高中2.3 直线、平面垂直的判定及其性质达标测试

2.3.2　平面与平面垂直的判定

一、基础过关

1．过两点与一个已知平面垂直的平面          (　　)

A．有且只有一个       B．有无数个

C．一个或无数个       D．可能不存在

2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是         (　　)

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面经过另一个平面的一条垂线

C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的

3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是      (　　)

①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；

②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.

A．①②     B．①③     C．②③     D．①②③

4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是    (　　)

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．

6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.

8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角A—BE—P的大小．

二、能力提升

9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为                                                                                                                                            (　　)

A.     B.      C.     D.

10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是                                                                                                                                                                                                                                (　　)

A．BC∥面PDF        B．DF⊥面PAE

C．面PDF⊥面ABC        D．面PAE⊥面ABC

11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC.

(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．

三、探究与拓展

13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.

(1)求证：PD⊥平面ABC；

(2)求二面角P—AB—C的正切值．

答案

1．C　2.D　3.B　4.B　

5．45°  6．5

7．证明　因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形，

所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.

又GF⊂平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.

8．(1)证明　如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，

△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.

又AB∥CD，所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD，

BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，

因此BE⊥平面PAB.

又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)解　由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°.

故二面角A—BE—P的大小是60°.

9．B  10．C　

11．证明　(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.

因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.

所以EF∥平面ABC.

(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.

又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

12．(1)证明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.

又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.

(2)解　∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE.

∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，

∴∠PAC＝90°.

∴在棱PC上存在一点E，

使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，

故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．

13．(1)证明　连接BD，

∵D是AC的中点，PA＝PC＝，

∴PD⊥AC.

∵AC＝2，AB＝，BC＝，

∴AB2＋BC2＝AC2.

∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.

∴BD＝AC＝＝AD.

∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，

∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.

∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.

(2)解　取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，

∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.

∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.

又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.

∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．

在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，

∴tan∠PED＝＝.

∴二面角P—AB—C的正切值为.