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2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十三） 圆的方程 word版含答案
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这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十三） 圆的方程 word版含答案，共5页。试卷主要包含了已知圆C1，在平面直角坐标系内，若曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为eq \r(11).
2．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：选B 设圆心为(0，b)，半径为r，
则r＝|b|，
故圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，
解得b＝5.
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
3．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
4．已知＝(2＋2cs α，2＋2sin α)，α∈R，O为坐标原点，向量满足＋＝0，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：设Q(x，y)，∵＋＝(2＋2cs α＋x,2＋2sin α＋y)＝(0,0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－2cs α，,y＝－2－2sin α，))∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线 x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．
解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
答案：4
一、选择题
1．方程y＝eq \r(1－x2)表示的曲线是( )
A．上半圆 B．下半圆
C．圆 D．抛物线
解析：选A 由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5
解析：选B 因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为eq \r(5)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为eq \f(|4|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以r＝eq \r(2).又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x 和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
4．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
A.eq \f(9,5) B．1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(13,5)
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝eq \f(|－3－4－2|,5)＝eq \f(9,5)，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝eq \f(4,5).
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：选B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝eq \f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ eq \r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6.
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1 C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
解析：选A 圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝eq \r(3－22＋4＋32)＝5eq \r(2)，则|PM|＋|PN|的最小值为5eq \r(2)－4.
二、填空题
7．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,|－a|>2，,|2a|>2，))解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
8．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(4－3k2)≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
9．已知圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，则ab的最大值是________．
解析：由圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，可得圆心(2a，－b)在直线x－y－1＝0上，故有2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1≥2eq \r(2ab)，解得ab≤eq \f(1,8)，故ab的最大值为eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
10．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为 ________________.
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心(0，a), 半径为r，则rsineq \f(π,3)＝1，rcseq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，
即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).
答案：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
三、解答题
11．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．
解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－eq \f(1,\f(1,6))＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，
即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－eq \f(5,2)＝－eq \f(5,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(13,2)))，
即5x＋7y－50＝0上，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－6x＋23，,5x＋7y－50＝0))解得圆心为(3,5)，
所以半径为eq \r(9－32＋6－52)＝eq \r(37)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
12．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，
将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝eq \r(2)cs θ，y＝eq \r(2)sin θ，
所以·＝x＋y－2
＝eq \r(2)(sin θ＋cs θ)－2
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2，
又eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))min＝－1，
所以·的最小值为－4.
1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，eq \r(11)为半径的圆
解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为eq \r(11).
2．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：选B 设圆心为(0，b)，半径为r，
则r＝|b|，
故圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，
解得b＝5.
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
3．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
4．已知＝(2＋2cs α，2＋2sin α)，α∈R，O为坐标原点，向量满足＋＝0，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：设Q(x，y)，∵＋＝(2＋2cs α＋x,2＋2sin α＋y)＝(0,0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－2cs α，,y＝－2－2sin α，))∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线 x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．
解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
答案：4
一、选择题
1．方程y＝eq \r(1－x2)表示的曲线是( )
A．上半圆 B．下半圆
C．圆 D．抛物线
解析：选A 由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5
解析：选B 因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为eq \r(5)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为eq \f(|4|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以r＝eq \r(2).又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x 和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
4．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
A.eq \f(9,5) B．1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(13,5)
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝eq \f(|－3－4－2|,5)＝eq \f(9,5)，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝eq \f(4,5).
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
解析：选B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝eq \f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ eq \r(32＋42)＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6.
6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1 C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
解析：选A 圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝eq \r(3－22＋4＋32)＝5eq \r(2)，则|PM|＋|PN|的最小值为5eq \r(2)－4.
二、填空题
7．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,|－a|>2，,|2a|>2，))解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
8．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(4－3k2)≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
9．已知圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，则ab的最大值是________．
解析：由圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0对称，可得圆心(2a，－b)在直线x－y－1＝0上，故有2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1≥2eq \r(2ab)，解得ab≤eq \f(1,8)，故ab的最大值为eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
10．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为 ________________.
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心(0，a), 半径为r，则rsineq \f(π,3)＝1，rcseq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，
即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).
答案：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
三、解答题
11．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．
解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－eq \f(1,\f(1,6))＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，
即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－eq \f(5,2)＝－eq \f(5,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(13,2)))，
即5x＋7y－50＝0上，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－6x＋23，,5x＋7y－50＝0))解得圆心为(3,5)，
所以半径为eq \r(9－32＋6－52)＝eq \r(37)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
12．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，
将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝eq \r(2)cs θ，y＝eq \r(2)sin θ，
所以·＝x＋y－2
＝eq \r(2)(sin θ＋cs θ)－2
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2，
又eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))min＝－1，
所以·的最小值为－4.
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