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试卷 2021年安徽省宣城市中考数学一调试卷 （解析版）
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这是一份试卷 2021年安徽省宣城市中考数学一调试卷 （解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a）4＝a4C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a5
2．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．根据安徽省公布的十三五铁路建设规划，到2021年，全省铁路建设总投资4370亿元．其中4370亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.37×103B．43.7×1010C．4.37×1011D．0.437×1012
4．某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．a（1﹣10%）（1+15%）万元
C．（a﹣10%+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元
5．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
8．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面五条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0；（5）abc＞0．你认为其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（ ）
A．4B．2C．4或﹣2D．4或2
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题5分）
11．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1＝ ．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD：DA＝2：3，DE＝4，则AB的长为 •
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝ ．
14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
三、（共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2cs60°+（﹣）0+（tan45°）﹣1+．
16．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
18．如图，佛山电视塔离小明家60米，小明从自家的阳台眺望电视塔，并测得塔尖C的仰角是45°，而塔底部D的俯角是31°，求佛山电视塔CD的高度（tan31°＝0.600，结果精确到1米）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
20．孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为A1级、A2级、A3级，其中A1级最好，A3级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．
王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．
（1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）孙明与王军，谁买到A1级的可能性大？为什么？
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
七、（本题满分12分）
22．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，且∠EGD＝135°．
（1）求证：△BGD∽△BCE；
（2）求证：∠AGB＝90°；
（3）如图2，连接DE，若AB＝10，AG＝2，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由．
八、（本题满分14分）
23．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a）4＝a4C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a5
解：A、应为a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、（﹣a）4＝a4，正确；
C、a2和a3不是同类项不能合并，故本选项错误；
D、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．
故选：B．
2．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由x﹣3＞0，得x＞3，
由x+1≥0，得x≥﹣1．
不等式组的解集是x＞3，
故选：C．
3．根据安徽省公布的十三五铁路建设规划，到2021年，全省铁路建设总投资4370亿元．其中4370亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.37×103B．43.7×1010C．4.37×1011D．0.437×1012
解：4370亿＝437000000000＝4.37×1011．
故选：C．
4．某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．a（1﹣10%）（1+15%）万元
C．（a﹣10%+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元
解：3月份的产值是a万元，
则：4月份的产值是（1﹣10%）a万元，
5月份的产值是（1+15%）（1﹣10%）a万元，
故选：B．
5．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B＝27°．
故选：A．
6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．
把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．
平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．
锻炼时间不低于9小时的有18+10+4＝32，
故D错误．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴AB＝1+2＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，
故选：B．
8．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面五条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0；（5）abc＞0．你认为其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0；故本选项正确；
（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）上，
∴c＝1；故本选项错误；
（3）由图示，知
对称轴x＝﹣＞﹣1；
又函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，
故本选项正确；
（4）根据图示可知，当x＝1，即y＝a+b+c＜0，
∴a+b+c＜0；故本选项正确；
（5）∵函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∵由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）上，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0
∴abc＞0．故本选项正确；
综上所述，其中错误的是（2），共有1个；
故选：A．
9．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（ ）
A．4B．2C．4或﹣2D．4或2
解：设m2+n2＝t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8＝0，
整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
所以m2+n2＝4．
故选：A．
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，
∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，
∴tan60°＝＝，
解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，
∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）••（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，
故此函数为二次函数，
∵a＝＞0，
∴当x＝﹣＝2时，S取到最小值为：＝0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1＝ （a+b+1）（a﹣b﹣1） ．
解：a2﹣b2﹣2b﹣1
＝a2﹣（b2+2b+1）
＝a2﹣（b+1）2
＝（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD：DA＝2：3，DE＝4，则AB的长为 10 •
解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴＝
又∵CD：DA＝2：3，
∴＝
∴＝
解得：AB＝•DE＝10
故答案是：10．
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝ 2 ．
解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C＝∠D＝90°，
∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝30°，
∴AB＝AD÷cs30°＝4，
∴AC＝AB•cs60°＝2，
故答案为2．
14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 2019×22016 ．
解：由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2017行公差为22016，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×2°，
第3行的第一个数为：4×21，
第n行的第一个数为：（n+1）×22﹣2，
第2018行只有M，
则M＝（1+2018）•22016＝2019×22016．
故答案为：2019×22016．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2cs60°+（﹣）0+（tan45°）﹣1+．
解：原式＝2×+1+1﹣2
＝1+1+1﹣2
＝1．
16．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意得：，
解得．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
△A2B2C2的面积为：
4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝10．
18．如图，佛山电视塔离小明家60米，小明从自家的阳台眺望电视塔，并测得塔尖C的仰角是45°，而塔底部D的俯角是31°，求佛山电视塔CD的高度（tan31°＝0.600，结果精确到1米）
解：如图，四边形ABDE是矩形，△ACE是等腰直角三角形，
得到CE＝AE＝BD＝60．
在Rt△ACE中，，
得DE＝AE•tan31°＝60×0.600＝36.0
CD＝CE+DE＝60+36.0＝96（米）
答：电视塔的高度CD约为96米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，
∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，
∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AC＝，
∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．
20．孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为A1级、A2级、A3级，其中A1级最好，A3级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．
王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．
（1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）孙明与王军，谁买到A1级的可能性大？为什么？
解：（1）共有六种情况：
A1、A2、A3，A2、A1、A3，A3、A1、A2，
A1、A3、A2，A2、A3、A1，A3、A2、A1；
（2）孙明买到A1的情况有两种：A1、A2、A3；A1、A3、A2，
因此孙明买到A1概率为：P＝＝，
王军买到A1的情况有三种：A2、A1、A3，A2、A3、A1，A3、A1、A2，
因此王军买到A1概率为：P＝＝．
因此，王军买到A1的可能性大．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠BEO＝∠C＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过A作AH⊥EF于H，
Rt△AHF中，sin∠EFA＝，
∵AF＝5，
∴AH＝4，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AE＝AH＝8，
∵sin∠EFA＝sin∠ADE＝＝，
∴AD＝10，
∵∠DAE＝∠EAC，∠DEA＝∠ECA＝90°，
∴△AED∽△ACE，
∴，
∴，
∴AC＝6.4．
七、（本题满分12分）
22．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，且∠EGD＝135°．
（1）求证：△BGD∽△BCE；
（2）求证：∠AGB＝90°；
（3）如图2，连接DE，若AB＝10，AG＝2，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由．
【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝45°，
∵∠EGD＝135°，
∴∠BGD＝45°
∴∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，
∴△BGD∽△BCE．
（2）由（1）知△BGD∽△BCE．
∴∠BEC＝∠BDG．
∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝90°+∠ABE，∠BDG＝90°+∠ADG，
∴∠ABE＝∠ADG．
∴A、B、D、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°．
（3）△CDE的等腰直角三角形，理由如下：
在直角三角形ABG中，，
∴．
由射影定理可知：AG2＝BG•GE．
则有：，AE2＝GE•BE．
则有：，CE＝AC﹣AE＝10﹣5＝5．
故点E是AC的中点．
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CDE的等腰直角三角形．
八、（本题满分14分）
23．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．
∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．
（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AC＝，BC＝2，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠OEC＝2∠ABC．
∴tan∠OEC＝＝．
当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．
设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．
∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．
∴点D的横坐标为2．
当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．
∵tan∠MGD＝，
∴GM＝6k，GD＝3k，
∴GC＝MG﹣CM＝2k，
∴GR＝k，CR＝k．
∴RD＝3k﹣k＝k．
∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x＝．
∴点D的横坐标为．
综上所述，当点D的横坐标为2或．
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a）4＝a4C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a5
2．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．根据安徽省公布的十三五铁路建设规划，到2021年，全省铁路建设总投资4370亿元．其中4370亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.37×103B．43.7×1010C．4.37×1011D．0.437×1012
4．某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．a（1﹣10%）（1+15%）万元
C．（a﹣10%+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元
5．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
8．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面五条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0；（5）abc＞0．你认为其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（ ）
A．4B．2C．4或﹣2D．4或2
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题5分）
11．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1＝ ．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD：DA＝2：3，DE＝4，则AB的长为 •
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝ ．
14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
三、（共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2cs60°+（﹣）0+（tan45°）﹣1+．
16．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
18．如图，佛山电视塔离小明家60米，小明从自家的阳台眺望电视塔，并测得塔尖C的仰角是45°，而塔底部D的俯角是31°，求佛山电视塔CD的高度（tan31°＝0.600，结果精确到1米）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
20．孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为A1级、A2级、A3级，其中A1级最好，A3级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．
王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．
（1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）孙明与王军，谁买到A1级的可能性大？为什么？
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
七、（本题满分12分）
22．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，且∠EGD＝135°．
（1）求证：△BGD∽△BCE；
（2）求证：∠AGB＝90°；
（3）如图2，连接DE，若AB＝10，AG＝2，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由．
八、（本题满分14分）
23．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣a）4＝a4C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a5
解：A、应为a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、（﹣a）4＝a4，正确；
C、a2和a3不是同类项不能合并，故本选项错误；
D、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．
故选：B．
2．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由x﹣3＞0，得x＞3，
由x+1≥0，得x≥﹣1．
不等式组的解集是x＞3，
故选：C．
3．根据安徽省公布的十三五铁路建设规划，到2021年，全省铁路建设总投资4370亿元．其中4370亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.37×103B．43.7×1010C．4.37×1011D．0.437×1012
解：4370亿＝437000000000＝4.37×1011．
故选：C．
4．某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元B．a（1﹣10%）（1+15%）万元
C．（a﹣10%+15%）万元D．a（1﹣10%+15%）万元
解：3月份的产值是a万元，
则：4月份的产值是（1﹣10%）a万元，
5月份的产值是（1+15%）（1﹣10%）a万元，
故选：B．
5．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B＝27°．
故选：A．
6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．
把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．
平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．
锻炼时间不低于9小时的有18+10+4＝32，
故D错误．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴AB＝1+2＝3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝2，
故选：B．
8．如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面五条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0；（5）abc＞0．你认为其中错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0；故本选项正确；
（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）上，
∴c＝1；故本选项错误；
（3）由图示，知
对称轴x＝﹣＞﹣1；
又函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，
故本选项正确；
（4）根据图示可知，当x＝1，即y＝a+b+c＜0，
∴a+b+c＜0；故本选项正确；
（5）∵函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∵由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）上，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0
∴abc＞0．故本选项正确；
综上所述，其中错误的是（2），共有1个；
故选：A．
9．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8＝0，则m2+n2＝（ ）
A．4B．2C．4或﹣2D．4或2
解：设m2+n2＝t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8＝0，
整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，
解得t＝4或t＝﹣2（舍去），
所以m2+n2＝4．
故选：A．
10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，
∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，
∴tan60°＝＝，
解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，
∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x）••（﹣x+2）＝x2﹣2x+2，
故此函数为二次函数，
∵a＝＞0，
∴当x＝﹣＝2时，S取到最小值为：＝0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1＝ （a+b+1）（a﹣b﹣1） ．
解：a2﹣b2﹣2b﹣1
＝a2﹣（b2+2b+1）
＝a2﹣（b+1）2
＝（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
12．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD：DA＝2：3，DE＝4，则AB的长为 10 •
解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴＝
又∵CD：DA＝2：3，
∴＝
∴＝
解得：AB＝•DE＝10
故答案是：10．
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝ 2 ．
解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C＝∠D＝90°，
∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝30°，
∴AB＝AD÷cs30°＝4，
∴AC＝AB•cs60°＝2，
故答案为2．
14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 2019×22016 ．
解：由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2017行公差为22016，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×2°，
第3行的第一个数为：4×21，
第n行的第一个数为：（n+1）×22﹣2，
第2018行只有M，
则M＝（1+2018）•22016＝2019×22016．
故答案为：2019×22016．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：2cs60°+（﹣）0+（tan45°）﹣1+．
解：原式＝2×+1+1﹣2
＝1+1+1﹣2
＝1．
16．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意得：，
解得．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2．
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换，且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
△A2B2C2的面积为：
4×6﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝10．
18．如图，佛山电视塔离小明家60米，小明从自家的阳台眺望电视塔，并测得塔尖C的仰角是45°，而塔底部D的俯角是31°，求佛山电视塔CD的高度（tan31°＝0.600，结果精确到1米）
解：如图，四边形ABDE是矩形，△ACE是等腰直角三角形，
得到CE＝AE＝BD＝60．
在Rt△ACE中，，
得DE＝AE•tan31°＝60×0.600＝36.0
CD＝CE+DE＝60+36.0＝96（米）
答：电视塔的高度CD约为96米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，
∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，
∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AC＝，
∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．
20．孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为A1级、A2级、A3级，其中A1级最好，A3级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：
孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．
王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．
（1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）孙明与王军，谁买到A1级的可能性大？为什么？
解：（1）共有六种情况：
A1、A2、A3，A2、A1、A3，A3、A1、A2，
A1、A3、A2，A2、A3、A1，A3、A2、A1；
（2）孙明买到A1的情况有两种：A1、A2、A3；A1、A3、A2，
因此孙明买到A1概率为：P＝＝，
王军买到A1的情况有三种：A2、A1、A3，A2、A3、A1，A3、A1、A2，
因此王军买到A1概率为：P＝＝．
因此，王军买到A1的可能性大．
六、（本题满分12分）
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠BEO＝∠C＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过A作AH⊥EF于H，
Rt△AHF中，sin∠EFA＝，
∵AF＝5，
∴AH＝4，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AE＝AH＝8，
∵sin∠EFA＝sin∠ADE＝＝，
∴AD＝10，
∵∠DAE＝∠EAC，∠DEA＝∠ECA＝90°，
∴△AED∽△ACE，
∴，
∴，
∴AC＝6.4．
七、（本题满分12分）
22．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，且∠EGD＝135°．
（1）求证：△BGD∽△BCE；
（2）求证：∠AGB＝90°；
（3）如图2，连接DE，若AB＝10，AG＝2，判断△CDE是否为特殊三角形，并说明理由．
【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝45°，
∵∠EGD＝135°，
∴∠BGD＝45°
∴∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，
∴△BGD∽△BCE．
（2）由（1）知△BGD∽△BCE．
∴∠BEC＝∠BDG．
∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝90°+∠ABE，∠BDG＝90°+∠ADG，
∴∠ABE＝∠ADG．
∴A、B、D、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°．
（3）△CDE的等腰直角三角形，理由如下：
在直角三角形ABG中，，
∴．
由射影定理可知：AG2＝BG•GE．
则有：，AE2＝GE•BE．
则有：，CE＝AC﹣AE＝10﹣5＝5．
故点E是AC的中点．
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CDE的等腰直角三角形．
八、（本题满分14分）
23．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．
∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．
（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AC＝，BC＝2，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，
∴∠OEC＝2∠ABC．
∴tan∠OEC＝＝．
当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．
设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．
∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．
∴点D的横坐标为2．
当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．
∵tan∠MGD＝，
∴GM＝6k，GD＝3k，
∴GC＝MG﹣CM＝2k，
∴GR＝k，CR＝k．
∴RD＝3k﹣k＝k．
∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x＝．
∴点D的横坐标为．
综上所述，当点D的横坐标为2或．
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