专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题（解析版）学案

这是一份专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题（解析版）学案，共29页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，2020年高考山东卷，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题
【热点聚焦与扩展】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.
（一）所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.
1、常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2、定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
（二）处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2、一些技巧与注意事项：
（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.
（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转.
（三）定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
【经典例题】
例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数21】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明详见解析．
【思路导引】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解；
（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，即可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：，命题得证．
【解析】（1）依据题意作出如下图像：

由椭圆方程可得：， ，，，，，，椭圆方程为：．
（2）证明：设，则直线的方程为：，即：，
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或，
将代入直线可得：，∴点的坐标为，同理可得：点的坐标为，
直线的方程为：，
整理可得：，
整理得：，故直线过定点．
【专家解读】本题考查了椭圆标准方程及其几何性质，考查直线与椭圆位置关系，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是韦达定理的应用．
例2．【2020年高考山东卷】
已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【思路导引】(1)设出椭圆方程，由题意得到关于a，b，c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程．
(2)设出点M，N的坐标，联立直线方程与椭圆方程可证得直线MN恒过定点，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置．
【解析】（1）根据题意，把点代入椭圆得到①，设，又，∴，代入①式，求得，∴椭圆的方程为．
（2）解法一：由题意知的直线方程为，设直线与椭圆相切于点，，联立方程组得，，得，由题意可知时，面积最大，直线与直线距离，，∴．
解法二：设，


解法三：设点．因为AM⊥AN，所以．
整理可得： ①
设MN的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆方程可得：，
韦达定理可得：，
，，
代入①式有：，
化简可得：，即，
据此可得：或，所以直线MN的方程为或，
即或，所以直线过定点或．

又因为和A点重合，所以舍去，则直线过定点．
由于AE为定值，且△AED为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）．
由于，故由中点坐标公式可得．
【专家解读】本题考查了椭圆的定义、标准方程及其几何性质，考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是联立直线与圆锥曲线方程，消元转化为一元二次方程求解．
例3．（2020·广东华南师大附中高三三模）已知椭圆的短轴长为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设为原点，若，求证：直线经过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为椭圆的短轴长为，所以；
因为椭圆经过点，所以，
所以，解得
故椭圆的方程为.
（2）设
联立得，
依题意得，
，.
所以直线，
令得，即；
同理可得.
因为，即
所以，即（*）

∴（*）式可化为
①当时，，则
直线的方程为，
直线过定点，不合题意，舍去
②当时，或
若，则直线的方程为，过定点，不合题意
若，则直线的方程为，直线过定点
综上，直线过定点.
例4．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知圆与x轴的正半轴交于点A，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹记为曲线，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线交于B，C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M，直线AC与圆O的另一个交点为N，设直线AB，AC的斜率分别为.
（1）求的值；
（2）判断是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.
【答案】（1）（2）是定值，定值为
【解析】（1）设线段PQ中点为，则，
代入圆方程即得D点轨迹方程为，
设，则，且，
则

；
（2）分别设直线AB，AC为，
且，
，
，
同理可得：，
所以，
所以.
例5．（2020·六盘山高级中学高三三模）已知抛物线与圆相交于，两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点，作抛物线的切线，，是，的交点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）点的横坐标为，所以点的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为.
（2）抛物线，则，设，
所以切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
联立解得点，
设直线的方程为，代入，
得，所以，
所以点在上，结论得证.
例6．（2020·广西南宁三中高三三模）椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意，离心率为，右焦点为，将代入，
可得；
又过椭圆右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，，
所以，
联立解得：，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）证明：由（1）知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立得；
设代入椭圆的方程有：
整理得：，故，
又，(，分别为直线，的斜率)
所以，
所以直线的方程为：，联立得，
所以以为直径的圆的方程为：，
令，解得：，
所以以线段为直径的圆恒过定点.
例7．（2020·江苏南京师大附中高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由题意得：，即 椭圆方程为
将代入椭圆方程得：
椭圆的方程为：
（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或
当时，，，此时

当时，同理可得
②当直线斜率存在时，设方程为：，即
直线与圆相切 ，即
联立得：
设， ，


代入整理可得：
综上所述：为定值
例8．（2020·河北衡水中学高三三模）如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，且定直线方程为.
【解析】（1）由题意可得，解得，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立，消去并整理得，
，
由韦达定理得，.
易知点、，
直线的斜率为，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
由，可得，
其中，
，解得.
因此，点在定直线上.

【精选精练】
1．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，则直线，的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.
【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线.
【解析】（1）设点P的坐标为，
由，得，即.
故轨迹C的方程为：
（2）根据题意，可设直线的方程为：，
由，消去x并整理得
其中，.
设，，则，.
因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），
从而可设直线的方程为①，
直线的方程为②，
所以，直线，的交点的坐标满足：

而
，
因此，，即点Q在直线上.
所以，探究发现的结论是正确的.
2．（2020·安庆市第七中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由椭圆定义知的周长为，当是椭圆短轴端点时，面积的最大，最大值为，
由，
消去得，，∵，∴，
∴，
∴椭圆方程为；
（2）由（1），
由直线斜率不为0，设直线方程为，设，
由，消去可得，
∴，，∴，
直线方程为：，
直线方程为：，
联立方程组，，
，
∴．
故直线的交点在直线上．
3．（2020·云南昆明一中高三三模）已知点Q是圆M: 上一动点(M为圆心)，点N的坐标为(1，0)，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的轨迹方程;
（2）直线l过点P(4，0)交曲线E于点A，B，点B关于x的对称点为D，证明:直线AD恒过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，
所以，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以原点为中心的椭圆，
其中：，，又，
所以曲线的轨迹方程为.
（2）设，，则，由题意知直线的斜率必存在，
设直线的方程为：，
由消得：，
故
因为，，共线，其中，
所以，
整理得，
则，解得，此时
则直线的方程为：，
所以直线恒过定点
4．（2020·山西大同·高三三模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为、，已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率．


（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上异与、的点，与轴垂直的直线分别交直线、于点、，求证：直线与直线的斜率之积是定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，所以，即，
又点在椭圆上，∴，即，
又，联立方程组解得．
∴椭圆方程为．
（2）由题意，设点坐标为，，的横坐标为，
则直线的方程为，
故，故直线的斜率，
同理可得直线的斜率，
故
又点在椭圆上，∴，，
因此．
5．（2020·首都师范大学附属中学高三三模）已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(1)求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】(1)由题设，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．
6．（2020·黑龙江铁人中学高三三模）已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率，
将代入，得 ，
又，解得，
所以椭圆C的方程；
（2）证明：设直线的方程为，
又，，三点不重合，∴，
设，，
则由消去 ，整理得 ，
所以，，，则 ，
设直线，的斜率分别为，，
则
所以，即直线，的斜率之和为定值.
7．（2020·山东高三三模）已知椭圆过点，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点.若直线与直线的斜率之积为1，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由椭圆过点得，椭圆的一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点，可得，又即，解得，，∴椭圆方程为.
（2）证明：①当直线斜率不存在时，
设直线，，，
，即，
解得或，直线不过点,故(舍)，，舍去，
故不满足.
②当直线斜率存在时，设，，，
联立，整理得.
，， ①
则，
∴，
将①代入上式可得，
∴，
若，，,直线经过点与已知矛盾，
若，，存在使得成立.
∴直线的方程为，
故直线过定点.
8．（2020·江苏徐州·高三三模）已知直线与曲线交于不同的两点、，O为坐标原点.
（1）若，，求证：曲线是一个圆；
（2）若曲线，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在定点， 定值为.
【解析】（1）设直线与曲线的交点为、，
因为，所以，即，
因为、两点在曲线上，所以，，
两式相减得，即，，
故曲线是一个圆.
（2）假设存在点，设交点为、，
联立直线方程与椭圆方程得，化简得，
根据韦达定理可得：，，
因为直线恒过椭圆内定点，所以恒成立，
则






当，即、时，，
故存在定点，不论k为何值，为定值.
9．（2020·江苏高三三模）已知椭圆：过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点的坐标是，，是椭圆上的两点，满足，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为椭圆：过点，
所以，
又，所以，
解方程组，得，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：①当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立，消去得，
由，得.
设，，则，.
因为，所以，
即，
所以，
化简整理得，
所以或.
当时，，过定点，不符合题意，舍去﹔
当时，，过定点.
②当直线的斜率不存在时，设其方程为，并设，，且.因为，
所以，
解得或(舍去)，显然直线过定点.
综上，直线过定点.
10．（2020·湖北武汉·高三三模）椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）设椭圆焦距为，由，解得，.
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线方程为，，，
由得，.
∴，.①
又，②
从而①代入②得.又，以替代，以替代，
同理可得，∴，
∴对恒成立，解得或（舍），经检验，此时，因此存在.
11．（2020·涡阳县育萃高级中学高三三模）椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1），由题意，，
所以椭圆的方程.
（2）设，，，过的动直线：，代入椭圆的方程得：
，得：，，
，
分别由，，及，，三点共线，得：，，
两式相除得：
，
得：，即在直线上.
12．（2020·广东高三三模）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，，
【解析】（Ⅰ）由题可知，直线的斜率存在.
设，，由于点，都在椭圆上，
所以①，②，
①-②，化简得③
又因为离心率为，所以.
又因为直线过焦点，线段的中点为，
所以，，，
代入③式，得，解得.
再结合，解得，，
故所求椭圆的方程为.
（Ⅱ）证明：设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，，
又过点且与椭圆只有一个公共点，所以，
所以：，④
因为过点且与垂直，所以：，⑤
联立④⑤，消去，得，
又，所以，从而可得，
所以与的交点在定直线上.