2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案，共5页。试卷主要包含了已知圆C1，已知圆C，过点M的直线l与圆C等内容，欢迎下载使用。


1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．随a的变化而变化
解析：选B 因为直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．
2．(2017·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解析：选B x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝eq \f(|a＋1－a－1＋2a|,\r(a＋12＋a－12))＝eq \f(|2a＋2|,\r(2a2＋2)) .则r2－d2＝9－eq \f(4a2＋8a＋4,2a2＋2)＝eq \f(7a2－4a＋7,a2＋1)，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，即7a2－4a＋7>0恒成立，故有r2>d2，即d3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
解析：选A ∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴eq \f(|m|,\r(1＋4))＝eq \r(5)，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
4．过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：选A 由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝eq \f(3－2,－2－－1)＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.
5．若圆x2＋y2＋mx－eq \f(1,4)＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.
解析：圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(m2＋1),2)))2，圆心到直线y＝－1的距离eq \f(\r(m2＋1),2)＝|0－(－1)|，解得m＝±eq \r(3)，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
一、选择题
1．直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a的值为( )
A．3 B．2eq \r(2)
C．3或－5 D．－3或5
解析：选C 因为(x－a)2＋(y－3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为2eq \r(2)，所以由直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以eq \f(|a－3＋4|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5.
2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：选C 设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为eq \r(－1＋22＋2－32)＝eq \r(2)，所以eq \f(|－k－2＋2k＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0.
3．(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：选B 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．
4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋eq \f(6,1＋λ)x＋eq \f(6λ,1＋λ)y－eq \f(4＋28λ,1＋λ)＝0，其圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－eq \f(3,1＋λ)＋eq \f(3λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
5．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4eq \r(2) C．6 D．2eq \r(10)
解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.
∴|AB|＝6.
6．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．9
解析：选D 圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以eq \r(－2a－02＋0－b2)＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(4a2＋b2)＝5＋eq \f(b2,a2)＋eq \f(4a2,b2)≥5＋2eq \r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))＝9，当且仅当eq \f(b2,a2)＝eq \f(4a2,b2)，且4a2＋b2＝1，即a2＝eq \f(1,6)，b2＝eq \f(1,3)时等号成立．所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为9.
二、填空题
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与 x 轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________．
解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d＝3eq \r(2)，由两圆相外切可得R＋2eq \r(2)＝d＝3eq \r(2)，即圆C的半径R＝eq \r(2)，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝________.
解析：由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为eq \f(\r(2),2)r＝eq \r(2).即eq \f(|1＋k|,\r(2))＝eq \r(2)，解得k＝1或－3.
答案：1或－3
9．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧eq \x\t(AB)的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________．
解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧eq \x\t(AB)的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为eq \r(2)，所以|OM|＝eq \r(2)－1，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－1，1－\f(\r(2),2)))，所以切线方程为y－1＋eq \f(\r(2),2)＝x－eq \f(\r(2),2)＋1，整理得x－y＋2－eq \r(2)＝0.
答案：x－y＋2－eq \r(2)＝0
10．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．
解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为eq \f(4－2,3－1)＝1，所以直线l的斜率为eq \f(－1,1)＝－1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
11．(2016·河南中原名校第三次联考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，PC＝2，设P(a，2a)，则eq \r(a2＋2a－42)＝2，解得a＝2或a＝eq \f(6,5)，所以点P的坐标为(2,4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(12,5))).
(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
∴该圆必经过定点(0,4)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5))).
12．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为eq \f(4－0,2－0)＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝eq \f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq \f(|m＋5|,\r(5)).
因为BC＝OA＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，而MC2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,2)))2，
所以25＝eq \f(m＋52,5)＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝x1＋2－t，,y2＝y1＋4.)) ①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤eq \r([t＋4－6]2＋3－72)≤5＋5，
解得2－2eq \r(21)≤t≤2＋2eq \r(21).
因此，实数t的取值范围是．