2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第二章 函数 第五节 指数与指数函数 Word版含解析

第五节　指数与指数函数

A组　基础题组

1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是(　　)

A.1  B.  C. D.

2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则(　　)

A.b<a<c  B.a<b<c  C.b<c<a  D.c<a<b

3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,2] B.2,+∞) 

C.-2,+∞) D.(-∞,-2]

4.(2016浙江绍兴一中月考)函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是(　　)

A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)

C.f(-4)<f(1) D.不能确定

5.定义区间x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为a,b],值域为1,9],则区间a,b]的长度的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 

6.若指数函数y=ax在-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a=　　　　. 

7.(2016安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为　　　　. 

8.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).

(1)求f(x)的表达式;

(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.

9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.

(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈-3,0]上的值域;

(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.

10.已知奇函数y=如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=(　　)

A.  B.-  C.2-x  D.-2x

11.已知函数f(x)=ex,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:

①(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2f;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是(　　)

A.①②  B.①④  C.①③  D.③④

12.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是(　　)

A.3c>3a  B.3c>3b 

C.3c+3a>2 D.3c+3a<2

13.若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是0,2],则实数a=　　　　. 

14.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,则a=　　　　. 

15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;

(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

A组　基础题组

1.D　a=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2=+=.

2.A　因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故选A.

3.B　由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.

根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是2,+∞).

4.A　由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=ax(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).

5.答案　4;2

解析　由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为-2,m](0≤m≤2)或n,2](-2≤n≤0),故区间a,b]的最大长度为4,最小长度为2.

6.答案　

解析　若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,

解得a=或a=(舍去).

若a>1,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,

解得a=或a=(舍去).

综上所述,a=.

7.答案　e

解析　由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=

当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;

当x<1时,f(x)>e.

故f(x)的最小值为f(1)=e.

8.解析　(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),

所以解得a2=4,

又a>0,所以a=2,则b=3.

所以f(x)=3·2x.

(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,

即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.

因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,

所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.

9.解析　(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,

令t=2x,则t∈.

故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.

即f(x)在x∈-3,0]上的值域为.

(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).

关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.

记g(m)=2am2-m-1,

当a=0时,m=-1<0,不符合题意.

当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不符合题意.

当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.

综上所述,a的取值范围是(0,+∞).

B组　提升题组

10.D　由题图知f(1)=,∴a=,则f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.

11.B　因为e>1,所以f(x)=ex为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=ex的反函数为y=lnx(x>0),故②错误;f(x1)+f(x2)=+>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=ex和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.

12.D　画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.

∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),

∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.

13.答案　

解析　当a>1时,f(x)=ax-1在0,2]上为增函数,

则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.

当0<a<1时,f(x)=ax-1在0,2]上为减函数,

又∵f(0)=0≠2,∴不满足条件.

综上可知,a=.

14.答案　

解析　g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.

当a>1时,f(x)=ax为增函数,

由题意知⇒m=,与m<矛盾.

当0<a<1时,f(x)=ax为减函数,

由题意知⇒m=,满足m<.故a=.

15.解析　(1)∵f(x)=ex-,

∴f'(x)=ex+,∴f'(x)>0对任意x∈R都成立,

∴f(x)在R上是增函数.

∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.

(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则

f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立

⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立

⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立

⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立

⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,

又≥0,∴=0,∴t=-,

∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.