高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例一课一练

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例一课一练，共7页。试卷主要包含了与三角形面积有关的计算，三角形中的有关计算，与三角形有关的证明问题等内容，欢迎下载使用。
课时训练4　三角形中的几何计算一、与三角形面积有关的计算1.在△ABC中,c=,b=1,B=30°,则△ABC的面积为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.C. D.答案:B解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B,即1=a2+3-2acos 30°,化简得a2-3a+2=0.∴a=1或a=2.又S△ABC=acsin B=a,∴S△ABC=.2.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(　　)A.5 B. C.2 D.1答案:B解析:根据三角形面积公式,得BA·BC·sin B=,即×1××sin B=,得sin B=,其中C<A.若B为锐角,则B=,所以AC==1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,不符合题意,所以B为钝角,即B=,所以AC=.3.(2015山东威海高二期中,10)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,2sin=1,b=1,△ABC的面积是,则边c等于(　　)A.2 B. C.2 D.2答案:A解析:∵sin,A∈(0,π),∴2A+,可得A=.∵b=1,△ABC的面积为.∴S=bcsin A=,即×1×c×,解得c=2,故选A.4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　　. 答案:2解析:在△ABC中,根据正弦定理,得,所以,解得sin B=1.因为B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sin C=2.5.(2015河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2csin B.(1)求角C的大小;(2)若c2=(a-b)2+6,求△ABC的面积.解:(1)由正弦定理,及b=2csin B,得sin B=2sin Csin B,∵sin B≠0,∴sin C=.∵C为锐角,∴C=60°.(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a-b)2+ab,∵c2=(a-b)2+6,∴ab=6.则S△ABC=absin C=.二、三角形中的有关计算6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为(　　)A.5 B.5C.5 D.5答案:D解析:在△ACD中,cos C=.∴sin C=.在△ABC中,由正弦定理得,∴AB==5.7.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为　　　　. 答案:5解析:连接BD,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°=4+4+4,∴BD=2.S四边形=S△ABD+S△BCD=×4×2×2×2sin 120°=5.8.(2015福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD中,AB=3,AC=6,∠ACB=45°.(1)求∠ACB的大小;(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD的长.解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得,即.整理,得sin∠ABC=1,则∠ABC=90°.(2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°,又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°.在△ABD中,∠ADB=180°-105°-30°=45°,由正弦定理,得AD==3,在△ABD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=9+36-18=27,∴CD=3.三、与三角形有关的证明问题9.在△ABC中,求证:.证明:右边==·cos B-·cos A===左边,故结论成立.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.证明:由余弦定理的推论得cos B=,cos A=,代入等式右边,得右边=c==左边,∴=c.(建议用时:30分钟)1.已知方程x2sin A+2xsin B+sin C=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.b=ac B.b2=acC.a=b=c D.c=ab答案:B解析:由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,即sin2B=sin Asin C,∴b2=ac.2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则角A的对边的长为(　　)A. B. C. D.答案:D解析:∵S△ABC=bcsin A=×1×c×sin 60°=,∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×4×=13.∴a=.3.在△ABC中,已知a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=(　　)A. B.2 C.4 D.3答案:B解析:在△ABC中,sin C=,则由S△ABC=absin C,得×3×b=4,∴b=2.4.(2015河南南阳高二期中,5)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三角形ABC的面积S=,则C的大小是(　　)A.45° B.30° C.90° D.135°答案:A解析:∵△ABC中,S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C,且S=,∴absin C=abcos C.整理,得sin C=cos C,即tan C=1,则C=45°.故选A.5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于(　　)A.1+ B.C. D.2+答案:A解析:由ac·sin 30°=,得ac=6,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,∴b=+1.6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为　　　　. 答案:解析:∵AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 60°=3,∴AD=.7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sin C=　　　　. 答案:解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin,易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=AC·BCsin C=,即可得出sin C=.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则a与b的大小关系是　　　　. 答案:a>b解析:由正弦定理得,.∴sin A=.∴A>30°,则B<30°.∴a>b.9.(2015陕西高考,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.(1)解:因为m∥n,所以asin B-bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0.又sin B≠0,从而tan A=.由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得,从而sin B=.又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin.所以△ABC的面积为absin C=.10.△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a.(1)求;(2)若c2=b2+a2,求B.解:(1)由正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B(sin2A+cos2A)=sin A.故sin B=sin A,所以.(2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cos B=.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.可得cos2B=,又cos B>0,故cos B=,所以B=45°.