专题03 圆锥曲线中定值、定点问题分析- 高考数学（文）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

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专题03  圆锥曲线中定值、定点问题分析内容提要纵观历年高考真题，圆锥曲线中的定值、定点问题是高考中的热点题型，以解答题为主，难度一般较大，考查函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．本文坚持直曲联立，韦达定理传统方法培养的同时，增加齐次联立法，分析椭圆、双曲线、抛物线中定值、定点问题分析，望读者能曲径通幽．方法归纳方法1：韦达定理  设而不求方法2：齐次联立  整体代入方法3：韦达定理  设而可求溯本求源【例1】（2019重庆八中高二期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是．（1）求椭圆的标准方程．（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是．（2）（韦达定理 设而不求）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0．设，，直线的方程为联立，整理得则，．因为直线与直线的斜率之和为1，所以，所以，将，代入上式，整理得．所以，即，则直线的方程为．故直线恒过定点．【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算．推广延伸纵观历年高考真题中， 经常出现有关定点与定值问题．包括以下两类热点问题：①斜率之和为定值问题；②斜率之积为定值问题．审思明辨推广1：已知：点是二次曲线上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．求证：①若，则或直线斜率不存在；②若，则直线恒过定点．【证明】（齐次联立  整体代入）设，，已知，则．令，则转化为．又，所以．设直线方程为：，则所以，由，得①．由，得②．由①+②，得．当时，或直线斜率不存在．当时，直线恒过定点．综上所述：当时，或直线斜率不存在．当时，直线恒过定点．恍然大悟⑴已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则①若，则或直线斜率不存在．②若，则直线恒过定点．⑵已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则①若，则或直线斜率不存在．②若，则直线恒过定点．推广2：已知：点是二次曲线上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．求证：①若，则或直线斜率不存在；②若，则直线恒过定点．【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述．类比联想⑴已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则：①若，则或直线斜率不存在．②若，则直线恒过定点．⑵已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则：①若，则或直线斜率不存在．②若，则直线恒过定点．【评析】建议掌握证明方法，齐次联立，整体代入，处理圆锥曲线中的斜率和（积）定值问题，立竿见影．初学者特别注意先平移，后还原，方能正确找出对应的定点坐标．经典赏析类型一：韦达定理  设而可求定点型【例2】（2020甘肃高二期末）已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．【解析】（l）由题意知解得所以椭圆的方程为．（2）证明：易知，，则直线的方程为，直线的方程为．联立得．于是，．同理可得，所以直线的斜率．所以直线的方程为．即，所以直线过定点．【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算．类型2：韦达定理   数量积定值型【例3】（2019北京18）已知抛物线经过点(2，-1)．（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点．【解析】（I）由抛物线经过点，得．所以抛物线C的方程为，其准线方程为．（II）抛物线C的焦点为，设直线l的方程为．由，得．设则．直线的方程为，令，得点A的横坐标为，同理可得点B的横坐标．
设点，则，．令即，得或．综上，以AB为直径的圆经过轴上的定点．【评析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题，解析几何中求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，推理的过程中变更主元，消去变量，从而得到定值．【例4】（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．【解析】（1）设，，则，，．由得  ，．因为在上，所以．因此点的轨迹方程为．（2）由题意知．设，，则，，，，，由得，又由（1）知，故，所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 【评析】本题考查直线方程的求解、直线与椭圆中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，用点的坐标计算数量积，代数化简证明结论．类型3：圆锥曲线斜率和定值型【例5】（2018全国卷Ⅰ）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)设为坐标原点，证明：．【解析】(1)由已知得，的方程为．由已知可得，点的坐标为或．所以的方程为或．(2)（韦达定理  设而不求）当与轴重合时，．当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，，直线，的斜率之和为．由，得．将代入得．所以，，．则．从而，故，的倾斜角互补，所以．综上，．【评析】定点、定值问题通常是通过设参数计算推导出，或者由特殊值来确定定点、定值，实现先猜后算．涉及的几何问题代数化，研究圆锥曲线动定依赖关系，动中取静．【例6】（2017新课标Ⅰ）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．(1)求的方程；(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．又由知，C不经过点，所以点在C上．因此，解得．故C的方程为．（2）方法1：（韦达定理  设而不求）设直线与直线的斜率分别为，，如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．则，得，不符合题设．从而可设：（）．将代入得由题设可知．设，，则，．而．由题设，故．即，解得．当且仅当时，，欲使：，即，所以过定点（2，）方法2：（齐次联立  整体代入）设直线与直线的斜率分别为，，由，， ，得．设直线：，齐次联立得所以，又，则对任意，恒成立，得，所以过定点．【评析】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．（3）齐次联立，整体代入，处理圆锥曲线中的斜率和（积）定值问题，立竿见影．虽然计算简洁，但是初学者特别注意先平移，后还原，方能正确找出对应的定点坐标．类型4：圆锥曲线几何定值型【例7】 (2016年北京)已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则．当时，直线的方程为．令，得．从而．直线的方程为．令，得．从而．所以．当时，，所以．综上，为定值．【评析】本题考查直线方程的求解、直线与椭圆中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，用点的坐标计算表示长度，代数化简证明定值．
往事如梦1．(2019年湖南长沙一中高三月考)已知椭圆过点，其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）若直线不经过点，且与椭圆相交于两点（、不重合），若直线与直线的斜率之积为．（ⅰ）证明：过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）求的面积的最大值．
2．(2018年北京高考)已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
3．(2017年上海高三)过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为时，求直线l的方程；（3）求证：是一个定值．
4．(2020高三专题复习)已知椭圆C：．（1）求椭圆C的离心率；（2）设分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论．
5．(2020湖北高三月考)已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．    （1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
6．(2020安徽高三月考)已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．
7．(2020四川高三月考)已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为3，，分别为椭圆的左、右顶点，点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．
8．(2019重庆八中高三)已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点．（1）求直线的斜率的取值范围；