全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十七圆锥曲线中的最值范围证明问题理含解析

这是一份全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十七圆锥曲线中的最值范围证明问题理含解析，共5页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆D，已知抛物线C，椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq \r(2)＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.
解：(1)依题意可设圆O的方程为x2＋y2＝b2，
∵圆O与直线x－y＋eq \r(2)＝0相切，∴b＝eq \f(|\r(2)|,\r(12＋12))＝1，
∴a2－c2＝1，
又eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，∴a＝eq \r(2)，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－2），,\f(x2,2)＋y2＝1))得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∵l与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k2－1b>0)的离心率为e＝eq \f(\r(2),2)，点(－eq \r(2)，1)在椭圆D上．
(1)求椭圆D的方程；
(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数λ的取值范围．
解：(1)椭圆D的离心率e＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(2),2)，∴a＝eq \r(2)b，
又点(－eq \r(2)，1)在椭圆D上，∴eq \f(2,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，得a＝2，b＝eq \r(2)，
∴椭圆D的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx＋t，))消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(－4kt,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2t2－4,2k2＋1)，
k1＋k2＝eq \f(y1,x1)＋eq \f(y2,x2)＝eq \f(kx1＋t,x1)＋eq \f(kx2＋t,x2)＝2k＋eq \f(t（x1＋x2）,x1x2)＝2k＋t·eq \f(－4kt,2k2＋1)·eq \f(2k2＋1,2t2－4)＝eq \f(－4k,t2－2).
由k1＋k2＝λk，得eq \f(－4k,t2－2)＝λk，
∵此等式对任意的k都成立，∴eq \f(－4,t2－2)＝λ，
即t2＝2－eq \f(4,λ).
∵点P(0，t)在椭圆内，∴0≤t20，所以0