人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例精品教案及反思

这是一份人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例精品教案及反思，共12页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，复习提问，师生活动，小组讨论，课件展示，教师引导分析等内容，欢迎下载使用。
第二十七章  相似27.2  相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例【知识与技能】　1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.　2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.【过程与方法】　1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力.　2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.　3.学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.【情感态度与价值观】　1.通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.　2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.　3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度.　4.培养学生的合作交流意识,培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现的科学精神.    　利用相似三角形的性质解决高度测量问题.    　将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.    多媒体课件.    导入一:　【复习提问】　　(1)什么是相似三角形及相似比?　(2)判定三角形相似的方法有哪些?　(3)相似三角形的性质是什么?　【师生活动】　学生回答问题,教师点评.导入二:　胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为230米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.　在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?　【师生活动】　学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?初步了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题.　[设计意图]　以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义. 　　[过渡语]　泰勒斯到底用什么方法得出了金字塔的高度呢?这就是我们今天学习的内容.一、测量旗杆的高度　【问题】　如何测量操场上旗杆的高度?　思路一　【思考】　(1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系?　(2)在操场上竖立一根长1米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长.　(太阳光线看作是平行的)　(3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?　【师生活动】　学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过程中帮助有困难的学生.　解:如图,测得同一时刻旗杆的影长AB=a,标杆的影长为EF=b.　由题意可得∠B=∠F=90°,AC∥DE,　∴∠A=∠E,∴△ABC∽△EFD,　∴=,　∴BC=米.　【归纳】　在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.　【追问】　你还有其他方法求旗杆的高度吗?　思路二　【小组讨论】　用什么方法可以测量操场旗杆的高度?　【师生活动】　学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,教师归纳测量的方法.　(1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度.　(2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度.　(3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度.　(4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高.　……　用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有:　【课件展示】　(1)如图,同一时刻物高与影长构成直角三角形.　(2)如图,利用平面镜构造直角三角形.　(3)如图,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.　[设计意图]　解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教师问题的引导下,学生进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后归纳结论. 思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.二、例题讲解　　[过渡语]　我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用类似的方法求出金字塔的高度呢?　　据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度.　如图,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.　【教师引导分析】　(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?　(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得三角形相似)　(2)如何求OA的长?　(金字塔的影子是等腰三角形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)　(3)写出你的求解过程.　【师生活动】　学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.　解:太阳光线是平行光线,　因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,　∴△ABO∽△DEF.　∴=,　∴BO===134(m).　因此金字塔的高度为134 m.　　如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据求河宽PQ.　〔解析〕　(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?(3)能不能用方程思想解出PQ的值?=,即PQ×90=(PQ+45)×60,可解得PQ的值　【师生活动】　学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范解答过程.　解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,　∴△PQR∽△PST.　∴=,　即=,=,　PQ×90=(PQ+45)×60.　解得PQ=90(m).　因此,河宽大约为90 m.　【追问】　你还有其他的测量河宽的方法吗?　【师生活动】　学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.　如下图也可以应用相似三角形的性质测量河宽.　[设计意图]　通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力.　[知识拓展]　利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形；②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度；③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量；④检验并得出答案.    　1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决.　2.测量不能直接测量的两点间的距离:通常构造直角三角形相似求解.     　27.2.3　相似三角形应用举例　1.求旗杆的高度　2.例题讲解　例1　例2       一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为　　(　　) A.1.5米　　B.2.3米　　C.3.2米　　D.7.8米2.如图,身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为　　(　　)A.4.8 m　　B.6.4 m　　C.8 m　　D.10 m3.如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是　　(　　)A. m　　B. m　　C. m　　D. m4.如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是　　(　　)A.AB=24 m　　B.MN∥ABC.△CMN∽△CAB　　D.CM∶MA=1∶25.如图,已知小明在打网球时,要使球C恰好能打过网DE,而且落在离网5米的位置上,则球拍击球的高度h应为　　　　m. 6.如图,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=　　　　mm. 7.如图,为了测量一个大峡谷的宽度AO,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O,再在他们所在的这一侧选点A,B,D,使AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定DO和AB的交点C,测得AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,请你帮助他们算出峡谷的宽AO.【能力提升】8.一高1 m的油桶内有一定量的油,为了测出桶内油的深度,用一根长1.2 m的木棒从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端正好到小口,抽出棒,量得棒上浸油部分长0.45 m,则桶内油的深度为　　　　. 9.如图,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为8米,小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,木梯刚好到达墙的顶端,则墙CD的高为　　　　. 10.王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高.如图,在旗杆的底部B引一条直线BM,在这条直线适当的位置E处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点D处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A,又测得BE=18米,ED=2.4米,已知王芳的眼睛到地面的高度CD=1.6米,求旗杆AB的高.【拓展探究】11.将△ABC纸片按如图的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8.(1)求△ABC的周长；(2)若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长.【答案与解析】1.C解析:设树高为x米.因为=,所以=,解得x=3.2.故选C.2.C解析:因为人和树均垂直于地面,所以和光线构成的两个直角三角形相似.设树高x m,则=,即=,∴x=8.故选C.3.C解析:∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,∴AB∶CD=P到AB的距离∶P到CD的距离.∴2∶5=P到AB的距离∶3,∴P到AB的距离为 m.故选C.4.D解析:∵M,N分别是AC,BC的中点,∴MN∥AB,MN=AB,故选项B正确.∵MN=12 m,∴AB=2MN=2×12=24(m),故选项A正确.∵MN∥AB,∴△CMN∽△CAB,故选项C正确.∵M是AC的中点,∴CM=MA.∴CM∶MA=1∶1,故选项D错误.故选D.5.2.7解析:如图,DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,即=,则=,∴h=2.7(m).6.2.5解析:∵两条尺长AC和BD相等,OC=OD,∴OA=OB.∵OC∶OA=1∶2,∴OD∶OB=OC∶OA=1∶2.∵∠COD=∠AOB,∴△AOB∽△COD,∴CD∶AB=OC∶OA=1∶2.∵CD=10 mm,∴AB=20 mm,∴2x+20=25,∴x=2.5.解:∵AB⊥AO,DB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.又∠ACO=∠BCD,∴△ACO∽△BCD,∴=.∵AC=120 m,BC=60 m,BD=50 m,∴=,解得AO=100(m),即峡谷的宽AO是100 m.8. m解析:如图,∵CD∥BE,∴△ACD∽△ABE,∴=,∴=,∴=,解得DE=(m).9.7.5米解析:∵∠AED=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.又∵AB和CD都垂直于BC,∴∠ABC=∠C=90°,∴∠DEC+∠D=90°,则∠AEB=∠D,∴△ABE∽△ECD,∴=,即=,解得CD=7.5(米).10.解:如图,过点E作镜面的垂线EF.由光学原理得∠AEF=∠CEF.∵∠DEC=90°-∠CEF,∠BEA=90°-∠AEF,∴∠DEC=∠BEA.又∵∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE∽△ABE,∴=,即=,解得AB=12(米).答:旗杆AB高为12米.11.解:(1)∵AB=AC=6,BC=8,∴△ABC的周长为AB+AC+BC=20.　(2)①∵以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,∴△B'FC∽△ABC,∴B'F∶AB=FC∶BC,即BF∶6=(8-BF)∶8,解得BF=.②∵以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,∴△FB'C∽△ABC,∴B'F∶AB=FC∶AC,即BF∶6=(8-BF)∶6,解得BF=4.综上所述,BF的长为或4.     　本节课在富有故事性的情景中导入新课,激发学生的学习兴趣,再从我们身边的测量旗杆的高度、河的宽度的问题出发,注重数学与生活之间的联系,利用身边生活实际,通过提出问题、解决问题、总结归纳,让学生成为学习活动的参与者、探索者和创造者.在探究过程中,从实际出发,以小组合作交流的形式,采用问题情景——建立模型——应用拓展的模式展开,培养学生应用数学解决实际问题的能力,同时通过多种方法探究旗杆的高度和河的宽度,学生思维活跃,积极思考,课堂气氛活跃,培养了学生从多个角度思考问题的能力及发散思维能力.　本节课主要是让学生学会运用三角形相似解决实际问题,在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,但是在进行测量旗杆的高度时,为了培养学生从多个角度思考问题,让学生探索不同方法用时太多,造成后面例题的分析有些仓促,学生思考、交流时间过短,在以后的教学中,可以把用不同方法测量旗杆的高度作为课前预习内容思考.