全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十六圆锥曲线中的定值定点证明问题文含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十六圆锥曲线中的定值定点证明问题文含解析，共5页。试卷主要包含了已知曲线C，已知椭圆C，已知抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点．
(2)若以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
解：(1)证明：设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq \\al(2,1)＝2y1.
由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq \f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq \f(1,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
设M为线段AB的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，t2＋\f(1,2))).
由于eq \(EM,\s\up7(―→))⊥eq \(AB,\s\up7(―→))，而eq \(EM,\s\up7(―→))＝(t，t2－2)，eq \(AB,\s\up7(―→))与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，|eq \(EM,\s\up7(―→))|＝2，所求圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＝4；
当t＝±1时，|eq \(EM,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，所求圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＝2.
2．(2019·济南市学习质量评估)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，右焦点为F，且该椭圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2))).
(1)求椭圆C的方程；
(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝eq \f(4\r(3),3)相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．
解：(1)由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,a2)＋eq \f(3,4b2)＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，即椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，
设l：y＝kx＋m，联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0.
设A(x1，y1)，则x1＝eq \f(－8km,2（4k2＋1）)＝eq \f(－8km,2m2)＝－eq \f(4k,m)，y1＝kx1＋m＝eq \f(－4k2,m)＋m＝eq \f(1,m)，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k,m)，\f(1,m))).
易得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)，\f(4\r(3),3)k＋m))，F(eq \r(3)，0)，
则eq \(FA,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k,m)－\r(3)，\f(1,m)))，eq \(FB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(4\r(3),3)k＋m))，
eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k,m)－\r(3)))＋eq \f(1,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)k＋m))＝－eq \f(4\r(3)k,3m)－1＋eq \f(4\r(3)k,3m)＋1＝0，
所以eq \(FA,\s\up7(―→))⊥eq \(FB,\s\up7(―→))，即△FAB为直角三角形，得证．
3.如图，设点A，B的坐标分别为(－eq \r(3)，0)，(eq \r(3)，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为－eq \f(2,3).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，
kAP·kBP＝eq \f(y,x＋\r(3))·eq \f(y,x－\r(3))＝－eq \f(2,3)(x≠±eq \r(3))，
化简得，点P的轨迹方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1(x≠±eq \r(3))．
(2)证明：由题意可知，M，N是轨迹C上不同的两点，且AP∥OM，BP∥ON，
则直线OM，ON的斜率必存在且不为0，kOM·kON＝kAP·kBP＝－eq \f(2,3).
①当直线MN的斜率为0时，设M(x0，y0)，N(－x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＝\f(2,3)，,\f(xeq \\al(2,0),3)＋\f(yeq \\al(2,0),2)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x0|＝\f(\r(6),2)，,|y0|＝1，))
所以S△MON＝eq \f(1,2)|y0||2x0|＝eq \f(\r(6),2).
②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x＝my＋t，代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，
得(3＋2m2)y2＋4mty＋2t2－6＝0， (*)
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1，y2是方程(*)的两根，
所以y1＋y2＝－eq \f(4mt,3＋2m2)，y1y2＝eq \f(2t2－6,3＋2m2)，
又kOM·kON＝eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(y1y2,m2y1y2＋mt（y1＋y2）＋t2)
＝eq \f(2t2－6,3t2－6m2)，
所以eq \f(2t2－6,3t2－6m2)＝－eq \f(2,3)，即2t2＝2m2＋3，满足Δ>0.
又S△MON＝eq \f(1,2)|t||y1－y2|＝eq \f(|t|\r(－24t2＋48m2＋72),2（3＋2m2）)，
所以S△MON＝eq \f(2\r(6)t2,4t2)＝eq \f(\r(6),2).
综上，△MON的面积为定值，且定值为eq \f(\r(6),2).
4．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．
(1)求p的值；
(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋eq \f(p,2)，
因为直线l1与圆C2相切，
所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋eq \f(p,2)的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(p,2))),\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2).
即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(p,2))),\r(2))＝eq \r(2)，解得p＝6或p＝－2(舍去)．
所以p＝6.
(2)法一：依题意设M(m，－3)，
由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝eq \f(x2,12)，所以y′＝eq \f(x,6)，
设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝eq \f(x1,6)，
所以切线l2的方程为y＝eq \f(1,6)x1(x－x1)＋y1.
令x＝0，则y＝－eq \f(1,6)xeq \\al(2,1)＋y1＝－eq \f(1,6)×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，
所以eq \(MA,\s\up7(―→))＝(x1－m，y1＋3)，
eq \(MB,\s\up7(―→))＝(－m，－y1＋3)，
所以eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＝(x1－2m，6)，
所以eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))＝(x1－m，3)．
设N点坐标为(x，y)，则y＝3，
所以点N在定直线y＝3上．
法二：设M(m，－3)，
由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，①
设l2的斜率为k，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,12)xeq \\al(2,1)))，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋eq \f(1,12)xeq \\al(2,1)，②
联立①②得，x2＝12eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(k（x－x1）＋\f(1,12)xeq \\al(2,1)))，
因为Δ＝144k2－48kx1＋4xeq \\al(2,1)＝0，所以k＝eq \f(x1,6)，
所以切线l2的方程为y＝eq \f(1,6)x1(x－x1)＋eq \f(1,12)xeq \\al(2,1).
令x＝0，得B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,12)xeq \\al(2,1)))，
所以eq \(MA,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－m，\f(1,12)xeq \\al(2,1)＋3))，
eq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－m，－\f(1,12)xeq \\al(2,1)＋3))，
所以eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＝(x1－2m，6)，
所以eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))＝(x1－m，3)，
所以点N在定直线y＝3上．