初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定随堂练习题

18.1.2平行四边形的判定（2）同步练习

姓名：__________班级：__________学号：__________

一 、选择题

1.如图，△ABC中，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（　　）

A．4 B．3 C．2 D．5

2.一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（　　）

A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm

3.如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连结EF．若EF=3，则CD的长为（  ）

A．2       B．3         C．4         D．6

4.如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（　　）   

A．3 B．4C．4.8D．5

5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

6.如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A． B．1 C． D．7

7.一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 长为（   ）

A． B． C． D．

8.如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6

9.如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD

二 、填空题

10.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是　   　．

11.如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高为0.6米，是的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度等于米.   

12.在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为.

13.如图所示，点E、D分别在△ABC的边AB、BC上，CE和AD交于点F，若S△ABC=1，S△BDE=S△DCE=S△ACE，则S△EDF=　　．

14.在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为　   　．

15.如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为　   　．

三 、解答题

16.已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

17.如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

18.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=4，求AB的长.

19.如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF

（1）求证：BF=DC；

（2）求证：四边形ABFD是平行四边形．

20.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

答案解析

一 、选择题

1.【分析】根据三角形的中位线的概念可知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质解答即可．

解：∵AD=BD，AE=EC，

∴DE=BC=3，

故选：B．

2.【分析】由三角形的中位线定理可知，以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．

解：如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，

∵原三角形的周长为36cm，

则新三角形的周长为=18（cm）．

故选C．

3.D

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD；

又∵E、F分别是AD、BD的中点，

∴EF是△DAB的中位线，

∴EF=AB，

∴EF=CD=3，

∴CD=6．

故选D．

4.【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．   

解：∵AB=10，AC=8，BC=6，   

∴BC2+AC2=AB2，   

∴△ABC是直角三角形，   

∵DE是AC的垂直平分线，   

∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，   

∴DE=3，   

∴AD=DC==5．   

故选：D．   

5.【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．

解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC===10，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE=BC=3，

∴∠EFC=∠FCM，

∵∠FCE=∠FCM，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EC=EF=AC=5，

∴DF=DE+EF=3+5=8．

故选B．

6.【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．

解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，

∴△AGC是等腰三角形，

∴AG=AC=3，GF=CF，

∵AB=4，AC=3，

∴BG=1，

∵AE是中线，

∴BE=CE，

∴EF为△CBG的中位线，

∴EF=BG=，

故选：A．

7.【分析】第一折叠可得A'D=AD=A'E=2,则可得A'C'=A'C=1，即可得GC'是△DEA'的中位线，则GG=DE，求出DE即可.           

解：由折叠可得，A'D=AD=A'E=2,

则A'C'=A'C=1，

则GC'是△DEA'的中位线，

而DE=,

则GG=DE=。

故选A．  

8.【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．

解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，

∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，

∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，

同理可得△AEG的面积=，

△BCE的面积=×△ABC的面积=6，

又∵FG是△BCE的中位线，

∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，

∴△AFG的面积是×3=，

故选：A．

9.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；

根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；

由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；

在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．

解：∵AB=AC，∠CAB=45°，

∴∠B=∠ACB=67.5°．

∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，

∴∠ACD=45°，AD=DC，

∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；

∵E、F分别是BC、AC的中点，

∴FE=AB，FE∥AB，

∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．

∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，

∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，

∵AB=AC，

∴FE=FD，

∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，

∴∠FDE=∠FDC，

∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；

∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，

∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；

∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，

∴AC=CD，

∵AB=AC，

∴AB=CD，故D正确，不符合题意．

故选C．

二 、填空题

10.【分析】根据三角形中位线定理得到EP=AD，FP=BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，

∴EP=AD，

同理，FP=BC，

∵AD=BC，

∴PE=PF，

∵∠FPE=100°，

∴∠PFE=40°，

故答案为：40°．

11.【分析】判定EF是的中位线

解：∵，∴.   

∵是的中点，∴是的中位线.   

∵米，∴米.

12.【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.

解：∵四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴EH=FG=BD，EF=HG=AC，

∴四边形EFGH的周长为：（EH+FG）+（EF+HG）=×2BD+×2AC=BD+AC=8+6

=14．故答案为14．

13.【分析】根据S△BDE=S△DCE可得点D是BC的中点，再求出S△BCE=2S△ACE，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，从而求出点E是AB的三等分点，取BE的中点G，连接DG，根据三角形的中位线平行于第三边可得DG∥CE，然后确定F是AD的中点，再根据等底等高的三角形的面积相等解答即可．

解：∵S△BDE=S△DCE，

∴点D是BC的中点，

∵S△BDE=S△DCE=S△ACE，

∴S△BCE=S△BDE+S△DCE=2S△ACE，

∴点E是AB的三等分点，

取BE的中点G，连接DG，

根据三角形的中位线定理，DG∥CE，

∴EF是△ADG的中位线，

∴F是AD的中点，

∵S△ABC=1，

∴S△ABD=×1=，

S△ADE=S△ABD=×=，

S△EDF=S△ADE=×=．

故答案为：．

14.【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．

【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．

解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，

∴DM=AB=3，

∵ME=DM，

∴ME=1，

∴DE=DM+ME=4，

∵D是AB的中点，DE∥BC，

∴BC=2DE=8，

故答案为：8．

15.【分析】记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，…，求出s1，s2，s3，探究规律后即可解决问题．

解：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，…，

∵s1=•s=•s，

s2=•s=•s，

s3=•s，

∴sn=•s=••2•2=，

故答案为．

三 、解答题

16.【分析】连接BD，再利用三角形中位线定理可得FG∥BD，FG=BD，EH∥BD，EH=BD．进而得到FG∥EH，且FG=EH，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论．

证明：连结AC，在△DAG中，

∵  AH=HD，CG=GD，

∴  HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．

同理EF∥AC，EF=AC．

∴  HG∥EF，且HG=EF．

17.【分析】 根据三角形中位线的性质可得DE∥BF，DE=AB，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ADEF的形状．

 解：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，

∴DE∥BF，DE=AB，

∵AF=AB，

∴DE=AF，

∴四边形ADEF是平行四边形．

18.【分析】过D作DG∥AB交BC于G，利用三角形中位线性质定理即可.

解：过D作DG∥AB交BC于G，∵AD∥BC，AB∥DG，

∴四边形ABGD是平行四边形，∴AB=DG.

∵EF∥AB，∴EF∥DG，∵DE=CE，∴GF=CF.

∴EF是△CDG的中位线，∴EF=DG.

∴DG=2EF=8，即AB=8.

19.【分析】（1）连接DB，CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形CDBF是平行四边形，进而可得CD=BF；

（2）由（1）可得CD∥FB，再利用三角形中位线定理可得DF∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论．

证明：（1）连接DB，CF，

∵DE是△ABC的中位线，

∴CE=BE，

∵EF=ED，

∴四边形CDBF是平行四边形，

∴CD=BF；

（2）∵四边形CDBF是平行四边形，

∴CD∥FB，

∴AD∥BF，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴DF∥AB，

∴四边形ABFD是平行四边形．

20.考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；

证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，

（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；

解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；

（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；

证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．

（1）证法一：

如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF．

证法二：

如答图1b，延长BM交EF于D，

∵∠ABC=∠CEF=90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M是AF的中点，

∴AM=MF，

∵在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB∥CF；

（2）解法一：

如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=AG．

∵CG=CF=a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．

解法二：

∵CB=a，CE=2a，

∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，

∵△ABM≌△FDM，

∴BM=DM，

又∵△BED是等腰直角三角形，

∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=BE=a；

（3）证法一：

如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．

在△ACG与△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．

证法二：

如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，

∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，

∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM，

∴M是AF的中点，

∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，BM=DM，

∴AB=BC=DF，

∵在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS），

∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM，

∴BM=ME=BD，

故BM=ME．