人教版八年级下册18.2.2 菱形课时作业

这是一份人教版八年级下册18.2.2 菱形课时作业，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
18.2.2菱形（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
一、选择题
1．如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A=60°，则BD的长为（　　）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（　　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）

A. 4 B. 4 C. 4 D. 28
4．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（　　）
A．16 B．16 C．8 D．8
5．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝24°， 则∠DAB等于（ ）

A. 102° B. 104° C. 106° D. 114°
6．求证:菱形的两条对角线互相垂直.
已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.

以下是排乱的证明过程:
①又BO=DO;
②∴AO⊥BD,即AC⊥BD;
③∵四边形ABCD是菱形;
④∴AB=AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A. ③→②→①→④ B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③ D. ①→④→③→②
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，则菱形ABCD的面积是（   ）

A. 24 B. 26 C. 30 D. 48
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（　　）

A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为(　　)

A. n-1 B. n C. n D. n-1
10．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（　　）

A. B. C. 1 D. 2
二、填空题
11．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．

12．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是_____．

13．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是_______．

14．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到菱形的面积为______cm2．

15．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是____．

三、解答题
16．如图，点为菱形对角线上一点，连接、．点在边上，且．
求证： ．

17．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF=∠BFE．

18．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．

19．（本小题满分10分）
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是32cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积.

20．（2017•高港区三模）在▱ABCD中，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点
①求证：△ADE≌△CBF；
②若四边形DEBF为菱形，求四边形ABCD的面积．

21．用两个全等的等边△ＡＢＣ和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论。

(2)如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在（1）中的结论还成立吗？请说明理由。























参考答案
1．A
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为12，∴菱形ABCD的边长=12÷4=3，∵∠A=60°，AD=AB，∴△ABD等边三角形，∴AB=BD，∴BD=3，故选A．
2．A
【解析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角；
矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选A．
3．C
【解析】试题解析：∵E,F分别是AB,BC边上的中点,

∵四边形ABCD是菱形，



∴菱形ABCD的周长为
故选C.
点睛：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
4．∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×4=2，∠BAC=∠BAD=×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB=2，
∴BD=2OB=4，
∴该菱形的面积是：AC•BD=×4×4
=8
5．B
【解析】解：连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°．∵∠CDF=24°，∴3∠DAC+24°=180°，则∠DAC=52°，∴∠DAB=2∠DAC=104°．故选B．

点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
6．B
【解析】根据菱形四条边相等的性质可得AB=AD，OB=OD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AO⊥BD，即可得AC⊥BD，所以正确的顺序为③→④→①→②，故选B.
7．A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
根据勾股定理，得：OB==4，
∴BD=2OB=8，
∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=24，
故选A.
8．A
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
故选A.
9．D
【解析】第1个矩形的面积为1；
第1个菱形的面积等于 ；
第2个矩形的面积等于；
第2个菱形的面积等于 ；
第3个矩形的面积等于；
第3个菱形的面积等于；
第4个矩形的面积等于;
……
依次类推，
第n个矩形的面积等于 ．
故选D.
点睛：本题考查了图形类的探索与规律，根据题意，可知从第二次起，每一次得到的菱形的面积等于上一次得到的矩形面积的；每一次得到的矩形面积等于上一次得到的菱形面积的.
10．A
【解析】∵AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
由折叠的性质可知，
∠ECO=∠BCE，
又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，
AB=AE+EB=3，
∴EB=1，EC=2，
∴BC=，
故选A.
11．
【解析】
如图所示:
∵MA′是定值, ∴CA′长度取最小值时,即A'在MC上时,
过点M作MF⊥CD交CD的延长线于点F,
在边长为4的菱形ABCD中, ∠A=60°,M为AD中点,
,,
,
,
,
,
.
因此，本题正确答案是:.
12．80°
【解析】∵正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
又∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=360°-4∠B+∠EAF，
又∵在正△AEF中，∠EAF=60°，在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180°，
∴360°-4∠B+60°+∠B=180°，
解得：∠B=80°.
点睛：本题解题有两个要点：（1）由菱形的对角相等得到∠B=∠D，结合AB=AE，AD=AF把∠BAE和∠DAF都用含“∠B”的式子表达出来；（2）由菱形的邻角互补得到：∠BAD+∠B=180°，结合（1）中的结论和∠EAF=60°就可得到关于“∠B”的方程，解方程即可求得∠B的度数.
13．
【解析】解：如图，设CD与AB1交于点O，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，∴S△ABB1=BA•AB1=2，S△ABE=1，∴CB1=2BE﹣BC=，∵AB∥CD，∴∠OCB1=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B1=∠B=45°，∴CO=OB1=，∴S△COB1=OC•OB1=，∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（）=．

点睛：此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用．
14．10
【解析】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，所以．菱形的面积=4×5÷2=10cm2．故答案为：10．
点睛：本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而出错．
15．
【解析】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB．
在△ABE和△ACF中，∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，∴S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣×× =．
故答案为： .

点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键．
16．见解析
【解析】试题分析：先证明≌，从而可得∠DAP=∠DCP，PA=PC，再由∠AEP=∠DCP，可得∠DAP=∠AEP，从而可得PA=PE，继而证得PC=PE．
试题解析：∵四边形是菱形，
∴， ，
又因为，所以≌（），
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴．

17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；
（2）根据△ADE≌△CDF得到AE=CF，结合菱形的四条边相等即可得到结论．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C，∵DE⊥BA，DF⊥CB，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDE，∵AD=CD，∠A=∠C，∠AED=∠CFD=90°，∴△ADE≌△CDE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．
点睛：本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等．
18．(1)证明见解析；（2）100°.
【解析】试题分析：根据菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，利用SAS判定△ABE≌△ADF；由△ABE≌△ADF可得∠BAE=∠DAF=25°，从而可推出∠EAF的度数，根据平行线的性质可得到∠AHC的度数．
试题分析：（1）证明：菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF．
在△ABE和△ADF中AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF．
（2）菱形ABCD中∠BAD=∠BCD=130°，
由（1）得△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=25°．
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF=130°﹣25°﹣25°=80°．
又∵AE∥CG，
∴∠EAH+∠AHC=180°．
∴∠AHC=180°﹣∠EAH=180°﹣80°=100°．
∴∠AHC=100°．
19．(1).BO=4cm,BD=8cm(2) 32cm2.
【解析】（1）菱形ABCD的周长为32cm，
∴菱形的边长为32÷4=8cm
∵∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），
∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8cm，
∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，
∴BO=4cm，∴BD=8cm；
（2）菱形的面积： AC•BD=×8×8=32（cm2）
20．（1）证明见解析；（2）4 ．
【解析】试题分析：
试题解析：(1)根据平行四边形性质，可得三角形对应角相等，对应边相等，SAS易得△ADE≌△CBF.
(2)连接BD, ABD是30°的直角三角形，所以可求得ABD的面积，因为E,F是中点，所以所以利用等面积法，可知平行四边形的面积.
试题解析：
①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∵AE=EB，DF=FC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
,
∴△ADE≌△CBF，
②连接BD，
由①有AE=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=EB=AE，
∴△ADB是直角三角形，
在RT△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=BC=2，AB=4，
∴BD==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD=2•S△ADB=2××2×2=4 ．

21．（1）BE=CF;（2）结论仍成立
【解析】试题分析：（1）利用公共角和菱形的性质得到边和角相等，利用ASA证明△ABE△ACF,BE=CF. (2) 根据（1）的证明方法，证明△ACE和△ADF全等, BE=CF.
试题解析：
解：（1）BE=CF,
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF,
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∴△ABE△ACF（ASA）．
∴BE=CF,
（2）BE=CF仍然成立．
证明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，
∴∠ACE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，
,
∴△ACE△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF.
点睛：1.证明三角形全等的方法：
（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS).
（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) .
（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS). 
（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) .
注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写 ，其中证明直角三角形所有5种方法都可以用；一般三角形SSA不能证明三角形的全等.
2.利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
3.本题也利用了公共角的技巧：D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD≌△ACE.
由图可知，∠DAC=∠EAB,∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, ∠1 =∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等.

4.本题是探索性问题，所以每一问，虽然难度层层递进，但核心解题原理都是一致的，所以此类题需要找到每一问联系的的纽带.