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试卷 2021年安徽省宿州市砀山县中考数学一模试卷 解析版
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这是一份试卷 2021年安徽省宿州市砀山县中考数学一模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ）
A．10B．﹣10C．50D．﹣50
2．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109
3．（4分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
4．（4分）下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则（ ）
A．a＝50（1﹣20%﹣m%）B．a＝50（1﹣20%）m%
C．a＝50﹣20%﹣m%D．a＝50（1﹣20%）（1﹣m%）
6．（4分）某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A．1.5B．2C．3D．6
7．（4分）若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．1
8．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
9．（4分）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
10．（4分）如图①，在矩形ABCD中，＝k（k为常数），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒k个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ的面积为y，运动时间为t秒，y与t的函数关系图象如图②所示，当t＝4时，y的值为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）因式分解：2a3﹣8a＝ ．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝ ．
13．（5分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（3，n）两点，当kx+b﹣＞0时x的取值范围是 ．
14．（5分）如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）线段B1B2的长是 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175﹣1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？
18．（8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cs14°≈0.97．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为 ．
（2）a＝ ；c＝ ．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为 ．
20．（10分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
2021年安徽省宿州市砀山县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．（4分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ）
A．10B．﹣10C．50D．﹣50
【分析】根据有理数的加法法则计算即可，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的数的绝对值减去较小的数的绝对值．
【解答】解：30+（﹣20）＝+（30﹣20）＝10．
故选：A．
2．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11000000用科学记数法表示为1.1×107．
故选：B．
3．（4分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
【解答】解：由如图所示的几何体可知：该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是，其中左视图是轴对称图形．
故选：B．
4．（4分）下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
B、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
C、当x＜0时，无意义，故此选项错误；
D、无论x取什么值，都有意义，故此选项正确；
故选：D．
5．（4分）受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则（ ）
A．a＝50（1﹣20%﹣m%）B．a＝50（1﹣20%）m%
C．a＝50﹣20%﹣m%D．a＝50（1﹣20%）（1﹣m%）
【分析】根据某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，1月份电器的销售额为50万元，可以得到2月份是销售额，从而可以得到a的值，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
a＝50（1﹣20%）（1﹣m%），
故选：D．
6．（4分）某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A．1.5B．2C．3D．6
【分析】先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数为6，
∴模糊不清的数是：6×5﹣7﹣5﹣4﹣8＝6，
则这组数据的方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2]＝2；
故选：B．
7．（4分）若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．1
【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．
【解答】解：（x+1﹣3m）（x﹣m）＝x2+（1﹣4m）x+3m2﹣m，
∵无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，
∴△＝（1﹣4m）2﹣4（3m2﹣m）＝（1﹣2m）2≤0，
又∵（1﹣2m）2≥0，
∴1﹣2m＝0，
∴m＝．
故选：B．
8．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
9．（4分）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
【分析】延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE，根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长BE交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠BAE，
在△HAE和△BAE中，
，
∴△HAE≌△BAE（ASA）
∴AH＝AB＝6，HE＝BE，
∵HE＝BE，AD＝DB，
∴DF∥AC，
∵HE＝BE，
∴HC＝2EF＝2，
∴AC＝AH+HC＝8，
故选：C．
10．（4分）如图①，在矩形ABCD中，＝k（k为常数），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒k个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ的面积为y，运动时间为t秒，y与t的函数关系图象如图②所示，当t＝4时，y的值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】①当点P在AB上运动时，由题意得：AB＝3，则AC＝3k，AP＝1，AQ＝2k，当t＝2时，即PB＝2，y＝×PA×QH＝×（3﹣t）×QH＝，求出AB＝3，BC＝4，AC＝5；②当x＝4时，点P在AD上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，即可求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
过点Q作QH⊥AB于点H，
由题意得：AB＝3，则AC＝3k，AP＝1，AQ＝2k，
当t＝2时，即PB＝2，y＝×PA×QH＝×（3﹣t）×QH＝，解得：QH＝，
则AH＝AQcs∠BAC＝2k×＝2，故PH＝1，
则AH＝2，而QH＝，故tan∠HAQ＝＝＝tanα，
则csα＝＝，解得：k＝，
故AB＝3，BC＝4，AC＝5；
②当t＝4时，点P在AC上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，运动的距离QC为，则DQ＝3﹣，
y＝×AP×QD＝×1×（3﹣）＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）因式分解：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【解答】解：2a3﹣8a，
＝2a（a2﹣4），
＝2a（a+2）（a﹣2）．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝ 30° ．
【分析】连接AB，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE＝α，根据弧长公式得到α＝30°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝2，
∴∠CAD＝∠BAD，
连接OE，OD，
设∠DOE＝α，
∵劣弧DE的长为，
∴＝，
∴α＝30°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠BAC＝2∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
13．（5分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（3，n）两点，当kx+b﹣＞0时x的取值范围是 2＜x＜3或x＜0 ．
【分析】首先根据A（m，3），B（3，n）两点在反比例函数y＝的图象上，求出m，n的值，得到A、B的坐标，然后根据图象求得该不等式的解集即为直线在双曲线上方时x的范围．
【解答】解：∵A（m，3），B（3，n）两点在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，n＝
解得m＝2，n＝2，
∴A（2，3），B（3，2），
由图象可知，kx+b﹣＞0时x的取值范围是2＜x＜3或x＜0，
故答案为2＜x＜3或x＜0．
14．（5分）如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝ 或 ．
【分析】由于∠EDF＝30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB＝60°，此时发现△FDB是等边三角形，那么BD＝BF，2﹣AD＝1﹣CF，即AD＝CF+1．由于∠C是直角，当△CEF与△DEF相似时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：①∠DEF＝90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE＝90°，此时△CEF∽△FED；可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值，进而可求得AD的值．
【解答】解：∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB＝∠B＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
∵BC＝1，∴AB＝2；
∵BD＝BF，
∴2﹣AD＝1﹣CF；
∴AD＝CF+1．
①如图1，∠FED＝90°，△CEF∽△EDF，
∴＝，即＝，
解得，CF＝；
∴AD＝+1＝；
②如图2，∠EFD＝90°，△CEF∽△FED，
∴＝，即＝；
解得，CF＝；
∴AD＝+1＝．
故答案为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）线段B1B2的长是 ．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）根据对称性即可画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）根据勾股定理即可得线段B1B2的长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）线段B1B2的长是＝．
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175﹣1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？
【分析】设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了x米，根据猎犬比狐狸多跑了50米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了x米，
依题意，得：x﹣x＝50，
解得：x＝100．
答：狐狸跑100米后被猎犬追上．
18．（8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cs14°≈0.97．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，
由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，
则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，
∵tan∠BQD＝，
∴tan14°＝，
即0.25＝，
解得，ED＝18，
∴AC＝ED＝18，
∵BC＝7.5，
∴tan∠BAC＝＝，
即电梯AB的坡度是5：12，
∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，
∴AB＝＝19.5，
即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为 ﹣152 ．
（2）a＝ （﹣1）n•2n﹣1 ；c＝ （﹣1）n•2n+4 ．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为 10 ．
【分析】（1）观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；
（2）由已知图形得出a＝（﹣1）n•2n﹣1，b＝2a＝（﹣1）n•2n，c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4，即可求解；
（3）根据d＝a+b+c＝5×（﹣1）n•2n﹣1+4＝2564求解可得．
【解答】解：（1）第5个图形中的4个数分别是﹣16，﹣32，﹣28，﹣76
4个数的和为：﹣16﹣32﹣28﹣76＝﹣152．
（2）a＝（﹣1）n•2n﹣1；
b＝2a＝（﹣1）n•2n，
c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4．
（3）根据规律知道，若d＝2564＞0，
则n为偶数，
当n为偶数时a＝2n﹣1，b＝2n，c＝2n+4，2n﹣1+2n+2n+4＝2564，
依题意有2n﹣1+2n+2n＝2560，
解得n＝10．
故答案为：﹣152；（﹣1）n•2n﹣1；（﹣1）n•2n+4；10．
20．（10分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）由“了解”的人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以对应的百分比可求出“非常了解”、“了解很少”的人数，继而求出“不了解”的人数，从而补全图形；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有由12÷24%＝50（人），
则“非常了解”的人数为50×10%＝5（人），“了解很少”的人数为50×36%＝18（人），
“不了解”的人数为50﹣（5+12+18）＝15（人），
补全图形如下：
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是1200×＝408（人）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的有12种结果，
所以恰好抽到一男一女的概率为＝．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论，
（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．
【解答】解（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
∵△BCD是等腰三角形，
∴∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ∠EAB＝∠CBA ．线段BE与线段CF的数量关系是 CF＝BE ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明BD＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明△CMF≌△BMN（SAS）可得结论．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝2CF．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明△BAE∽△CTF可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠DAT＝∠EAT＝45°，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
∵∠CBA＝45°，∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ABC．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴△CMF≌△BMN（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥DE，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
∵△GCT是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝2CF．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝CT，
∴AB＝2CT，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴AE＝AD＝2FT，
∴＝＝2，
∴△BAE∽△CTF，
∴＝＝2，
∴BE＝2CF．
学生
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
8
学生
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
8
1．（4分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ）
A．10B．﹣10C．50D．﹣50
2．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109
3．（4分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
4．（4分）下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则（ ）
A．a＝50（1﹣20%﹣m%）B．a＝50（1﹣20%）m%
C．a＝50﹣20%﹣m%D．a＝50（1﹣20%）（1﹣m%）
6．（4分）某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A．1.5B．2C．3D．6
7．（4分）若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．1
8．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
9．（4分）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
10．（4分）如图①，在矩形ABCD中，＝k（k为常数），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒k个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ的面积为y，运动时间为t秒，y与t的函数关系图象如图②所示，当t＝4时，y的值为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）因式分解：2a3﹣8a＝ ．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝ ．
13．（5分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（3，n）两点，当kx+b﹣＞0时x的取值范围是 ．
14．（5分）如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）线段B1B2的长是 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175﹣1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？
18．（8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cs14°≈0.97．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为 ．
（2）a＝ ；c＝ ．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为 ．
20．（10分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
2021年安徽省宿州市砀山县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．（4分）计算30+（﹣20）的结果等于（ ）
A．10B．﹣10C．50D．﹣50
【分析】根据有理数的加法法则计算即可，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的数的绝对值减去较小的数的绝对值．
【解答】解：30+（﹣20）＝+（30﹣20）＝10．
故选：A．
2．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将11000000用科学记数法表示为1.1×107．
故选：B．
3．（4分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（ ）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
【解答】解：由如图所示的几何体可知：该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是，其中左视图是轴对称图形．
故选：B．
4．（4分）下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可．
【解答】解：A、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
B、当x＝1时，无意义，故此选项错误；
C、当x＜0时，无意义，故此选项错误；
D、无论x取什么值，都有意义，故此选项正确；
故选：D．
5．（4分）受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则（ ）
A．a＝50（1﹣20%﹣m%）B．a＝50（1﹣20%）m%
C．a＝50﹣20%﹣m%D．a＝50（1﹣20%）（1﹣m%）
【分析】根据某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，1月份电器的销售额为50万元，可以得到2月份是销售额，从而可以得到a的值，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
a＝50（1﹣20%）（1﹣m%），
故选：D．
6．（4分）某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：
表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A．1.5B．2C．3D．6
【分析】先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数为6，
∴模糊不清的数是：6×5﹣7﹣5﹣4﹣8＝6，
则这组数据的方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2]＝2；
故选：B．
7．（4分）若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．1
【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．
【解答】解：（x+1﹣3m）（x﹣m）＝x2+（1﹣4m）x+3m2﹣m，
∵无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，
∴△＝（1﹣4m）2﹣4（3m2﹣m）＝（1﹣2m）2≤0，
又∵（1﹣2m）2≥0，
∴1﹣2m＝0，
∴m＝．
故选：B．
8．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
9．（4分）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
【分析】延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE，根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长BE交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠BAE，
在△HAE和△BAE中，
，
∴△HAE≌△BAE（ASA）
∴AH＝AB＝6，HE＝BE，
∵HE＝BE，AD＝DB，
∴DF∥AC，
∵HE＝BE，
∴HC＝2EF＝2，
∴AC＝AH+HC＝8，
故选：C．
10．（4分）如图①，在矩形ABCD中，＝k（k为常数），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒k个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ的面积为y，运动时间为t秒，y与t的函数关系图象如图②所示，当t＝4时，y的值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】①当点P在AB上运动时，由题意得：AB＝3，则AC＝3k，AP＝1，AQ＝2k，当t＝2时，即PB＝2，y＝×PA×QH＝×（3﹣t）×QH＝，求出AB＝3，BC＝4，AC＝5；②当x＝4时，点P在AD上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，即可求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
过点Q作QH⊥AB于点H，
由题意得：AB＝3，则AC＝3k，AP＝1，AQ＝2k，
当t＝2时，即PB＝2，y＝×PA×QH＝×（3﹣t）×QH＝，解得：QH＝，
则AH＝AQcs∠BAC＝2k×＝2，故PH＝1，
则AH＝2，而QH＝，故tan∠HAQ＝＝＝tanα，
则csα＝＝，解得：k＝，
故AB＝3，BC＝4，AC＝5；
②当t＝4时，点P在AC上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，运动的距离QC为，则DQ＝3﹣，
y＝×AP×QD＝×1×（3﹣）＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）因式分解：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【解答】解：2a3﹣8a，
＝2a（a2﹣4），
＝2a（a+2）（a﹣2）．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝ 30° ．
【分析】连接AB，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE＝α，根据弧长公式得到α＝30°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝2，
∴∠CAD＝∠BAD，
连接OE，OD，
设∠DOE＝α，
∵劣弧DE的长为，
∴＝，
∴α＝30°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠BAC＝2∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
13．（5分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（3，n）两点，当kx+b﹣＞0时x的取值范围是 2＜x＜3或x＜0 ．
【分析】首先根据A（m，3），B（3，n）两点在反比例函数y＝的图象上，求出m，n的值，得到A、B的坐标，然后根据图象求得该不等式的解集即为直线在双曲线上方时x的范围．
【解答】解：∵A（m，3），B（3，n）两点在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，n＝
解得m＝2，n＝2，
∴A（2，3），B（3，2），
由图象可知，kx+b﹣＞0时x的取值范围是2＜x＜3或x＜0，
故答案为2＜x＜3或x＜0．
14．（5分）如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝ 或 ．
【分析】由于∠EDF＝30°，且DE总垂直于AB，因此∠FDB＝60°，此时发现△FDB是等边三角形，那么BD＝BF，2﹣AD＝1﹣CF，即AD＝CF+1．由于∠C是直角，当△CEF与△DEF相似时，△DEF必为直角三角形，那么可分两种情况讨论：①∠DEF＝90°，此时，△CEF∽△DEF；②∠DFE＝90°，此时△CEF∽△FED；可根据各相似三角形得到的比例线段求出CF的值，进而可求得AD的值．
【解答】解：∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB＝∠B＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
∵BC＝1，∴AB＝2；
∵BD＝BF，
∴2﹣AD＝1﹣CF；
∴AD＝CF+1．
①如图1，∠FED＝90°，△CEF∽△EDF，
∴＝，即＝，
解得，CF＝；
∴AD＝+1＝；
②如图2，∠EFD＝90°，△CEF∽△FED，
∴＝，即＝；
解得，CF＝；
∴AD＝+1＝．
故答案为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）线段B1B2的长是 ．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
（2）根据对称性即可画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；
（3）根据勾股定理即可得线段B1B2的长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）线段B1B2的长是＝．
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175﹣1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？
【分析】设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了x米，根据猎犬比狐狸多跑了50米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了x米，
依题意，得：x﹣x＝50，
解得：x＝100．
答：狐狸跑100米后被猎犬追上．
18．（8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cs14°≈0.97．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，
由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，
则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，
∵tan∠BQD＝，
∴tan14°＝，
即0.25＝，
解得，ED＝18，
∴AC＝ED＝18，
∵BC＝7.5，
∴tan∠BAC＝＝，
即电梯AB的坡度是5：12，
∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，
∴AB＝＝19.5，
即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为 ﹣152 ．
（2）a＝ （﹣1）n•2n﹣1 ；c＝ （﹣1）n•2n+4 ．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为 10 ．
【分析】（1）观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；
（2）由已知图形得出a＝（﹣1）n•2n﹣1，b＝2a＝（﹣1）n•2n，c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4，即可求解；
（3）根据d＝a+b+c＝5×（﹣1）n•2n﹣1+4＝2564求解可得．
【解答】解：（1）第5个图形中的4个数分别是﹣16，﹣32，﹣28，﹣76
4个数的和为：﹣16﹣32﹣28﹣76＝﹣152．
（2）a＝（﹣1）n•2n﹣1；
b＝2a＝（﹣1）n•2n，
c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4．
（3）根据规律知道，若d＝2564＞0，
则n为偶数，
当n为偶数时a＝2n﹣1，b＝2n，c＝2n+4，2n﹣1+2n+2n+4＝2564，
依题意有2n﹣1+2n+2n＝2560，
解得n＝10．
故答案为：﹣152；（﹣1）n•2n﹣1；（﹣1）n•2n+4；10．
20．（10分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）由“了解”的人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以对应的百分比可求出“非常了解”、“了解很少”的人数，继而求出“不了解”的人数，从而补全图形；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有由12÷24%＝50（人），
则“非常了解”的人数为50×10%＝5（人），“了解很少”的人数为50×36%＝18（人），
“不了解”的人数为50﹣（5+12+18）＝15（人），
补全图形如下：
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是1200×＝408（人）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的有12种结果，
所以恰好抽到一男一女的概率为＝．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论，
（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．
【解答】解（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
∵△BCD是等腰三角形，
∴∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ∠EAB＝∠CBA ．线段BE与线段CF的数量关系是 CF＝BE ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明BD＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明△CMF≌△BMN（SAS）可得结论．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝2CF．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明△BAE∽△CTF可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠DAT＝∠EAT＝45°，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
∵∠CBA＝45°，∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ABC．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴△CMF≌△BMN（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥DE，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
∵△GCT是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝2CF．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝CT，
∴AB＝2CT，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴AE＝AD＝2FT，
∴＝＝2，
∴△BAE∽△CTF，
∴＝＝2，
∴BE＝2CF．
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