高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案

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(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．
必备方法 求圆的弦长的常用方法：
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
[自测练习]
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m的取值有关
解析：圆心到直线的距离d＝eq \f(|－1－m＋1|,\r(m2＋1))＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))4，∴d＝eq \f(4,\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)))0)，
则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)，解得m＝eq \f(5,2)，所以圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1)，,y1y2＝\f(－3,t2＋1)，))
则kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)＝eq \f(2ty1y2－3y1＋y2,ty1－3ty2－3)＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),ty1－3ty2－3)＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
10．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：y＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,2)被圆M截得的弦长为eq \r(3)，且圆心M在直线l的下方．
(1)求圆M的方程；
(2)设A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．
解：(1)设圆心M(a,0)，由已知得点M到直线l：8x－6y－3＝0的距离为eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(|8a－3|,\r(82＋62))＝eq \f(1,2).又点M在直线l的下方，∴8a－3>0，∴8a－3＝5，a＝1，∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设直线AC的斜率为k1，直线BC的斜率为k2，则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6.由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k1x＋t，,y＝k2x＋t＋6，))解得C点的横坐标为eq \f(6,k1－k2).
∵|AB|＝t＋6－t＝6，
∴S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,k1－k2)))×6＝eq \f(18,|k1－k2|).
∵圆M与AC相切，
∴1＝eq \f(|k1＋t|,\r(1＋k\\al(2,1)))，∴k1＝eq \f(1－t2,2t)；
同理，k2＝eq \f(1－t＋62,2t＋6).
∴k1－k2＝eq \f(3t2＋6t＋1,t2＋6t)，
∴S＝eq \f(6t2＋6t,t2＋6t＋1)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,t2＋6t＋1)))，
∵－5≤t≤－2，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
∴Smax＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))＝eq \f(15,2)，Smin＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,8)))＝eq \f(27,4).
B组 高考题型专练
1．(2014·高考浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝eq \r(2－a).圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2).由r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
答案：B
2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：易知△ABC是边长为2的等边三角形，故圆心C(1，a)到直线AB的距离为eq \r(3)，即eq \f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq \r(3)，解得a＝4±eq \r(15).经检验均符合题意，则a＝4±eq \r(15).
答案：4±eq \r(15)
3．(2014·高考山东卷)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq \r(3)，则圆C的标准方程为________．
解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b>0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2eq \r(4b2－b2)＝2eq \r(3)，b>0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
4．(2015·高考山东卷)过点P(1，eq \r(3))作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
解析：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，∠APO＝∠BPO＝eq \f(π,6)，则eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(PB,\s\up6(→))|·cs eq \f(π,3)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
5．(2015·高考重庆卷)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
解析：由题意，得kOP＝eq \f(2－0,1－0)＝2，则该圆在点P处的切线方程的斜率为－eq \f(1,2)，所以所求切线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|