高中数学高考2018高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含答案

课时达标检测（四十四）  直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)

A．相切   B．相交

C．相离   D．随a的变化而变化

解析：选B　因为直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．

2．(2017·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)

A．相切      B．相交      C．相离      D．不确定

解析：选B　x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝ .则r2－d2＝9－＝，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，即7a2－4a＋7>0恒成立，故有r2>d2，即d<r，故直线与圆相交．

3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0

解析：选A　∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴＝，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.

4．过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为(　　)

A．x－y＋5＝0   B．x＋y－1＝0

C．x－y－5＝0   D．2x＋y＋1＝0

解析：选A　由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.

5．若圆x2＋y2＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.

解析：圆的标准方程为2＋y2＝2，圆心到直线y＝－1的距离＝|0－(－1)|，解得m＝±，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝.

答案：

一、选择题

1．直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a的值为(　　)

A．3   B．2

C．3或－5   D．－3或5

解析：选C　因为(x－a)2＋(y－3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为2，所以由直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以＝2，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5.

2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为(　　)

A．x＋y－3＝0   B．x＋y－1＝0

C．x－y＋5＝0   D．x－y－5＝0

解析：选C　设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为＝，所以＝，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0.

3．(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切        B．相交         C．外切     D．相离

解析：选B　由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．

4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－x＋7y－32＝0

B．x2＋y2－x＋7y－16＝0

C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0

D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0

解析：选A　设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0，其圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.

5．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)

A．2   B．4  C．6   D．2

解析：选C　由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．

∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.

∴|AB|＝6.

6．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A．2         B．4        C．8   D．9

解析：选D　圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．所以＋的最小值为9.

二、填空题

7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与 x 轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为________．

解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d＝3，即圆C的半径R＝，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.

答案：(x＋1)2＋y2＝2

8．圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝________.

解析：由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为r＝.即＝，解得k＝1或－3.

答案：1或－3

9．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________．

解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1，所以M，所以切线方程为y－1＋＝x－＋1，整理得x－y＋2－＝0.

答案：x－y＋2－＝0

10．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．

解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为＝1，所以直线l的斜率为＝－1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

答案：x＋y－3＝0

三、解答题

11．(2016·河南中原名校第三次联考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，PC＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2,4)或.

(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，

即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.

由得或

∴该圆必经过定点(0,4)和.

12．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．

解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，

所以圆心M(6,7)，半径为5.

(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．

因为圆N与x轴相切，与圆M外切，

所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.

(2)因为直线l∥OA，

所以直线l的斜率为＝2.

设直线l的方程为y＝2x＋m，

即2x－y＋m＝0，

则圆心M到直线l的距离

d＝＝.

因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，

所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.

故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，

所以　　　①

因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②

将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.

于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆2＋(y－3)2＝25有公共点，

所以5－5≤≤5＋5，

解得2－2≤t≤2＋2.

因此，实数t的取值范围是．