试卷 2021年安徽省宣城市中考数学一调试卷 (解析版)
展开1.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.(﹣a)4=a4C.a2+a3=a5D.(a2)3=a5
2.已知不等式组,其解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.根据安徽省公布的十三五铁路建设规划,到2021年,全省铁路建设总投资4370亿元.其中4370亿用科学记数法表示为( )
A.4.37×103B.43.7×1010C.4.37×1011D.0.437×1012
4.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( )
A.(a﹣10%)(a+15%)万元B.a(1﹣10%)(1+15%)万元
C.(a﹣10%+15%)万元D.a(1﹣10%+15%)万元
5.如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( )
A.27°B.32°C.36°D.54°
6.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位:小时),并绘制了如图所示的折线统计图,下列说法中错误的是( )
A.众数是9
B.中位数是9
C.平均数是9
D.锻炼时间不低于9小时的有14人
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E为垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是( )
A.2B.2C.4D.4
8.如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面五条信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0;(5)abc>0.你认为其中错误的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.(m2+n2)(m2+n2﹣2)﹣8=0,则m2+n2=( )
A.4B.2C.4或﹣2D.4或2
10.如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
二、填空题(每小题5分)
11.分解因式:a2﹣b2﹣2b﹣1= .
12.如图,在△ABC中,DE∥AB,CD:DA=2:3,DE=4,则AB的长为 •
13.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .
14.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表,称之为“开方作法本源”图,即是著名的“杨辉三角形”.以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”:
该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为 .
三、(共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:2cs60°+(﹣)0+(tan45°)﹣1+.
16.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题:
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?“意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完:如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)先作△ABC关于直线l成轴对称的图形,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换,且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
18.如图,佛山电视塔离小明家60米,小明从自家的阳台眺望电视塔,并测得塔尖C的仰角是45°,而塔底部D的俯角是31°,求佛山电视塔CD的高度(tan31°=0.600,结果精确到1米)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
20.孙明和王军两人去桃园游玩,返回时打算顺便买些新鲜油桃.此时桃园仅三箱油桃,价钱相同,但质量略有区别,分为A1级、A2级、A3级,其中A1级最好,A3级最差.挑选时,三箱油桃不同时拿出,只能一箱一箱的看,也不告知该箱的质量等级.
两人采取了不同的选择方案:
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱.
王军是先观察再确定,他不买第一箱油桃,而是仔细观察第一箱油桃的状况;如果第二箱油桃的质量比第一箱好,他就买第二箱油桃,如果第二箱的油桃不比第一箱好,他就买第三箱.
(1)三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?
(2)孙明与王军,谁买到A1级的可能性大?为什么?
六、(本题满分12分)
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点,经过A,E两点的⊙O交AB于点D,连接DE,作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F,连接AF.
(1)求证:BC是⊙O的切线.
(2)若sin∠EFA=,AF=5,求线段AC的长.
七、(本题满分12分)
22.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于点F,且∠EGD=135°.
(1)求证:△BGD∽△BCE;
(2)求证:∠AGB=90°;
(3)如图2,连接DE,若AB=10,AG=2,判断△CDE是否为特殊三角形,并说明理由.
八、(本题满分14分)
23.在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(共10小题).
1.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.(﹣a)4=a4C.a2+a3=a5D.(a2)3=a5
解:A、应为a2•a3=a5,故本选项错误;
B、(﹣a)4=a4,正确;
C、a2和a3不是同类项不能合并,故本选项错误;
D、应为(a2)3=a2×3=a6,故本选项错误.
故选:B.
2.已知不等式组,其解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解:由x﹣3>0,得x>3,
由x+1≥0,得x≥﹣1.
不等式组的解集是x>3,
故选:C.
3.根据安徽省公布的十三五铁路建设规划,到2021年,全省铁路建设总投资4370亿元.其中4370亿用科学记数法表示为( )
A.4.37×103B.43.7×1010C.4.37×1011D.0.437×1012
解:4370亿=437000000000=4.37×1011.
故选:C.
4.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( )
A.(a﹣10%)(a+15%)万元B.a(1﹣10%)(1+15%)万元
C.(a﹣10%+15%)万元D.a(1﹣10%+15%)万元
解:3月份的产值是a万元,
则:4月份的产值是(1﹣10%)a万元,
5月份的产值是(1+15%)(1﹣10%)a万元,
故选:B.
5.如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( )
A.27°B.32°C.36°D.54°
解:∵PA切⊙O于点A,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=36°,
∴∠AOP=54°,
∴∠B=27°.
故选:A.
6.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位:小时),并绘制了如图所示的折线统计图,下列说法中错误的是( )
A.众数是9
B.中位数是9
C.平均数是9
D.锻炼时间不低于9小时的有14人
解:由图可知,锻炼9小时的有18人,所以9在这组数中出现18次为最多,所以众数是9.
把数据从小到大排列,中位数是第23位数,第23位是9,所以中位数是9.
平均数是(7×5+8×8+9×18+10×10+11×4)÷45=9,所以平均数是9.
锻炼时间不低于9小时的有18+10+4=32,
故D错误.
故选:D.
7.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E为垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是( )
A.2B.2C.4D.4
解:∵∠A=30°,∠B=90°,
∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°,
∵DE垂直平分斜边AC,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD=30°,
∴∠DCB=60°﹣30°=30°,
∵BD=1,
∴CD=AD=2,
∴AB=1+2=3,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:CB=,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==2,
故选:B.
8.如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面五条信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0;(5)abc>0.你认为其中错误的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解:(1)根据图示知,该函数图象与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0;故本选项正确;
(2)由图象知,该函数图象与y轴的交点在点(0,1)上,
∴c=1;故本选项错误;
(3)由图示,知
对称轴x=﹣>﹣1;
又函数图象的开口方向向下,
∴a<0,
∴﹣b<﹣2a,即2a﹣b<0,
故本选项正确;
(4)根据图示可知,当x=1,即y=a+b+c<0,
∴a+b+c<0;故本选项正确;
(5)∵函数图象的开口方向向下,
∴a<0,
∵由图象知,该函数图象与y轴的交点在点(0,1)上,
∴c>0,
∵对称轴x=﹣<0,
∴b<0
∴abc>0.故本选项正确;
综上所述,其中错误的是(2),共有1个;
故选:A.
9.(m2+n2)(m2+n2﹣2)﹣8=0,则m2+n2=( )
A.4B.2C.4或﹣2D.4或2
解:设m2+n2=t(t≥0),由原方程,得t(t﹣2)﹣8=0,
整理,得(t﹣4)(t+2)=0,
解得t=4或t=﹣2(舍去),
所以m2+n2=4.
故选:A.
10.如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
解:∵A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,
∴AO=2,OP=x,则AP=2﹣x,
∴tan60°==,
解得:AB=(2﹣x)=﹣x+2,
∴S△ABP=×PA×AB=(2﹣x)••(﹣x+2)=x2﹣2x+2,
故此函数为二次函数,
∵a=>0,
∴当x=﹣=2时,S取到最小值为:=0,
根据图象得出只有D符合要求.
故选:D.
二、填空题(每小题5分,满分20分)
11.分解因式:a2﹣b2﹣2b﹣1= (a+b+1)(a﹣b﹣1) .
解:a2﹣b2﹣2b﹣1
=a2﹣(b2+2b+1)
=a2﹣(b+1)2
=(a+b+1)(a﹣b﹣1).
故答案为:(a+b+1)(a﹣b﹣1).
12.如图,在△ABC中,DE∥AB,CD:DA=2:3,DE=4,则AB的长为 10 •
解:∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴=
又∵CD:DA=2:3,
∴=
∴=
解得:AB=•DE=10
故答案是:10.
13.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= 2 .
解:连接BD.
∵AB是直径,
∴∠C=∠D=90°,
∵∠CAB=60°,AD平分∠CAB,
∴∠DAB=30°,
∴AB=AD÷cs30°=4,
∴AC=AB•cs60°=2,
故答案为2.
14.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表,称之为“开方作法本源”图,即是著名的“杨辉三角形”.以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”:
该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为 2019×22016 .
解:由题意,数表的每一行都是等差数列,从右到左,
且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2017行公差为22016,
故第1行的第一个数为:2×2﹣1,
第2行的第一个数为:3×2°,
第3行的第一个数为:4×21,
第n行的第一个数为:(n+1)×22﹣2,
第2018行只有M,
则M=(1+2018)•22016=2019×22016.
故答案为:2019×22016.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:2cs60°+(﹣)0+(tan45°)﹣1+.
解:原式=2×+1+1﹣2
=1+1+1﹣2
=1.
16.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题:
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?“意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完:如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?
解:设大和尚有x人,小和尚有y人,
依题意得:,
解得.
答:大和尚有25人,小和尚有75人.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)先作△ABC关于直线l成轴对称的图形,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换,且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,并求出△A2B2C2的面积.
解:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求;
(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求,
△A2B2C2的面积为:
4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
=24﹣6﹣4﹣4
=10.
18.如图,佛山电视塔离小明家60米,小明从自家的阳台眺望电视塔,并测得塔尖C的仰角是45°,而塔底部D的俯角是31°,求佛山电视塔CD的高度(tan31°=0.600,结果精确到1米)
解:如图,四边形ABDE是矩形,△ACE是等腰直角三角形,
得到CE=AE=BD=60.
在Rt△ACE中,,
得DE=AE•tan31°=60×0.600=36.0
CD=CE+DE=60+36.0=96(米)
答:电视塔的高度CD约为96米.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
【解答】(1)证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,
∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,
∵AB=AC,
∴AE=AF,
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,
∴BE=CF;
(2)解:∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,
∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,
∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,
∴∠AEB=∠ABE=45°,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴BE=AC=,
∴BD=BE﹣DE=﹣1.
20.孙明和王军两人去桃园游玩,返回时打算顺便买些新鲜油桃.此时桃园仅三箱油桃,价钱相同,但质量略有区别,分为A1级、A2级、A3级,其中A1级最好,A3级最差.挑选时,三箱油桃不同时拿出,只能一箱一箱的看,也不告知该箱的质量等级.
两人采取了不同的选择方案:
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱.
王军是先观察再确定,他不买第一箱油桃,而是仔细观察第一箱油桃的状况;如果第二箱油桃的质量比第一箱好,他就买第二箱油桃,如果第二箱的油桃不比第一箱好,他就买第三箱.
(1)三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?
(2)孙明与王军,谁买到A1级的可能性大?为什么?
解:(1)共有六种情况:
A1、A2、A3,A2、A1、A3,A3、A1、A2,
A1、A3、A2,A2、A3、A1,A3、A2、A1;
(2)孙明买到A1的情况有两种:A1、A2、A3;A1、A3、A2,
因此孙明买到A1概率为:P==,
王军买到A1的情况有三种:A2、A1、A3,A2、A3、A1,A3、A1、A2,
因此王军买到A1概率为:P==.
因此,王军买到A1的可能性大.
六、(本题满分12分)
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点,经过A,E两点的⊙O交AB于点D,连接DE,作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F,连接AF.
(1)求证:BC是⊙O的切线.
(2)若sin∠EFA=,AF=5,求线段AC的长.
【解答】证明:(1)连接OE,
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠OAE=∠CAE,
∴∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,
∴∠BEO=∠C=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)过A作AH⊥EF于H,
Rt△AHF中,sin∠EFA=,
∵AF=5,
∴AH=4,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AED=90°,
∵EF平分∠AED,
∴∠AEF=45°,
∴△AEH是等腰直角三角形,
∴AE=AH=8,
∵sin∠EFA=sin∠ADE==,
∴AD=10,
∵∠DAE=∠EAC,∠DEA=∠ECA=90°,
∴△AED∽△ACE,
∴,
∴,
∴AC=6.4.
七、(本题满分12分)
22.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于点F,且∠EGD=135°.
(1)求证:△BGD∽△BCE;
(2)求证:∠AGB=90°;
(3)如图2,连接DE,若AB=10,AG=2,判断△CDE是否为特殊三角形,并说明理由.
【解答】(1)证明:在等腰直角三角形ABC中,∠C=45°,
∵∠EGD=135°,
∴∠BGD=45°
∴∠BGD=∠C,∠DBG=∠EBC,
∴△BGD∽△BCE.
(2)由(1)知△BGD∽△BCE.
∴∠BEC=∠BDG.
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE=90°+∠ABE,∠BDG=90°+∠ADG,
∴∠ABE=∠ADG.
∴A、B、D、G四点共圆,
∴∠AGB=∠ADB=90°.
(3)△CDE的等腰直角三角形,理由如下:
在直角三角形ABG中,,
∴.
由射影定理可知:AG2=BG•GE.
则有:,AE2=GE•BE.
则有:,CE=AC﹣AE=10﹣5=5.
故点E是AC的中点.
又∵AB=AC,AD⊥BC,
∴点D是BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,
∴△CDE∽△CBA,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴△CDE的等腰直角三角形.
八、(本题满分14分)
23.在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把x=0代y=x﹣2得y=﹣2,
∴C(0,﹣2).
把y=0代y=x﹣2得x=4,
∴B(4,0),
设抛物线的解析式为y=(x﹣4)(x﹣m),将C(0,﹣2)代入得:2m=﹣2,解得:m=﹣1,
∴A(﹣1,0).
∴抛物线的解析式y=(x﹣4)(x+1),即y=x2﹣x﹣2.
(2)如图所示:过点D作DF⊥x轴,交BC与点F.
设D(x,x2﹣x﹣2),则F(x,x﹣2),DF=(x﹣2)﹣(x2﹣x﹣2)=﹣x2+2x.
∴S△BCD=OB•DF=×4×(﹣x2+2x)=﹣x2+4x=﹣(x2﹣4x+4﹣4)=﹣(x﹣2)2+4.
∴当x=2时,S有最大值,最大值为4.
(3)如图所示:过点D作DR⊥y垂足为R,DR交BC与点G.
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣2),
∴AC=,BC=2,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形.
取AB的中点E,连接CE,则CE=BE,
∴∠OEC=2∠ABC.
∴tan∠OEC==.
当∠MCD=2∠ABC时,则tan∠CDR=tan∠ABC=.
设D(x,x2﹣x﹣2),则DR=x,CR=﹣x2+x.
∴=,解得:x=0(舍去)或x=2.
∴点D的横坐标为2.
当∠CDM=2∠ABC时,设MD=3k,CM=4k,CD=5k.
∵tan∠MGD=,
∴GM=6k,GD=3k,
∴GC=MG﹣CM=2k,
∴GR=k,CR=k.
∴RD=3k﹣k=k.
∴==,整理得:﹣x2+x=0,解得:x=0(舍去)或x=.
∴点D的横坐标为.
综上所述,当点D的横坐标为2或.
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