a3,a4成等比数列,

∴(a1+4)2=a1(a1+6),

∴a1=-8,

∴a2=-6.故选B.

5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列{an}的公比q=-,则等于(　　)

A.-3 B.- C.3 D.

答案:A

解析:∵等比数列{an}的公比q=-,

∴=-3.故选A.

二、等比中项及应用

6.2+和2-的等比中项是　　　　. 

答案:±1

解析:设A为等比中项,则A2=(2+)(2-)=1,

∴A=±1.

7.已知等比数列{an}的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式an=　　　　　. 

答案:3n-1

解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.

∵{an}的各项均为正数,∴a+1>0且2a+5>0.

∴a=2.∴a+1=3.∴q==3.∴an=3n-1.

三、等比数列的判定

8.给出下列数列:

①2,2,4,8,16,32,…;

②在数列{an}中,=2,=2;

③常数列c,c,c,c,….

其中等比数列的个数为　　　　　. 

答案:0

解析:①不是等比数列,因为;

②不一定是等比数列,因为不知道的值,即使=2,数列{an}也未必是等比数列;

③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0.

9.设{an}是公比为q的等比数列,设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,

(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),

+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,

因为a1≠0,所以2qk=qk-1+qk+1.

因为q≠0,所以q2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾.

所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

(建议用时:30分钟)

1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则该等比数列的公比为(　　)

A. B. C.2 D.8

答案:B

解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,

所以q3=,即q=,选B.

2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:B

解析:∵a1=,an=,q=,∴,则n=4.

3.已知等比数列{an}中,a1=3,8=an+1·an+2,则a3= (　　)

A.48 B.12 C.6 D.2

答案:B

解析:设数列{an}的公比为q,

则由8=an+1an+2,得8=a2a3,即8q3,

∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12.

4.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　)

A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9

答案:B

解析:∵-1,a,b,c,-9成等比数列,

∴b2=(-1)×(-9)=9.

又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3.

又b2=ac,∴a与c同号.∴ac=9.

5.已知1既是a2与b2的等比中项,又是的等差中项,则的值是(　　)

A.1或 B.1或-

C.1或 D.1或-

答案:D

解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,=2,

∴

又,∴其值为1或-.

6.设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于　　　　. 

答案:79.5

解析:∵1+2an=(1+2a1)×2n-1,

∴1+2a6=5×25,∴a6==79.5.

7.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是　　　　　. 

答案:3

解析:由已知=a1·a17,

∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.

∴公比q==3.

8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的　　　　倍. 

答案:1.259

解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an×25%=1.25an.

则=1.25.

则数列{an}是公比q=1.25的等比数列.

则a10=a1q9=1.259m.所以=1.259.

9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.

解:由题意知

②÷①得q(1-q)=,

∴q=.

∴a1==96.

又∵a6=a1q5,

∴a6=96×=3,

∴a5,a7的等比中项a6=3.

10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.

(1)求证:是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明:∵an+1=an+,

∴an+1-an+.

∴.

∴是首项为,公比为的等比数列.

(2)解:∵an-,

∴an=.