数学选修2-21.6微积分基本定理第2课时教案
展开在上一节教学中,学生已经学习了微积分基本定理,并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算.本节需要在上一节的基础上,进一步理解定积分的几何意义,以及利用几何意义求几何图形的面积.学生在学习了几种初等函数,必然会设法计算它们的一些定积分.另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质(奇偶性)的函数,这些函数也是可以作为研究的对象.
【教学目标】:
(1)知识与技能:进一步熟悉运用基本定理求定积分;增强函数知识的横向联系;
(2)过程与方法:理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系;
(3)情感态度与价值观:培养学生的探究精神与创新思想。
【教学重点】:
(1)运用基本定理求定积分
(2)定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学难点】:
(1)求函数的一个原函数
(2)理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学突破点】:
合理利用复合函数的求导法则来求原函数
【教学过程设计】:
(基础题)
的值是( )
(A)0(B)(C)2(D)4
答案:C
解释:
曲线与坐标轴所围成的面积是( )
(A)2(B)3(C)(D)4
答案:B
解释:
与x轴所围成图形的面积为
答案:4
解释:
设,求。
解释:
(难题)
求
解释:由图形可知
∴
设为上以为周期的连续函数,证明对任何实数,有
证明:∵为上以为周期的连续函数
∴
设,则有
∴(C为常数)
∴
令,则
令,则
∴
∴
∴原式等证。教学环节
教学活动
设计意图
一、
提
出
问
题
师:上一节课,我们学习微积分基本定理(投影微积分基本定理),并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分.下面我们看看试试计算这些定积分,看看你能发现什么结论?
生:计算,讨论.
例题1:计算下列定积分:
(1);(2)
解:(1)∵
∴
(2)∵时,
∴
师(总结):运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足的函数F(x).
(课本P60)例题2:计算下列定积分:
(1);(2);(3)
解:∵
∴,
,
温故而知新
(2)题主要是学生容易忽视定义域,误为
导致无法计算.
二、
探
索
新
知
生:(可能会回答)
师:这是一个定积分的性质:(其中).
师:试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论.
生:定积分的值可以是正值、负值或0.
生:(书本P60)(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正值,等于曲边梯形的面积;
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负值,等于曲边梯形的面积的相反数.
师:根据你们的结论,我们可以进一步补充课本P51页的定积分的几何意义:
一般情况下(如下图),定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和,在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号.
师:如果在区间上恒为正,则定积分,为面积值;但是,不能推出在区间上恒为正.
师:由上图我们还可以等出一个结论:
若在区间上不是恒为非负的,则函数与x轴以及直线所围的图形的面积为.例如上图中,
例题3:已知在上连续,若是奇函数,则 .并证明你的结论。
附证明:(1)∵在上连续,是奇函数,
∴,
设,则有,
∴(C为常数)
令,则有,∴
∴
∴
∴原式得证
师:本题从几何直观上是非常容易理解的,但是要使用微积分基本定理证明,关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质.
教师利用函数图象引导学生归纳
给出一般结论
着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系:令位于x轴上方的曲边梯形的面积取正值,位于x轴下方的曲边梯形的面积取负值,这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数和
显示出数形结合的威力
复合函数的求导法则的逆运用
容易误为
再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数F(x)
三:实
践
新
知
练习:若是偶函数,则.
证明:∵在上连续,是偶函数,
∴,
设,则有,
∴(C为常数)
令,则有,∴
∴
∴原式得证
巩固
新知
练习:
P62习题1. 6 B组第1题(1)(3)
P62习题1. 6 B组第2题(1)(3)
总结归纳
定积分的几何意义:
一般情况下,定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和,在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号.
布置作业
P62习题1. 6 B组第1题(2)(4)
P62习题1. 6 B组第2题(2)(4)
P62习题1. 6 B组第3题
设计反思
对于例题3,在证明某些关键的地方要提示,也可以采用老师讲授的方法,再进行模仿练习。如果实在困难,略去严格的数学证明也未尝不可。
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高中数学人教版新课标A选修2-21.6微积分基本定理教案及反思: 这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.6微积分基本定理教案及反思,共4页。教案主要包含了教学目标,教学重难点,教学过程,课堂小结,教学后记等内容,欢迎下载使用。