数学八年级下册17.1 勾股定理优秀课后练习题

这是一份数学八年级下册17.1 勾股定理优秀课后练习题，文件包含专题177勾股定理与翻折问题重难点培优原卷版人教版docx、专题177勾股定理与翻折问题重难点培优解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

专题17.7勾股定理与翻折问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷，试题共23题，选择5道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．14
【分析】利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不变性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解决问题．
【解析】在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB=62+82=10，
由翻折的性质可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，
∴BE＝4，
∴△BDE的周长＝DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE＝8+4＝12，
故选：C．
2．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．6
【分析】设AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝8﹣a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出∠BFE＝∠AEH，从而得出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论．
【解析】设AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝8﹣a，
在Rt△AEH中，∠EAH＝90°，AE＝4，AH＝a，EH＝DH＝8﹣a，
∴EH2＝AE2+AH2，即（8﹣a）2＝42+a2，
解得：a＝3．
∵∠BFE+∠BEF＝90°，∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠BFE＝∠AEH．
又∵∠EAH＝∠FBE＝90°，
∴△EBF∽△HAE，
∴C△EBFC△HAE=BEAH=AB-AEAH=23．
∵C△HAE＝AE+EH+AH＝AE+AD＝12，
∴C△EBF=23C△HAE＝8．
故选：A．
3．如图，矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上一动点（与A不重合），其0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折，点A落在点P处，连结PC，有下列说法：
①△ABE和△PBE关于直线BE对称；
②线段PC的长有可能小于2；
③四边形ABPE有可能为正方形；
④当△PCD是等腰三角形时，PC＝2或5．
其中正确的序号是 （　　）

A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【分析】根据折叠的性质，以及圆的定义即可作出判断①②③；以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况，点P与BC的中点H重合时和点P在CD的中垂线上两种情况进行讨论，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的长．
【解析】①根据折叠的性质可得△ABE与△PBE关于直线BE对称，则①正确；
②当AE＝AB＝2时，PC的长度最小，此时P在BC上，则PC＝2，四边形ABPE是正方形，故②错误，③正确．
④以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况．
第1种情况：点P与BC的中点H重合时：CH＝CD．
即PC＝CH＝2；
第2种情况：点P在CD的中垂线上时，PD＝PC，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，

则四边形PFCK是矩形，PF＝CK＝1，PB＝2．
∴BF=3，
∴FC＝4-3，
PC2＝（4-3）2+12，
∴PC=20-83，
故④错误．
∴①③正确，
故选：B．
4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　）

A．33 B．4 C．5 D．6
【分析】根据折叠的性质得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根据等腰三角形的性质得到AF＝CF，于是得到结论．
【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（　　）

A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
【分析】连接CF，根据折叠的性质可知，CF⊥DE，得到CF⊥AB，根据勾股定理求出AF的长．
【解析】连接CF，
根据题意得，CF⊥DE，又DE∥AB，
∴CF⊥AB，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
12×AC×BC=12×AB×CF，
∴CF＝4.8，
∴AF=AC2-CF2=3.6，
故选：A．

二．填空题（共8小题）
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC＝8，AB＝10，则CD的长为　258　．

【分析】解法一：根据D，C，E，F四点共圆，可得∠CDE＝∠CFE＝∠B，再根据CE＝FE，可得∠CFE＝∠FCE，进而根据∠B＝∠FCE，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=12AB＝5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，进而得出CD的长．
解法二：由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE＝∠ECF＝∠B，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中点，求得CF＝5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，进而得出CD的长．
【解析】由折叠可得，∠DCE＝∠DFE＝90°，
∴D，C，E，F四点共圆，
∴∠CDE＝∠CFE＝∠B，
又∵CE＝FE，
∴∠CFE＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE，
∴CF＝BF，
同理可得，CF＝AF，
∴AF＝BF，即F是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CF=12AB＝5，
由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC＝∠DEC，
由∠CDE＝∠B，可得∠DEC＝∠A，
∴∠DFC＝∠A，
又∵∠DCF＝∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴CF2＝CD×CA，即52＝CD×8，
∴CD=258，
故答案为：258．

解：由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠ECF＝∠B，
∴CF＝BF，
同理可得CF＝AF，
∴F是AB的中点，
∴CF=12AB＝5，
又∵∠DFC＝∠ACF＝∠A，∠DCF＝∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴CF2＝CD×CA，即52＝CD×8，
∴CD=258，
故答案为：258．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，将∠C沿AD对折，使点C恰好落在AB边上的点E处，则BD的长度是　23　．

【分析】先求出AB，AC，利用翻折的性质得到AE＝AC，DE＝CD，设DE＝DC＝x，在RT△BED中利用勾股定理解决．
【解析】在RT△ABC中，∵AC＝3，∠B＝30°
∴AB＝2AC＝6，BC=AB2-AC2=62-32=33，
∵△ADE是由△ACD翻折，
∴AE＝AC＝3，DE＝DC，设DE＝DC＝x，
在RT△BDE中，∵BE2+ED2＝BD2，
∴32+x2＝（33-x）2，
∴x=3，
∴BD＝BC﹣CD＝33-3=23．
故答案为23．

8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为　12　．

【分析】利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不变性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解决问题．
【解析】在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
由翻折的性质可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，
∴BE＝4，
∴△BDE的周长＝DE+BD+BE＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8+4＝12，
故答案为：12．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则AD＝　35　．

【分析】由勾股定理可知BC＝8．由折叠的性质得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90˚，设DE＝DC＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BED中依据勾股定理列方程得出CD＝3，再由勾股定理即可得出AD的长．
【解析】在Rt△ACB中，由勾股定理可知AC2+BC2＝AB2，
∴BC=AB2-AC2=102-62=8．
由折叠的性质得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90˚．
设DE＝DC＝x，则BD＝8﹣x，BE＝AB﹣AE＝4．
在Rt△BED中，BE2+DE2＝BD2．
∴42+x2＝（8﹣x）2．
∴x＝3，
∴CD＝3，
∴AD=AC2+CD2=62+32=35；
故答案为：35．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为　3　．

【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AC1，BC1的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
由折叠可得AC1＝AC＝6，
∴BC1＝10﹣6＝4，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△DBC1中，42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3．
∴CD＝3，
故答案为：3．
11．如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC＝6，AB＝10，则DB＝　5　．

【分析】翻折前后，对应线段、对应角不变，据此构建直角三角形，根据勾股定理，列方程解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，根据勾股定理得：BC＝8
根据题意得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°
则BE＝4．
设DE＝x，则DB＝8﹣x．
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝16+x2解得x＝3，即DB＝5．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为　485　．

【分析】由勾股定理可求DE＝5，由三角形面积公式可求OC=125，由折叠的性质可求CF=245，由直角三角形的性质可得AF＝CF＝BF=245，即可求AB的长．
【解析】如图，设DE与CF的交点为O，

∵CD＝4，CE＝3，∠ACB＝90°，
∴DE=CD2+CE2=16+9=5，
∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，
∴OC＝OF，CF⊥DE，
∵S△CDE=12×CD×CE=12×DE×CO，
∴OC=125，
∴CF=245，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，且∠CDE+∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，
∴∠A＝∠ACF，
∴AF＝CF=245，
同理可求：BF＝CF=245，
∴AB＝AF+BF=485，
故答案为：485．
13．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF＝13，则AE的长等于　16924　．

【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG＝5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH＝∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE＝DA′＝5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
【解析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′．

在Rt△EFG中，EG=EF2-FG2=132-122=5．
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH＝90°．
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG＝90°．
∴∠DAA′＝∠GFE．
在△GEF和△DA′A中，
∠EGF=∠D=90°FG=AD∠DAA'=∠GFE，
∴△GEF≌△DA′A．
∴DA′＝EG＝5．
设AE＝x，由翻折的性质可知EA′＝x，则DE＝12﹣x．
在Rt△EDA′中，由勾股定理得：EA′2＝DE2+A′D2，即x2＝（12﹣x）2+52．
解得：x=16924．
故答案为：16924．
三．解答题（共10小题）
14．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．
（1）直接写出AB的长是　10　；
（2）求CD的长．

【分析】（1）根据在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理可以求得AB的长；
（2）根据折叠的性质和角平分线的性质，可以得到CD＝DE，AC＝AE，然后设CD＝x，利用勾股定理即可得到CD的长．
【解析】（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
故答案为：10；
（2）由折叠的性质可知，
AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，AC＝AE，
∴DC＝DE，
∵AC＝6，AB＝10，
∴AE＝6，BE＝4，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，
∵DE⊥BE，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得，x＝3，
即CD的长是3．
15．综合与实践
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为BC边上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，问是否存在△BDE是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD的长度．
探究展示：勤奋小组很快找到了点D、E的位置
如图2，作∠CAB的角平分线交BC于点D，此时∠C沿AD所在的直线折叠，点E恰好在AB上，且∠BED＝90°，所以△BDE是直角三角形
问题解决：
（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD的长度为　3　；
（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来；
（3）在（2）的条件下，求出CD的长．

【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠C＝∠BED＝90°，由勾股定理可求解；
（2）如图所示；
（3）由折叠的性质可得CF＝EF，CD＝DE，∠C＝∠FED＝90°，∠CDF＝∠EDF＝45°，可得DE＝CD＝CF＝EF，通过证明△DEB∽△CAB，可得DEAC=BDBC，即可求解．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=64+36=10，
由折叠的性质可得：△ACD≌△AED，
∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠C＝∠BED＝90°，
∴BE＝10﹣6＝4，
∵BD2＝DE2+BE2，
∴（8﹣CD）2＝CD2+16，
∴CD＝3，
故答案为：3；
（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，

（3）∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，
∴CF＝EF，CD＝DE，∠C＝∠FED＝90°，∠CDF＝∠EDF＝45°，
∴EF＝DE，
∴DE＝CD＝CF＝EF，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△CAB，
∴DEAC=BDBC，
∴DE6=8-DE8
∴DE=247，
∴CD=247
16．如图，有一个△ABC，三边长为AC＝6，BC＝8，AB＝10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）求线段CD的长．

【分析】（1）利用勾股定理得的逆定理判断得出即可；
（2）设CD＝x，则DE＝x，BD＝8﹣x在Rt△BDE中，则DE2+BE2＝BD2，进而求出即可．
【解析】（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，∵62+82＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；

（2）∵△ADE是△ADC沿直线AD翻折而成，
∴∠C＝∠DEB＝90°，CD＝DE，AC＝AE＝6，
设CD＝x，则DE＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，∵DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x2+16＝64﹣16x+x2，
∴x＝3，即CD长为3．

17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，将Rt△ABC沿AD折叠后，使点C落在AB上的点E处，求CD．

【分析】利用勾股定理先求得AB＝13，然后利用翻折的性质可求得BE＝8，然后再证明△BED∽△BCA，利用相似三角形的性质可求得ED的长．
【解析】在Rt△ABC中由勾股定理得：AB=AC2+CB2=52+122=13．
由翻折的性质可知；AC＝AE，CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°．
∴BE＝8，∠DEB＝90°．
∴∠DEB＝∠C．
又∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA．
∴EDAC=BEBC，即ED5=812．
解得：ED=103．
∴CD=103．
18．（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于　45　度．
（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【分析】（1）由折叠的性质可知∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，DC＝DE，又AD为△ABC的中线，故BD＝DC，即BD＝DE，△BDE为等腰直角三角形，可得∠EBC＝45°；
（2）由折叠的性质可知DE＝CD，AC＝AE，∠AED＝∠C＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，由BE＝AB﹣AE，设CD＝DE＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理求x即可．
【解析】（1）依题意，得∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，
又∵DC＝DE，AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，即BD＝DE，△BDE为等腰直角三角形，
∴∠EBC＝45°；

（2）令CD＝x，则DB＝4﹣x，
由于是直角三角形且是折叠，所以AB＝5，AE＝AC＝3，
DE＝x，EB＝2，因为∠AED＝∠C＝90°，
故在Rt△BDE中运用勾股定理得：
（4﹣x）2＝22+x2，
16﹣8x＝4，解得x=32，即CD=32．
19．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．

尝试解决：
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG．
①求证：PE＝DF；
②求AP的长．
【分析】（1）求出AC＝10，由折叠的性质得出△ADC≌△ADC'．则CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）①证明△DPG≌△EFG（ASA），得出PG＝FG，则可得出结论；
②由全等三角形的性质得出PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，则EF＝DP＝AD﹣AP，得出BF＝2+AP，由勾股定理可得出答案．
【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，
∴△ADC≌△ADC'．
∴CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，
即∠DC'B＝180°﹣∠AC'D＝180°﹣90°＝90°，AC＝AC'＝6，
∴BC'＝AB﹣AC'＝10﹣6＝4，
∴△DC'B为直角三角形，且∠DC'B＝90°，
∴C'D2+C'B2＝DB2，
即CD2+42＝（8﹣CD）2，
∴CD＝5；
（2）①由折叠可知△PAB≌△PEB，
∴PE＝PE，∠A＝∠E＝90°，
在△DPG和△EFG中，
∠D=∠E=90°DG=EG∠DGP=∠EGF，
∴△DPG≌△EFG（ASA），
∴PG＝FG，
∴PG+GE＝FG+GD，
即PE＝DF；
②∵△PAB≌△PEB，△DPG≌△EFG，AB＝8，AD＝6，
∴PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，
∴EF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣EF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CF2＝BF2，
即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，
∴AP=245
20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D在BC上，将△ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，求CD的长．

【分析】翻折前后，对应线段、对应角不变，据此构建直角三角形，根据勾股定理，列方程解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，BC＝8，
根据题意得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，
则BE＝4．
设CD＝DE＝x，则DB＝8﹣x．
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝16+x2，
解得x＝3，即CD＝5．
21．如图，在矩形纸片ABCD中，已知边AB＝3，BC＝5，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，且B′C′恰好经过点D．求线段CE的长度．

【分析】由矩形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质可得AB＝AB'＝3，CE＝C'E，B'C'＝BC＝5，∠B'＝∠B＝90°，∠C＝∠C'＝90°，由勾股定理可求B'D的长，可得C'D的长，由勾股定理可求CE的长．
【解析】∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°
∵将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，
∴AB＝AB'＝3，CE＝C'E，B'C'＝BC＝5，∠B'＝∠B＝90°，∠C＝∠C'＝90°
∵B'D=AD2-B'A2=4，
∴C'D＝B'C'﹣B'D＝1，
∵DE2＝C'E2+C'D2，
∴（3﹣CE）2＝CE2+1，
∴CE=43
22．如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE对折后，点A落到点P处，连接PC．
（1）下列说法正确的序号是　①②④　
①△ABE与△PBE关于直线BE对称
②以B为圆心、BA的长为半径画弧交BC于H，则点P在AH上（点A除外）
③线段PC的长有可能小于2．
④四边形ABPE有可能为正方形
（2）试求下列情况下的线段PC的长（可用计算器，精确到0.1）．
①以P、C、D为顶点的三角形是等腰三角形；
②直线CP与BE垂直．

【分析】（1）根据折叠的性质，以及圆的定义即可作出判断；
（2）①以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况，点P与BC的中点H重合时和点P在CD的中垂线上两种情况进行讨论，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的长；
②设CP⊥BE于G，则△PGB∽△BPE，△EAB∽△BGC，根据三角形的对应边的比相等即可求解．
【解析】（1）①根据折叠的性质可得△ABE与△PBE关于直线BE对称，则正确；
②根据BA＝BP＝BH可得：点P在弧AH上，则正确；
③当AE＝AB＝2时，PC的长度最小，此时P在BC上，则PC＝2，四边形ABPE是正方形，故③错误，④正确．

（2）①以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况．
第1种情况：如答图1，点P与BC的中点H重合时：CH＝CD．
即PC＝CH＝2；
第2种情况：点P在CD的中垂线上时，PD＝PC，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，
则四边形PFCK是矩形，PF＝CK＝1，PB＝2．
∴BF=3，
∴FC＝4-3，
PC2＝（4-3）2+12，
∴PC≈2.5．
②如答图2，设CP⊥BE于G，
∵BP⊥EP．
∴△PGB∽△BPE．BGBP=BPBE
∴BG•BE＝4…①
又∵∠AEB＝∠EBC，∠EAB＝∠BGC＝90°，△EAB∽△BGC
∴BEBC=AEBG，
BE•BG＝4•AE…②
由①、②得AE＝1
∴PE＝AE＝1，
∴BE=5，BG=4BE=45，
又∵PG×BE×12=PE•PB×12
∴PG=25，CG2＝42﹣（45）2
∴CG=85
∴PC＝CG﹣PG=85-25=655≈2.7．
故答案是：①②④．


23．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；
（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系．
【解析】（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B'EF＝∠BFE，
∴∠B'FE＝∠B'EF，
∴B'F＝B'E，
∴B'E＝BF．
（2）解：a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：
由（1）知B'E＝BF＝c，
由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．
在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，
∴A'E2+A'B'2＝B'E2，
∴a2+b2＝c2．