2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十六） 双曲线 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十六） 双曲线 word版含答案，共6页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。


1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(\r(5),2) D．1
解析：选D 因为双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1，所以e2＝1＋eq \f(3,a2)＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
解析：选B 在双曲线中离心率e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(3)，可得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，故双曲线的渐近线方程是y＝±eq \r(2)x.
3．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A．2 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
解析：选C 由渐近线互相垂直可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))·eq \f(b,a)＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝eq \r(2)a，所以e＝eq \r(2).
4．(2016·天津高考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2eq \r(5)，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(3x2,20)－eq \f(3y2,5)＝1 D.eq \f(3x2,5)－eq \f(3y2,20)＝1
解析：选A 由焦距为2eq \r(5)，得c＝eq \r(5).因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
5．(2016·北京高考)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2eq \r(2)，∠AOB＝eq \f(π,4).
∵直线OA是渐近线，方程为y＝eq \f(b,a)x，∴eq \f(b,a)＝tan∠AOB＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案：2
一、选择题
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9－k)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)－eq \f(y2,9)＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由02．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)＝1 D.eq \f(y2,12)－eq \f(x2,3)＝1
解析：选A 由题意，设双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则eq \f(22,4)－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2＝－3，即eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1.
3．设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(10),2)
C.eq \f(\r(15),2) D.eq \r(5)
解析：选B 因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,2)，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),2)(负值舍去)．
4．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．±eq \f(1,2) B．±eq \f(\r(2),2)
C．±1 D．±eq \r(2)
解析：选C 由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Bc，eq \f(b2,a)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq \f(\f(b2,a),c＋a)·eq \f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
5．(2017·江南十校联考)已知l是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2)
C．2 D.eq \f(2\r(6),3)
解析：选C 由题意知F1(－eq \r(6)，0)，F2(eq \r(6)，0)，不妨设l的方程为y＝eq \r(2)x，点P(x0，eq \r(2)x0)，由·＝(－eq \r(6)－x0，－eq \r(2)x0)·(eq \r(6)－x0，－eq \r(2)x0)＝3xeq \\al(2,0)－6＝0，得x0＝±eq \r(2)，故点P到x轴的距离为eq \r(2)|x0|＝2，故选C.
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(5)) B．(1，eq \r(5) ]
C．(eq \r(5)，＋∞) D．[eq \r(5)，＋∞)
解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，则由题意得eq \f(b,a)＞2，∴e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＞eq \r(1＋4)＝eq \r(5).即双曲线离心率的取值范围为(eq \r(5)，＋∞)．
二、填空题
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________________．
解析：易得椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，,\f(b,a)＝2，))∴a2＝1，b2＝4，∴双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,4)＝1
8．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若v＝，则双曲线的渐近线方程为____________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋c，,y＝－\f(b,a)x))得x＝－eq \f(ac,a＋b)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋c，,y＝\f(b,a)x，))
解得x＝eq \f(ac,b－a)，不妨设xA＝－eq \f(ac,a＋b)，xB＝eq \f(ac,b－a)，
由＝可得－eq \f(ac,a＋b)＋c＝eq \f(ac,b－a)＋eq \f(ac,a＋b)，
整理得b＝3a.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
答案：3x±y＝0
9．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于______．
解析：由题意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|＝|BF1|＝2eq \r(2)，所以其面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
答案：4
10．(2016·山东高考)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
解析：如图，由题意知|AB|＝eq \f(2b2,a)，|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×eq \f(2b2,a)＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．
答案：2
三、解答题
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，
－eq \r(10))．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝eq \r(2)，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－eq \r(10))，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，
则＝(－2eq \r(3)－3，－m)，
＝(2eq \r(3)－3，－m)．
∴·＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq \r(3).
由(2)知m＝±eq \r(3).
∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(3)，
∴S△F1MF2＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×eq \r(3)＝6.
12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝eq \r(13)，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))
解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2eq \r(13)，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)
＝eq \f(102＋42－2\r(13)2,2×10×4)＝eq \f(4,5).