高考数学一轮复习总教案：8.1　直线与方程

第八章　直线和圆的方程

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8.1　直线与方程

典例精析　

题型一　直线的倾斜角

【例1】直线2xcos α－y－3＝0，α∈[，]的倾斜角的变化范围是(　　)

A.[，]          B.[，]

C.[，]          D.[，]

【解析】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，

由于α∈[，]，所以≤cos α≤，k＝2cos α∈[1，].

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，

由于θ∈[0，π)，所以θ∈[，]，即倾斜角的变化范围是[，]，故选B.

【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.

【变式训练1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈　　　　　　　　　时，直线MN的倾斜角为锐角；当m＝　　　时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈　　　　　时，直线MN的倾斜角为钝角.

【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k＝＝＞0⇒m＜－5或m＞1；

直线MN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2⇒m＝－5；

直线MN的倾斜角为钝角时，k＝＝＜0⇒－5＜m＜1.

题型二　直线的斜率

【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.

【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝＝，

设直线AB的倾斜角为θ，则tan θ＝，

l的倾斜角为2θ，tan 2θ＝＝＝.

所以直线l的斜率为.

【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.

【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sin α＋cos α＝，则直线l的斜率为(　　)[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

A.     B.     C.－      D.－或－

【解析】选C.sin α＋cos α＝⇒sin αcos α＝－＜0⇒

sin α＝，cos α＝－或cos α＝，sin α＝－(舍去)，

故直线l的斜率k＝tan α＝＝－.

题型三　直线的方程

【例3】求满足下列条件的直线方程.

(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等；

(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.

【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x－3y＝0；当截距不为0时，设方程为＋＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.

故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；

当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.

故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.

【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.

【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.

【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.

因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－.此时直线方程为y＝－x.

当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为＋＝1，

因为直线过点P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.

题型四　直线方程与最值问题

【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.

【解析】方法一：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，

由于点P在直线上，所以＋＝1.

·≤()2＝，

当＝＝时，即a＝4，b＝2时，·取最大值，

即S△AOB＝ab取最小值4，

所求的直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.

方法二：设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，

直线与x轴的交点为A(，0)，直线与y轴的交点为B(0，－2k＋1)，

由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.

S△AOB＝(1－2k) ·＝[(－)＋(－4k)＋4]≥[2＋4]＝4.

当－＝－4k，即k＝－时，S△AOB有最小值，

所求的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.

【变式训练4】已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.

【解析】由直线l的方程得其斜率k＝.

若m＝0，则k＝0；

若m＞0，则k＝≤＝，所以0＜k≤；

若m＜0，则k＝＝－≥－＝－，所以－≤k＜0.

综上，－≤k≤.

总结提高

1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.

2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).

3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.

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