华师大版数学 七年级下册 全册教案

这是一份七年级下册本册综合教学设计，共257页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。


目录




第6章 一元一次方程

3
1 6.1 从实际问题到方程

3
2 6.2.1.1 等式的性质

8
3 6.2.1.2 方程的简单变形

12
4 6.2.2.1一元一次方程的解法（1）

17
5 6.2.2.2 一元一次方程的解法（2）

22
6 6.2.2.3 一元一次方程的实际应用

27
7 6.3.1 体积和面积问题

34
8 6.3.2 储蓄和利润问题

39
9 6.3.3 行程和工程问题

44
10 6.4章末复习

50
第7章 一次方程组

57
1 7.1二元一次方程组和它的解

57
2 7.2.1代入消元法

62
3 7.2.2加减消元法

68
4 7.2.3选择恰当的方法解二元一次方程组

74
5 7.3三元一次方程组及其解法

82
6 7.4实践与探索

87
7 7.5章末复习

92
第8章 一元一次方程

99
1 8.1认识不等式

99
2 8.2.1.不等式的解集

104
3 8.2.2.不等式的简单变形

108
4 8.2.3.1一元一次不等式的解法（1）

113
5 8.2.3.2一元一次不等式的解法（2）

118
6 8.2.3.3列一元一次不等式解决实际问题

123
7 8.3.1解一元一次不等式组（1）

127
8 8.3.2解一元一次不等式组（2）

133
9 8.3.3 列一元一次不等式组解决实际问题

140
10 8.4章末复习

147
第9章 多边形

155
1 9.1.1.1三角形的概念

155
2 9.1.1.2三角形的高、角平分线和中线

160
3 9.1.2.三角形的内角和与外角和

165
4 9.1.3.三角形的三边关系

171
5 9.2 多边形的内角和与外角和

176
6 9.3 用正多边形铺设地面

183
7 9.4章末复习

189
第10章 轴对称、平移与旋转

196
1 10.1.1.生活中的轴对称

196
2 10.1.2.轴对称的再认识

202
3 10.1.3.画轴对称图形

208
4 10.1.4.设计轴对称图案

214

5 10.2.1.图形的平移
6 10.2.2.平移的特征
7 10.3.1.图形的旋转
8 10.3.2.旋转的特征
9 10.3.3.旋转对称图形
10 10.4中心对称
11 10.5图形的全等
12 10.6章末复习
218
222
226
232
236
241
247
252


第 6 章 一元一次方程


6.1 从实际问题到方程
【知识与技能】
1. 掌握如何设未知数.
2. 掌握如何找等式来列方程.
3. 了解尝试法、代入法寻找方程的解.
【过程与方法】
初步建立方程能解决实际问题的观念.
【情感态度】
通过本节的教学，应该使学生体会到数学与实际生活的密切联系，认识到数学的价值.
【教学重点】
1. 确定所有的已知量和确定“谁”是未知数 x.
2. 列方程.
【教学难点】
找出问题中的相等关系.



一、 情境导入，初步认识
在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：
问题 某校初一年级 328 名师生乘车外出春游，已有 2 辆校车可乘坐 64 人，
还需租用 44 座的客车多少辆？
这个问题用数学中的什么方法来解决呢？ 解：(328-64)÷44
=264÷44
=6 (辆)
答：还需租用 44 座的客车 6 辆.请大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？

【教学说明】通过实际问题的引入，让学生明白数学的重要性. 二、思考探究，获取新知
1. 在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？ 含有未知数的等式叫方程.
2. 讲解导入中的问题：
根据小学所学的列方程，按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数 x
的方法来解决这个问题.
分析：设需租用客车 x 辆，则客车可以乘坐 44x 人，加上校车上的 64 人， 就是 328 人.列方程为 44x＋64=328.
解：设还需租用 44 座的客车 x 辆，则共可乘坐 44x 人.根据题意列方程得
44x+64=328
设问：你们谁会解这个方程？请大家自己试一试.
【教学说明】初步建立方程能解决实际问题的观念，进入下一步的学习.
3. 在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是 13 岁，就问同学：“我今年
45 岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？” 方法一：我们可以按年龄的增长依次去试.
1 年后，老师的年龄是 46 岁，同学的年龄是 14 岁，不是老师年龄的三分之一；
2 年后，老师的年龄是 47 岁，同学的年龄是 15 岁，也不是老师年龄的三分之一；
3 年后，老师的年龄是 48 岁，同学的年龄是 16 岁，恰好是老师年龄的三分之一.
方法二：也可以用列方程的办法来解.
解：设 x 年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x 年后同学的年龄是(13+x)岁，老师年龄是(45+x)岁.
根据题意，列出方程得
13+x=1/3(45+x)
这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将 x
＝1，2，3，4，…代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样

得到方程的解为 x＝3 .
【归纳结论】使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解.
4. 由上面的两个问题，你能总结出列方程解决实际问题的步骤吗？
【归纳结论】设未知数 x；找出相等关系； 根据相等关系列方程.
【教学说明】培养学生利用方程的思想解决问题的习惯，找出实际问题中的等量关系，这是解决这类问题的关键.
三、运用新知，深化理解
1. 下列各式中，是方程的是( ) A.x-2=1
B.2x+5
C.x+y＞0 D.3y
2. 下列方程中，解为 x=1 的是( ) A.5/6x=6/5
B.-0.7x=-0.7 C.-1/4x=1/4 D.3x=1/3
3. 下列四个数中，是方程 x+2=0 的解为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
4. 语句“x 的 3 倍比 y 的 1/2 大 7”用方程表示为： .
5. 一根细铁丝用去 2/3 后还剩 2m，若设铁丝的原长为 xm，可列方程为
.
6. 甲、乙两车间共生产电视机 120 台，甲车间生产的台数是乙车间的 3 倍少

16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程.)？
7. 一个水缸原来有水 8 升，水缸总共可以装水 35 升，小明每次往缸里加水 9
升，需要加水多少次才能加满(列出方程，不解方程.)？
8. 检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解：
2(x+2)-5(1-2x)=-13,{x=-1,1}
【答案】
1.A
2.B
3.B
4.3x=1/2y+7
5.x-2/3x=2
6. 分析：等量关系是：甲车间生产的台数+乙车间生产的台数＝电视机总台
数
解：设乙车间生产的台数为 x 台，则甲车间生产的台数是(3x-16) 根据题意列方程得 x+(3x-16)=120
7. 分析：设需要加水 x 次才能加满水，共加水 9x 升，加上原来缸里的水 8
升，就是满缸 35 升水.可以得出方程 9x＋8＝35.
解：设需要加水 x 次才能加满水，根据题意列方程得
9x＋8＝35
8. 解：将 x=-1 代入方程的两边得左边=2(-1+2)-5［1-2×(-1)］=-13
右边=-13
因为左边=右边，
所以 x=-1 是方程的解.
将 x=1 代入方程的两边得左边=2(1+2)-5(1-2×1)=11
右边=-13
因为左边≠右边，
所以 x=1 不是方程的解.

四、师生互动，课堂小结
这节课主要讲了下面两个问题：
1. 复习了用列方程的方法来解应用题；
2. 检验一个数是否为方程的解的方法.



1. 布置作业:教材第 4 页“习题 6.1”中第 1 、3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从探究到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法.整个教学过程突出了三个注重： ①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣. ②注重师生间、同学间的互动协作、共同提高.③注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法， 灵活应用.

6.2 解一元一次方程
1. 等式的性质与方程的简单变形


第 1 课时 等式的性质
【知识与技能】
1. 借助天平的操作活动，发现并理解等式的性质.
2. 应用等式的性质进行等式的变换.
【过程与方法】
经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力.
【情感态度】
让学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心.
【教学重点】
等式的性质和运用.
【教学难点】
引导学生发现并概括出等式的性质.



一、 情境导入，初步认识
同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事.
小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量.
最常见的方法是用天平测量一个物体的质量.
我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为 x）.首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量.
【教学说明】从学生熟悉的生活场景引入，既让学生感到亲切，又能激起学生学习和探究新知的欲望，同时又很自然的引出了课题.让学生从中体验学习与生活的紧密联系.
二、思考探究，获取新知



请同学来做这样一个实验：如下图，天平处于平衡状态，它表示左右两个盘内物体的质量 a、b 是相等的.
得到：a=b.


1. 若在平衡天平两边的盘内都添上（或都拿去）质量相等的物体，则天平仍然平衡.



得到：a+c=b+c a-c=b-c


2. 若把平衡天平两边盘内物体的质量都扩大（或缩小）相同的倍数，则天平仍然平衡.
得到：ac=bc（c≠0） a/c=b/c(c≠0)
观察上面的实验操作过程，回答下列问题：
（1） 从这个变形过程，你发现了什么一般规律？
（2） 这几个等式两边分别进行什么变化？等式有何变化？
（3） 通过上面的操作活动，你能说一说等式有什么性质吗？
【教学说明】通过操作途径来发现等式的加减性质，将抽象的算式具体化， 降低学生的认知难度，提高课堂效率.同时，通过操作活动更加吸引学生的注意力，调动学生参与课堂的积极性.
【归纳结论】等式的基本性质：
性质 1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立
.如果 a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c.
性质 2：等式两边都乘或除以同一个数或式子（除数不为 0），等式仍然成立.
如果 a=b，那么 ac=bc，a/c=b/c(c≠0).
三、运用新知，深化理解

1. 下列结论正确的是( ) A.若 x+3=y-7,则 x+7=y-11
B.若 7y-6=5-2y,则 7y+6=17-2y
C.若 0.25x=-4,则x=-1
D.若 7x=-7x,则 7=-7
2. 下列说法错误的是( ) A.若 x/a=y/a(a≠0),则 x=y
B.若 x2=y2,则-4x2=-4y2 C.若-1/4x=6,则x=-3/2 D.若 6=-x,则 x=-6
3. 已知等式 ax=ay,下列变形不正确的是( ) A.x=y
B.ax+1=ay+1 C.ay=ax
D.3-ax=3-ay
4. 下列说法正确的是( )
A.等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式
C.等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式
D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式
5. 在方程的两边都加上 4，可得方程 x+4=5,那么原方程是 .
6. 在方程 x-6=-2 的两边都加上 ，可得 x= .
7. 方程 5+x=-2 的两边都减 5 得 x= .
8.如果-7x=6，那么 x＝ .
9.只列方程，不求解.
某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产
20 套服装，就比订货任务少 100 套，如果每天平均生产 32 套服装，就可以超过
订货任务 20 套，问原计划几天完成？

【答案】
1.B 2.C 3.A 4.D
5.x=1 6. 6 4 7.-7 8.-6/7
9.解：设原计划 x 天完成.
20x+100=32x-20
四、师生互动，课堂小结
通过及时的练习对所学新知进行巩固和深化，在练习中，要求学生说出计算的依据，帮助学生巩固等式性质的同时，也提升了说理能力.

1. 布置作业:教材第 5 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课教学中，充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、创造的机会，使他成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力.通过两次实践活动，学生亲自参与了等式的性质发现的过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高.



第 2 课时 方程的简单变形
【知识与技能】
1. 理解并掌握方程的两个变形规则；
2. 使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；
3. 运用方程的两个变形规则解简单的方程.
【过程与方法】
通过对解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法.
【情感态度】
通过本节的教学，应该达到使学生体会数学的价值的目的.
【教学重点】
运用方程的两个变形规则解简单的方程.
【教学难点】
运用方程的两个变形规则解简单的方程.



一、 情境导入，初步认识
1. 等式有哪些性质？
2. 在 4x-2=1+2x 两边都减去 ，得 2x-2=1，两边再同时加上 ，得
2x=3，变形依据是 .
3.在 1/4x-1=2 中两边乘以 ，得 x-4=8，两边再同时加上 4，得 x=12， 变形依据分别是 .
【教学说明】对等式的性质及利用性质进行变形的复习，为方程的变形打好基础.
二、思考探究，获取新知
1. 方程是不是等式？
2. 你能根据等式的性质类比出方程的变形依据吗？
【归纳结论】方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程

的解不变.
方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变. 3.你能根据这些规则，对方程进行适当的变形吗？
4.解下列方程： (1)x-5=7；
(2)4x=3x-4.
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程 x-5=7 的两边同时加上 5，即 x
-5+5=7+5，可求得方程的解.
(2) 利用方程的变形规律， 在方程 4x=3x-4 的两边同时减去 3x ，即


4x-3x=3x-3x-4,可求得方程的解.
像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.
【教学说明】(1)上面两小题方程变形中，均把含未知数 x 的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边.
(2)移项需变号. 5.解下列方程：
(1)-5x=2； (2)3/2x=1/3；
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程-5x=2 的两边同除以-5，即-5x÷( -5)=
2÷( -5) 可求得方程的解.
(2)利用方程的变形规律，在方程 3/2x=1/3 的两边同除以 3/2 或同乘以 2/3， 即 3/2x÷3/2=1/3÷3/2( 或 3/2x×2/3=1/3×2/3) ，可求得方程的解
.解: (1)方程两边都除以-5，得x=-2/5.
(2)①方程两边都除以 3/2，得x=1/3÷3/2=1/3×2/3 ，

即 x=2/9.②方程两边同乘以 2/3，得x=1/3×2/3=2/9. 即 x=2/9.
【归纳结论】①上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为 1” .
②上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到 x=a 的形式.6. 根据上面的例题，你能总结出解一元一次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】解方程的一般步骤是：①移项；②合并同类项；③系数化为
1.
三、运用新知，深化理解
1. 教材第 7 页例 3.
2. 下列方程变形错误的是( ) A.2x+5=0 得 2x=-5
B.5=x+3 得 x=-5-3 C.-0.5x=3 得x=-6 D.4x=-8 得 x=-2
3. 下列方程求解正确的是( ) A.-2x=3,解得 x=-2/3
B.2/3x=5, 解得 x=10/3 C.3x-2=1, 解 得 x=1 D.2x+3=1,解得 x=2
4.方程-1/3x=2 两边都 ，得 x= .
5.方程 5x=6 的两边都 ,得 x= .
6.方程 3x+1=4 的两边都 得 3x=3.
7.方程 2y-3=-1 的两边都 得 2y=2.
8. 下面是方程 x+3=8 的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？
(1)x+3=8=x=8-3=5；
(2)x+3=8，移项得 x=8+3，所以 x=11； (3)x+3=8 移项得 x=8-3 ， 所以 x=5.
9. 解下列方程
.(1)2x∶3=6∶5； (2)1.3x +1.2-2x =1.2-2.7x.

(3)3y-2=y+1+6y
10. 方程 2x＋1＝3 和方程 2x-a＝0 的解相同，求 a 的值.
11. 已知 y1=3x+2，y2=4-x.当 x 取何值时，y1 与 y2 互为相反数？
【教学说明】通过练习，使学生熟练的利用方程的变形规则解方程.
【答案】
2.B 3.C 4.乘以-3
6.减 1 7.加 3
8. 解：(1)这种解法是错的.变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等， 所以解方程时不能连等；
(2) 这种解法也是错误的，移项要变号； (3)这种解法是正确的.
9. 分析：把方程中的比先化为分数，再解方程.
解：(1) 2x∶3=6∶5，2x/3=6/5，系数化为 1x=6/5÷2 /3= 6/5×3 /2= 9/5. (2) 1.3x+1.2-2x=1.2-2.7x，
移项 1.3x-2x+2.7x=1.2-1.2，
合并同类项 2x=0， 系数化为 1x=0÷2=0. (3)3y-2=y+1+6y，
合并同类项 3y-2=7y+1， 移 项 3y-7y=1+2，
合并同类项-4y=3，
系数化为 1y=3÷( -4)=3 ×( -1/4) =-3/4 .
10.解：2x＋1＝3
2x＝3-1
2x＝2 x＝1
因为，方程 2x＋1＝3 和方程 2x-a＝0 的解相同所以，把 x＝1 代入 2x-a＝0 中得：
2×1 -a＝0

2-a＝0
-a＝-2 a＝2
即，a 的值为 2.
11.分析：y1 与 y2 互为相反数，即 y1+y2=0.本题就转化为求方程 3x+2+4-x=0
的解.
解：由题意得：3x+2+4-x=0，3x-x=-4-2，x=-3. 所以当 x= -3 时，y1 与 y2 互为相反数.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.



1. 布置作业:教材第 9 页“习题 6.2.1”中第 1 、2 、3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课是在等式基本性质的基础上总结出方程的变形规则，在根据方程的变形规则，通过移项、系数化为 1 来解简单的方程.学生掌握的较好.

2.解一元一次方程


第 1 课时 一元一次方程的解法（1）
【知识与技能】
1. 一元一次方程的定义.
2. 了解如何去括号解方程.
3. 了解去分母解方程的方法.
【过程与方法】
通过对方程变形的分析，探索求解简单方程的规律.
【情感态度】
培养学生体会数学价值的目的.
【教学重点】
1. 一元一次方程的定义；
2. 解一元一次方程的步骤.
【教学难点】
灵活使用变形解方程.



一、 情境导入，初步认识
上两堂课讨论了一些方程的解法，那么那些方程究竟是什么类型的方程呢？ 先看下面几个方程：每一行的方程各有什么特征？（主要从方程中所含未知数的个数和次数两方面分析）
4+x=7；3x+5=7-2x；y-2/6=y/3+1； x+y=10；x+y+z=6；x2 -2x-3=0； x3-1=0.
【教学说明】让学生观察这几个方程，使学生初步感知一元一次方程特别之
处.
二、思考探究，获取新知
1. 比较一下，第一行的方程（即前 3 个方程）与其余方程有什么区别？（学

生答）
可以看出，前一行方程的特点是：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是一次的.“元”是指未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数，根据这一命名方法，上面各方程是什么方程呢？（学生答）
【归纳结论】只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程.
【教学说明】谈到次数的方程都是指整式方程，即方程的两边都是整式.像
2x=3 这样就不是一元一次方程.
2. 上两堂课我们探讨的方程都是一元一次方程，并且得出了解一元一次方程的一些步骤.下面我们继续通过解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法.
解方程：①3(x-2)＋1=x-(2x-1)
分析：方程中有括号，先去括号，转化成上节课所讲方程的特点，然后再解方程.
解：去括号 3x-6+1=x-2x+1， 合并同类项 3x-5=-x+1，
移 项 3x+x=1+5， 合并同类项 4x=6，
系数化为 1 x=1.5.
②解方程：(x-3)/2-(2x+1)/3=1
分析：只要把分母去掉，就可将方程化为上节课的类型.12 和 13 的分母为 2
和 3，最小公倍数是 6，方程两边都乘以 6，则可去分母.
解：去分母 3(x-3)-2(2x+1)= 6， 去括号 3x-9-4x-2=6，
合并同类项 -x-11=6， 移项 -x=17,
系数化为 1 x=-17.
回顾上面的解题过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤？
【归纳结论】解一元一次方程通常的一般步骤为：去分母，去括号，移项，

合并同类项，系数化为 1.
三、运用新知，深化理解
1.下列式子是一元一次方程的有 .




（1）32x+22-12x （2）x=0 .（3）1/x=1 （4）x2+x-1=0 (5)x-x=2 2.解下列方程

3.y 取何值时，2(3y +4)的值比 5(2y -7)的值大 3？
4.当 x 为何值时，代数式(18+x)/3 与 x-1 互为相反数？
【教学说明】通过习题练习来巩固提高.
【答案】
1.(2)
2.(1)解：2x-4-12x+3=9-9x
-10x-1=9-9x
-10x+9x=1+9
-x=10 x=-10
(2)解：-7（1-2x）=3×2（3x+1）
-7+14x=18x+6
-4x=13
x=-13/4
(3) 分析：方程中有多重括号，那么先去小括号，再去中括号，最后去大括号.






8x+20=2(4x+3)-(2-3x)
8x+20=8x+6-2+3x
8x-8x-3x=6-2-20
-3x=-16
x=16/3.
(5)解： 3（2-x）-18=2x-（2x+3）， 6-3x-18=-3
-3x=9 x=-3.
(6)解：6x-3（x-1）=12-2（x+2）
6x-3x+3=12-2x-4
6x-3x+2x=12-4-3
5x=5 x=1.
3. 分析：这样的题列成方程就是 2(3y+4)-5(2y -7)= 3，求 y 即可.
解：2(3y+4)-5(2y-7)= 3
去括号 6y +8-10y+35=3 合并同类项-4y+43=3 移项 -4y=-40
系数化为 1 y=10.
答：当 y =10 时，2(3y +4)的值比 5(2y-7)的值大 3.
4. 分析：两个数如果互为相反数，则它们的和等于 0，根据相反数的意义列出以 x 为未知数的方程，解方程即可求出 x 的值.



为相反数.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 11 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



从学生的作业中反馈出：对去分母的第一步还存在较大的问题，是不是说明过程的叙述不太清楚，部分学生模棱两可，自己做的时候就会暴露出不懂的，这也提醒我今后的教学中在关键的知识点上要下“功夫”，切不可轻易的解决问题
（想当然）.备课时应该多多思考学生的具体情况，然后再修改初备的教案，尽量完善，尽量完美.



第 2 课时 一元一次方程的解法（2）
【知识与技能】
掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程.
【过程与方法】
通过练习使学生灵活的解一元一次方程.
【情感态度】
发展学生的观察、计算、思维能力.
【教学重点】
使学生灵活的解一元一次方程.
【教学难点】
使学生灵活的解一元一次方程.



一、 情境导入，初步认识
通过前面的学习，得出了解一元一次方程的一般步骤，任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成 x=a 的形式.因此当一个方程中的分母含有小数时，应首先考虑化去分母中的小数，然后再求解这个方程.

【教学说明】复习解一元一次方程的步骤，为本节课的教学作准备，并引出本节课的内容.
二、思考探究，获取新知
1. 解方程



分析：此方程的分母中含有小数，通常将分母中的小数化为整数，然后再按解方程的一般步骤求解.

利用分数的基本性质，将方程化为：



去分母，得
6(9x＋2)-14(3＋2x)-21(3x＋14)=42，
去括号，得
54x+12-42-28x-63x-294=42，
移项，得
54x-28x-63x＝42-12＋42+294，
合并同类项，得
-37x=366，
系数化为 1 得
x=-366/37.
【教学说明】解此方程时一定要注意区别：将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数， 分数的值不变，所以等号右边的 1 不变.去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 42，所以等号右边的 1 也要乘以 42，才能保证所得结果仍成立.
2. 解下列方程：
(1)3(2x-1)＋4=1-(2x-1)；



分析：我们已经学习了解方程的一般步骤，具体解题时，要观察题目的结构特征，灵活应用步骤.
第(1)小题中可以把(2x-1)看成一个整体，先求出(2x-1)的值，再求 x 的值； 第(2)小题，应注意到分子都是 4x+3，且 1/6+1/2+1/3=1，所以如果把 4x+3
看成一个整体，则无需去分母.
解：(1)3(2x-1)+4=1-(2x-1) ，
3(2x-1)＋(2x-1)=1-4，
4(2x-1)=-3，
2x-1=-3/4，
2x=1/4， x=1/8.



(1/6+1/2+1/3)(4x+3)=1；
4x+3=1；
4x=-2； x=-1/2.
【教学说明】解方程时，要注意观察分析题目的结构，根据具体情况合理安排解题的步骤，注意简化运算，这样可以提高解题速度，培养观察能力和决策能力.
三、运用新知，深化理解

【教学说明】强调学生在解题之前一定要先观察方程的特点，再选择适当的方法，是先去中括号、还是去小括号；是先去分母、还是先去括号等.
【答案】1.分析：这个方程的分母含有小数，可依据分数的基本性质，先把分母化为整数再去分母后求解.
解：原方程可化为



去分母，得 3（4x+21）-5（50-20x）= 9， 去括号，得 12x+63-250+100x=9，
移项，得 12x +100x=9-63+250， 合并同类项，得 112x=196，

系数化为 1，得 x=196/112=7/4. 2.解：原方程可化为

去分母得 40x+60=5（18-18x）-3（15-30x），去括号得 40x+60=90-90x-45+90x，
移项、合并得 40x=-15， 系数化为 1 得 x=-3/8.
3.解：去中括号得 4（x-1/2）+1=5x-1， 去小括号得 4x-2+1=5x-1，
移项、合并得 x=0. 4.解：去小括号得
1/3(2x-1/3-2/3)=2,
方程两边同乘以 3 得 2x-1=6,
移项得 2x=7,
系数化为 1 得 x =7/2. 5.解：依题意，得

去分母得 5（2k+1）=3（17-k）+45， 去括号得 10k+5=51-3k+45，
移项得 10k+3k=51+45-5， 合并同类项得 13k=91， 系数化为 1 得 k=7，

分析：由方程 2(2x-3)=1-2x 可求出它的解为x=7/6，因为两个方程的解相同， 只需把 x =7/6 代入方程 8-k=2(x+1)中即可求得 k 的值.
解：由 2(2x-3)=1-2x 得
4x-6=1-2x，
4x+2x=1+6，

6x=7， x=7/6.
把 x =7/6 代入方程 8-k=2(x+1)，得
8-k=2(7/6+1),
8-k=7/3+2,
-k=-11/3, k=11/3.
答:当 k =11/3 时，方程 2(2x-3)=1-2x 和 8-k=2(x+1)的解相同.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 14 页“习题 6.2.2”中第 1 、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法,具体解题时要仔细审题，根据方程的结构特征，灵活选择解法，以简化解题步骤，提高解题速度.对于利用方程的意义解决的有关数学题，仔细领会题目中的信息，应把它转化为方程来求解.



第 3 课时 一元一次方程的实际应用
【知识与技能】
1. 使学生掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；初步了解用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性；
2. 通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程.
【过程与方法】
通过列出一元一次方程解实际问题的教学，使学生了解“未知”可以转化为“已知”的思想方法，提高分析和解决问题的能力.
【情感态度】
使学生体会学习数学重在应用，探索将实际问题转化为数学问题的过程，感受实际生活中处处存在数学.
【教学重点】
掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
【教学难点】
通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系，并根据等量关系列出方程.

一、 情境导入，初步认识
1.在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么， 一个实际问题能否用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性？
某数的 3 倍减 2 等于它与 4 的和，求某数.（用算术方法解由学生回答） 解：(4+2)÷(3-1)=3
答：某数为 3.
如果设某数为 x，根据题意，其数学表达式为3x-2=x+4

此式恰是关于 x 的一元一次方程.解之得
x＝3.
上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系.对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后再将这个相等的关系表示成方程.
下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.
【教学说明】采用提问的形式，提高了学生的学习兴趣和动力.再通过算术法与方程解决实际问题的对比，让学生明白方程的优越性.
二、思考探究，获取新知


1. 如图，天平的两个盘内分别盛有 51g、45g 盐，问应该从盘 A 内拿出多少盐放到盘 B 内，才能使两者所盛盐的质量相等？
分析：设应从盘 A 内拿出盐 xg,可列出下表.

等量关系：盘 A 中现有的盐＝盘 B 中现有的盐.
解：设应从盘 A 内拿出盐 x g，放到盘 B 内，则根据题意，得
51-x=45+x


解这个方程，得


经检验，符合题意.


x=3.

答：应从盘 A 内拿出盐 3g 放到盘 B 内.

2. 学校团委组织 65 名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人搬 6 块，男同学每


人搬 8 块，每人各搬 4 次，总共搬了 1800 块.问有多少名男同学？ 分析：设男同学有 x 人，可列出下表.（完成下表）
解：设男同学有 x 人，根据题意，得
32x+24(65-x)=1800
解这个方程得
x=30
经检验的，符合题意.
答：这些团员中有 30 名男同学.
3. 根据上面两道例题的解答过程，你能总结出用一元一次方程解实际问题的过程吗？
【归纳结论】用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.


这一过程也可以简单地表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数； (2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；
(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.在设未知数和解答时，应注意量的单位要统一.
【教学说明】学生通过参与解题过程，从而了解了用一元一次方程解决实际问题的过程，并总结.锻炼了学生的总结概括能力.
三、运用新知，深化理解
1. 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余 42500 千克，这个仓库原来有

多少面粉？
2. 在甲处劳动的有 27 人，在乙处劳动的有 19 人.现在另调 20 人去支援，使
在甲处的人数为在乙处的人数的 2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？
3. 某城市市内电话按时收费，3 分钟内（含 3 分钟）收 0.2 元，以后每加 1
分钟加收 0.1 元.某人通话用掉了 1.2 元钱，问他通话多少分钟？
4. 某车间有工人 34 人，平均每人每天可加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，
又知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，要使每天生产的大小齿轮刚好配套，怎样分配工人？
5. 儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折优惠，能比标价省 13.2 元.已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
6. 整理一批图书，如果由一个人单独做要用 30h，现先安排一部分人用 1h 整理，随后又增加 6 人和他们一起又做了 2h，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少？
【教学说明】用一元一次方程解决实际问题的关键是找等量关系，练习过程中尽量放手让学生自己动手解决.
【答案】1.分析：题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出 15%；仓库中还剩余 42500 千克.未知量为仓库中原来有多少面粉.
已知量与未知量之间的一个相等关系：原来重量-运出重量＝剩余重量设原来有 x 千克面粉，运出 15%x 千克，还剩余 42500 千克.
列表如下：


解：设原来有 x 千克面粉，那么运出了 15%x 千克，根据题意，得
x-15%·x= 42500 即 x-15/100x=42500 85/100x=42500
解得 x=50000.
经检验，符合题意.
答：原来有 50000 千克面粉.

2. 分析：(1)审题：从外处共调 20 人去支援.如果设调往甲处的是 x 人，则调往乙处的是多少人？一处增加 x 人，另一处便增加(20-x)人.看下表：

注：x 是调往甲处的人数. (2)找等量关系：
调人后甲处人数=调人后乙处人数的 2 倍.
解：设应该调往甲处 x 人，那么调往乙处的人数就是(20-x)人.根据题意，得
27+x=2［19+(20-x)］
解方程
27+x=78-2x
3x=51 x=17
20-x=20-17=3
经检验，符合题意.
答：应调往甲处 17 人，调往乙处 3 人.
3. 分析：这个人通话用掉 1.2 元，则他的通话时间超过 3 分钟，即 1.2 元包
括 3 分钟内的 0.2 元和 3 分钟以后的 1 元钱.
等量关系：3 分钟内所花的钱+3 分钟后所花的钱=1.2. 解：设这个人通话 x 分钟.由题意，得
0.2+0.1×(x-3)=1.2
0.2+0.1x-0.3=1.2
0.1x=1.3 x=13
经检验，符合题意.
答：这个人通话 13 分钟.
4. 解：设每天分配 x 人加工大齿轮，根据题意，得
2×10×（34-x）=3×16x
解得 x=10
经检验，符合题意.

34-10=24（人 ）
答 ：每天分配 10 人加工大齿轮，分配 24 人加工小齿轮.
5. 解：设一个文具盒标价为 x 元，则一个书包标价为（3x-6）元，依题意，
得
（1-80%）（x+3x-6）=13.2
解此方程，得 x=18， 经检验，符合题意.
3x-6=48（元）
答：书包和文具盒的标价分别是 48 元/个，18 元/个. 6.解：设先安排整理的人员有 x 人，依题意，得x/30+2(x+6)/30=1
解得 x=6
经检验，符合题意.
答：先安排整理的人员有 6 人. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作
以补充.



1. 布置作业:教材第 14 页“习题 6.2.2”中第 4 、5 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课我始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，经常会出现一些意想不到的错误.如， 数量之间的相等关系找得不清楚；列方程忽视了解设的步骤等.在教学中我始终把分析题意与寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发， 努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.针对学生在学习过程中不重视分析等量关系的现象，在教学过程中我要求学生仔细审题，认真阅读例题的内容提要，弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的相等关系.在课堂练习的安排上

适当让学生通过模仿例题的思想方法，加强学生解应用题的能力，通过一元一次方程应用题的教学，学生能够比较正确的理解和掌握解应用题的方法，初步养成正确思考问题的良好习惯.

6.3 实践与探索


第 1 课时 体积和面积问题
【知识与技能】
1. 使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系，然后列出一元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理.
2. 能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题.
【过程与方法】
在自主学习的过程中学会理解和体会数学建模思想在实际问题中的作用.
【情感态度】
通过本节的教学，应该达到培养学生体会数学的实际使用价值的目的.
【教学重点】
利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题.
【教学难点】
找问题中的等量关系.



一、 情境导入，初步认识
我们学过一些图形的相关公式，你能回忆一下，有哪些公式？
【教学说明】回忆一些图形的有关公式，为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题，找等量关系起到帮助作用.
二、思考探究，获取新知
问题：用一根长 60 厘米的铁丝围成一个长方形：
(1)如果长方形的宽是长的 2/3，求这个长方形的长和宽； (2)如果长方形的宽比长少 4 厘米，求这个长方形的面积；
(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的长方形吗?
解：（1）设长方形的长为 x 厘米，则宽为 2/3x 厘米.根据题意，得 2（x+2/3x）
=60

解这个方程, 得 x＝18
所以长方形的长为 18 厘米，宽为 12 厘米.
(2)设长方形的长为 x 厘米，则宽为(x-4)厘米，根据题意，得 2(x＋x-4)＝60
解这个方程, 得 x＝17
所以，S＝13×17＝221(平方厘米).
(3)在(1)的情况下 S＝12×18＝216(平方厘米)；在(2)的情况下 S＝13×17＝ 221(平方厘米).还能围出面积更大的长方形，当围出的长方形的长宽相等时，即为正方形，其面积最大，此时其边长为 15 厘米，面积为 225 平方厘米.
讨论：在第(2)小题中，能不能直接设面积为 x 平方厘米？如不能，怎么办？ 如果直接设长方形的面积为 x 平方厘米，则如何才能找出相等关系列出方程
呢？
诱导学生积极探索：不能直接设面积为未知数，则需要设谁为未知数呢？那么设未知数的原则又是什么呢？
如果我们要算出长方形的面积，就要知道长方形的长和宽.如果我们知道长是多少，根据宽比长少 4 厘米求出宽，然后就能求出面积.所以现在应该去求出长方形的长或者宽.如果设长方形的长或宽为未知数，其实问题就跟原来的第一小题一样.这体现了要把新问题转换为已知问题的数学思想.
探索：将题(2)中的宽比长少 4 厘米改为 3 厘米、2 厘米、1 厘米、0 厘米（即长宽相等），长方形的面积有什么变化？
【教学说明】让学生积极动手计算，得出：面积会变为 222.75，224，224.75,225
平方厘米，即面积越来越大.
【归纳结论】在周长一定的情况下，长方形的面积在长和宽相等的情况下最大；如果可以围成任何图形，则圆的面积最大.
三、运用新知，深化理解
1. 一个长方形的周长为 26cm，这个长方形的长减少 1cm，宽增加 2cm，就可成为一个正方形，求长方形的长?
2. 现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米，可锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴多少根?
3. 将棱长为 20cm 的正方体铁块锻造成一个长为 100cm，宽为 5cm 的长方体

铁块，求长方体铁块的高度?
4. 将棱长为 6cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为 12cm2， 问量筒中水面升高了多少 cm？
5. 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80 毫米的长
方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱
形水桶的高？（精确到 0.1 毫米，π≈3.14）.


6. 有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为 6cm，2cm，高和长方形的宽都等于 3cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标 x 的长度是多少？


【教学说明】图形面积之间相等关系常作为列方程的依据.
7. 有 A、B 两个圆柱形容器，如图，A 容器内的底面积是 B 容器内的底面积的 2 倍，A 容器内的水高为 10cm，B 容器是空的，B 容器的内壁高度为 22cm.若把 A 容器内的水倒入 B 容器， 问：水会不会溢出？
【教学说明】经过练习，使学生明白在等积类题目中是如何找等量关系的.
【答案】1.解：设长方形的长为 x cm，则长方形的宽为(13-x) cm.
依据题意，得方程 x-1=13-x+2
解得：x=8
答：长方形的长为 8 cm.
2.解：设可锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 x 根. 依据题意，得方程 3×0.22πx=30×0.42π
解得：x=40
答：可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 40 根. 3.解：设长方体铁块的高度为 x cm .
依据题意，得方程 100×5x=20×20×20
解得：x=16
答：长方体铁块的高度为 16 cm. 4.解：设量筒中水面升高了 x cm .

依据题意，得方程 12x=6×6×6
x=18
答：量筒中水面升高了 18cm.
5.解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得π·（200/2）2x=300×300
×80
x≈229.3
答：圆柱形水桶的高约为 229.3 毫米.
6. 分析：本题有这样一个相等关系：长方形的面积＝梯形的面积.我们只要用已知数或 x 的代数式来表示相等关系的左边和右边，就能列出方程.
解：由题意得(6-x)×3=[(2+6)×3]/2 解这个方程，得 6-x＝4，x＝2.
答：x 的长度为 2cm.
7. 分析：A 容器内的水倒入 B 容器后，如果水高不大于 B 容器的内壁的高度，水就不会溢出，否则，水就会溢出.因此只要求出 A 容器内的水倒入 B 容器后的水高.本题有如下的数量关系：
A 容器内的底面积＝B 容器内的底面积的 2 倍倒前水的体积＝倒后水的体积
设 B 容器内的底面积为 a，那么 A 容器内的底面积为 2a，设 B 容器的水高为 xcm，可利用圆柱的体积公式列方程.
解：设 A 容器内的水倒入 B 容器后的高度为 xcm， 根据题意，得 2×10＝1×x，
解得 x＝20(cm).
因为 20<22，
即 B 容器内的水高度不大于 B 容器的内壁的高度，所以水不会溢出. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.



1. 布置作业:教材第 16 页“练习”
2. 完成练习册中本课时练习.



现实生活中，蕴含着大量的数学信息，数学在现实生活中有着广泛的应用. 解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，列方程最关键的是如何挖掘问题中的相等关系.等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积.一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程.



第 2 课时 储蓄和利润问题
【知识与技能】
掌握储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，会用方程解决实际问题.
【过程与方法】
通过分析储蓄中的数量关系，以及商品利润等有关知识，经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
【情感态度】
使学生体验到生活中处处有数学，生活中时时用数学.
【教学重点】
探索这些实际问题中的等量关系，由此等量关系列出方程.
【教学难点】
找出能表示整个题意的等量关系.



一、 情境导入，初步认识
1. 你们了解教育储蓄吗？了解储蓄存款征收利息税的情况吗？
2. 了解与银行存款有关的用语：什么是本金？什么是利息？什么是期数？什么是本息和？什么叫利率？什么叫利息率？
3. 小明爸爸前年存了年利率为
3.35%的二年期定期储蓄.今年到期后,所得利息正好为小明买了一只价值
48.60 元的计算器.问小明爸爸前年存了多少元？你能否列出较简单的方程？
【教学说明】让学生了解有关概念，为本节课的内容作铺垫，并明白数学来源于生活，并应用于生活.
二、思考探究，获取新知
问题1：爸爸为小明存了一个3 年期的教育储蓄（３年期的年利率为4.00％）.3
年后能取 5600 元，他开始存入了多少元？
分析：5600 元是什么量？要求的是什么量？相等的关系是什么？ 等量关系：本息和=本金＋利息=本金＋本金×年利率×期数

解：设他开始存入 x 元，根据题意，可列方程
x(1＋4.00%×3)=5600
解得 x=5000
所以他开始存入 5000 元.
你还知道储蓄问题中有哪些计算公式？
【归纳结论】利息的计算方法利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息
＝本金＋本金×利率×期数
＝本金×（1＋利率×期数）
【教学说明】让学生了解有关量之间的关系，为本节课的内容作铺垫.
问题 2：新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 2/5，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款 1946 元，求其他两个年级的捐款数.
分析：七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 2/5，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，七年级和八年级的捐款数都与全校捐款总数有关，如果设全校捐款总数，那么三个年级的捐款数就都知道了，这样就可以列出方程.
解：设全校捐款总数为 x，则七年级的捐款数为 2/5x,八年级捐款数为 1/3x， 根据题意，可列方程得 2/5x+1/3x+1964=x
解得 x=7365
所以，七年级捐款数为：2/5×7365=2946（元） 八年级捐款数为：1/3×7365=2455（元）
还有没有其它的设未知数的方法？比较一下，哪种设未知数的方法比较容易列出方程？说说你的道理.
【教学说明】培养学生分析问题的能力.
问题 3：商场出售某种文具，每件可盈利 2 元，为了支援山区，现在按原售价的 7 折出售给一个山区学校，结果每件仍盈利 0.2 元.问该文具每件的进价是多少元？
分析：基本关系式：进价=标价×折数-利润

解：设该文具每件的进价是 x 元.根据题意得:x=7/10(x+2)-0.2 解方程得：x=4
答：该文具每件的进价是 4 元.
【归纳结论】利润问题中的等量关系式： 商品利润=商品售价 — 商品进价
商品售价=商品标价×折扣数
商品利润/商品进价×100%=商品利润率商品售价=商品进价×（1+利润率）
【教学说明】明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式，寻找问题中隐藏的相等关系.
三、运用新知，深化理解
1. 某商店有一套运动服，按标价的 8 折出售仍可获利 20 元，已知这套运动
服的成本价为 100 元，问这套运动服的标价是多少元？
2. 小王去新华书店买书，书店规定花 20 元办优惠卡后购书可享受 8.5 折优惠. 小王办卡后购买了一些书，购书优惠后的价格加上办卡费用比这些书的原价还少了 10 元钱，问小王购买这些书的原价是多少？
3. 某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个 0.6 元，按每个面包
1.0 元的价格出售，卖不完的以每个 0.2 元于当天返还厂家，在一个月（30 天）里，小店有 20 天平均每天卖出面包 80 个，其余 10 天平均每天卖出面包 50 个，该月小店老板获纯利 600 元，如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包，求这个数量是多少？
4. 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的 5 折出售，
将亏本 20 元.如果按标价的 8 折出售，将盈利 40 元.
求：（1）每件服装的标价是多少元？ （2）为保证不亏本，最多能打几折？
5. 为了准备小敏６年后上大学的学费５０００元，她的父母现在就参加了教育储蓄.下面有两种储蓄方式：
（1） 直接存一个６年期；
（2） 先存一个３年期的，３年后将本息和自动转存一个３年期. 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？

【教学说明】学以致用.检验知识的掌握情况.
【答案】1.分析：设这套运动服的标价是 x 元.此题中的等量关系：按标价的
8 折出售仍可获利 20 元，即标价的 8 折-成本价=20 元. 解：设这套运动服的标价是 x 元.
根据题意得：0.8x-100=20， 解得：x=150.
答：这套运动服的标价为 150 元.
2. 分析：办卡费用加上打折后的书款应该等于书的原价减去节省下来的 10
元，由此数量关系可列方程进行解答解：设书的原价为 x 元，
由题可得：20+0.85x=x-10， 解得：x=200.
答：小王购买这些书的原价是 200 元.
3. 分析：由题意得，他进的面包数量应至少是 50 个；等量关系为：（20×进货量+10×50）×每个的利润-［（进货量-50）×10+（进货量-80）×20］×每个赔的钱=600；据此列出方程解可得答案.
解：设这个数量是 x 个.由题意得：
（1-0.6）×（20×80+10×50）-（0.6-0.2）×［20（x-80）+10（x-50）］=600
解得：x=90.
答：这个数量是 90 个.
4. 分析：通过理解题意可知本题的等量关系：
（1） 无论亏本或盈利，其成本价相同； （2）服装利润=服装标价×折扣- 成本价.
解：（1）设每件服装标价为 x 元. 0.5x+20=0.8x-40，
0.3x=60，
解得：x=200.
故每件服装标价为 200 元；
（2） 设至少能打 y 折.

由（1）可知成本为：
0.5×200+20=120，
列方程得：200×y=120， 解得：y=6.
故至少能打 6 折.
5.分析：5000 =本金＋本金 × 年利率 × 期数=本金 ×（1 ＋ 年利率 × 期数）
解：（1）设开始存入 x 元.
那么列出方程： (1＋4.75%×6)x=5000
解得 x≈ 3891
所以开始存入大约 3891 元，六年后本息和为 5000 元.
（2）(1＋4.00%×3)y×(1＋4.00%×3)＝5000
解得： y≈3986
所以开始存入大约 3986 元，6 年后本息和就能达到 5000 元.
因此，按第 1 种储蓄方式开始存入的本金少. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 18 页“习题 6.3.1”中第 3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



数学源于生活、植根于生活.数学教学就是要从学生的生活经验出发，激发学生学习数学的兴趣，让学生深刻体会到数学是解决生活问题的钥匙.本节课就以实际生活问题为主线，使学生亲身经历将实际问题数学化的过程，充分体现学生的主体地位.经过本节课的教学，了解到学生对利润问题掌握的不够好，公式之间不能灵活的转换，这方面有待加强练习.



第 3 课时 行程和工程问题
【知识与技能】
使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律.
【过程与方法】
通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.
【情感态度】
使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力.
【教学重点】
用一元一次方程解决行程问题、工程问题.
【教学难点】
如何找行程问题中的等量关系.



一、 情境导入，初步认识
1. 行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及问题中含有怎样的相等关系呢？
2. 工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?
【教学说明】通过对这两种常见的问题中公式的复习，为找等量关系打好基
础.
二、思考探究，获取新知
问题 1：小张和父亲计划搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷
爷.在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站.随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前 15 分钟
到达火车站.已知公共汽车的平均速度是 40 千米/时，问小张家到火车站有多远？ 吴小红同学给出了一种解法：
设小张家到火车站的路程是 x 千米，由实际时间比原计划乘公共汽车提前了

45 分钟，可列出方程：


解这个方程：
x/40-x/120-x/120=3/4 3x―x―x＝90
x＝90
经检验，它符合题意.
答：小张到火车站的路程是 90 千米. 张勇同学又提出另一种解法：
设实际上乘公共汽车行驶了 x 千米，则从小张家到火车站的路程是 3x 千米， 乘出租车行使了 2x 千米.注意到提前的 3/4 小时是由于乘出租车而少用的，可列出方程：
2x/40-2x/80＝3/4 解这个方程得： x＝30.
3x＝90.
所得的答案与解法一相同.
讨论：试比较以上两种解法，它们各是如何设未知数的？哪一种比较方便？ 是不是还有其它设未知数的方法？试试看.
【教学说明】两种解题方法，让学生亲身体验设不同的未知数，可列出不同的方程，难易度也不一样.从而得出为了解题方便应选择设适当的未知数的结论.
【归纳结论】1.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间;变形可得到： 速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
2.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系： 相遇：相遇时间×速度和＝路程和;
追及：追及时间×速度差＝被追及距离.
问题 2：课外活动时李老师来教室布置作业,有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6 天”，就停住了.片刻后，同学们带着疑问的目光，窃窃私语：“这个题目没有完

呀？要求什么呢？”
李老师开口了：“同学们的疑问是有道理的，今天我们就是要请同学们自己来提问.”
调皮的小刘说：“让我试一试.”上去添了“两人合作需几天完成？”.
有同学反对：“这太简单了！”,但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先后合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的……
李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做 1 天，再
两人合作，完成后共得到报酬 450 元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
试解答这一问题，并与同学一起交流各自的做法.
分析：我们可以将工作总量看作“单位 1”，根据“工作效率=工作总量/工作时间”可以知道，师傅的工作效率是 1/4，徒弟的工作效率是 1/6，整项工程分了两个部分：第一部分是徒弟先做的一天，第二部分是师徒两人合作完成的，而合作的时间我们不知道，所以应设合作的时间为 x，根据工作总量可列出方程.从而求出他们各自工作的量，这样就可以求出他们得到的报酬.
解：设两人合作的时间是 x 天，根据题意可列出方程：
1/6+（1/6+1/4）x=1
解得：x=2
经检验，它符合题意.
所以，徒弟工作时间为 3 天，完成工作总量的 1/6×3=1/2；师傅工作时间为2 天，完成工作总量的 1/4×2=1/2.
因为他们完成的工作量一样，所以报酬也应该一样多，都是 270 元. 你还能提出其它的问题吗？试一试，并解答这些问题.
【教学说明】给学生充足的时间，发挥他们的想象力，锻炼他们的创新能力和思维能力.
【归纳结论】工程问题中的三个量，根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两个量，就可以表示第三个量.两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和.

三、运用新知，深化理解
1. 有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁
桥比过第一座铁桥需多 5 秒，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的 2 倍短
50 米，试求各铁桥的长.
2. 一艘船由 A 地开往 B 地，顺水航行需 5 小时，逆水航行要比顺水航行多用 50 分钟.已知船在静水中每小时走 12 千米，求水流速度.
3. 一条环形跑道长 400 米，甲、乙两人练习跑步，甲每秒钟跑 6 米，乙每秒钟跑 4 米.(1)两人同时、同地、背向出发，经过多少时间，两人首次相遇?(2) 两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇?
4. 甲、乙两队合挖一条水渠，5 天可以完成.如果甲队独挖 8 天可以完成，那么乙队独挖几天可以完成？
5. 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需
4 小时，甲先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
【教学说明】通过练习，使学生掌握应用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法.
【答案】1.解：设第一座铁桥的长为 x 米，那么第二座铁桥的长为（2x-50） 米，过完第一座铁桥所需的时间为 x/600 分.
过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600 分. 依题意，可列出方程
x/600+5/60=(2x-50)/600
解方程 x+50=2x-50
得 x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一座铁桥长 100 米，第二座铁桥长 150 米. 2.分析：在水流问题中：
船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度， 船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度.
等量关系：

船顺水航行的路程＝船逆水航行的路程.
解：设水流速度为 x 千米/时.根据题意，得顺水航行的速度为(12+x)千米/时， 逆水航行的速度为(12-x)千米/时，
5(12+x)=(5+50/60)(12-x)
60+5x=35/6×12 -35/6x
65/6x=10 x=12/13.
答：水流速度为 12/13 千米/时.
3. 分析：(1)同时、同地、背向，甲、乙二人第一次相遇时，甲和乙共跑了一圈(即 400 米)，等价于相遇问题，相等关系：甲走的路程＋乙走的路程＝400 米.
(2) 同时、同地、同向，甲、乙二人第一次相遇时，甲比乙多跑了一圈(即
400 米)，等价于追及问题，等量关系：甲走的路程-乙走的路程＝400 米.
解：(1)设两人同时、同地、背向出发，经过 x 秒后两人首次相遇，根据题意，得 6x＋4x＝400,解方程，得 x＝40.
答：两人同时、同地、背向出发，经过 40 秒后两人首次相遇.
(2) 设两人同时、同地、同向出发，经过 x 秒后两人首次相遇，根据题意， 得 6x-4x＝400，
解方程，得 x＝200.
答：两人同时、同地、背向出发，经过 200 秒后两人首次相遇.
4. 分析：这一工程问题求的是工作时间.只要先求出乙的工作效率，根据：工作量＝工作效率×工作时间，就能列出求乙的工作时间的方程.
解：设乙队单独挖需 x 天完成，由于两队合做每天完成的工作量等于各队每天完成的工作量的和，也就是说两队合做的工作效率等于各队单独的工作效率的和，所以乙队的工作效率为：1/5-1/8.
根据题意，得(1/5-1/8)x=1
解这个方程，得 3/40x=1,x=40/3.
答：乙队独挖 40/3 天可以完成.
5. 解：设甲、乙一起做还需 x 小时才能完成工作. 根据题意，得 1/6×1/2+（1/6+1/4）x=1.

解这个方程，得 x=11/5. 11/5 小时=2 小时 12 分.
答：甲、乙一起做还需 2 小时 12 分才能完成工作. 四、师生互动，课堂小结
本节课你学习了哪些知识，掌握了哪些方法？请相互交流.



1. 布置作业:教材第 20 页“习题 6.3.2”中第 3 、4 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课的教学难点是行程问题，而行程问题又分几种类型，如：相遇、追及、同向、逆向、水流、环行问题等.环行问题的基本特征是路径呈环状或为环线的一部分.事实上，这类问题也有“相遇”与“追及”之分：
(1) 若同地出发，反向而行，则每次相遇，两者的行程之和等于环形的周长. (2)若同地出发，同向而行，则每次追及，两者的行程之差等于环行道的周
长，或表示为快者的行程＝慢者的行程＋环形周长.
此外，若是同时出发，则相遇(或追及)时，两者行走的时间相等. 在水流问题中：
船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度， 船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度.



章末复习
【知识与技能】
1. 了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解.
2. 能利用一元一次方程解决实际问题.
【过程与方法】
通过解决问题的过程对本章主要知识进行梳理回顾，使学生认识本章的知识体系和方法体系.
【情感态度】
通过解决问题，让学生体会成功的乐趣，从而增强学生学好数学的兴趣和信
心.
【教学重点】 解一元一次方程.
【教学难点】
实际问题与一元一次方程的应用.



一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、回顾思考，梳理知识
1. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
2. 等式的基本性质：

性质 1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立.
如果 a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c.
性质 2：等式两边都乘或除以同一个数或式子（除数不为 0），等式仍然成立.
如果 a=b，那么 ac=bc ，a/c=b/c(c≠0). 3.方程的变形方法：
方程的两边都加上或（都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变. 方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变.
方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.
4. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的方程叫做一元一次方程.
5. 解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1.
6. 等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积.
7. 利息的计算方法：
利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息
＝本金＋本金×利率×期数
＝本金×（1＋利率×期数）
8. 利润问题中的等量关系式： 商品利润=商品售价-商品进价商品售价=商品标价×折扣数
商品利润/商品进价×100%=商品利润率商品售价=商品进价×（1+利润率）
9. 行程问题中基本数量关系是： 路程＝速度×时间,
变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系： 相遇：相遇时间×速度和＝路程和，
追及：追及时间×速度差＝被追及距离.

10. 工程问题中的等量关系式： 工作量＝工作效率×工作时间.
11. 运用方程解实际问题的一般过程：
（1） 审题：分析题意，找出题中的各个量及其关系；
（2） 设元：选择一个适当的未知数用字母表示；
（3） 列方程：根据相等关系列出方程；
（4） 解方程：求出未知数的值；
（5） 检验：检验求出的值是否正确或符合实际情形；
（6） 答：写出答案.
【教学说明】通过问题解决的过程对本章主要知识进行梳理回顾，使学生体会 本章的知识体系和方法体系
三、典例精析，复习新知例 1 方程 y-10=-4y 的解是（B）
A.y=1 B.y=2 C.y=3 D.y=4
例 2 给出下面四个方程及变形：（1）4x+10=0,变形为 2x+5=0；（2）x+7=5-3x,
变形为 4x=12；（3）2/3x=5,变形为 2x=15；（4）16x=-8, 变形为 x=-2；其中方程变形正确的编号组为（ C）
A.（1）（2）
B.（1）（2）（3）（4） C.（1）（3）
D.（1）（2）（3）



例 4 解方程 5x-7+3x=6x+1.
解：5x+3x-6x=1+7

2x=8
x=4



解：2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1) 2-4x+4x+4=12-6x-3
6x=3
x=1/2
例 6 某企业对应聘人员进行英语考试，试题由 50 道选择题组成，评分标准
规定：每道题的答案选对得 3 分，不选得 0 分，选错倒扣 1 分，已知某人有 5
道题未做，得了 103 分，则这个人选错了多少题？
分析：等量关系是：选对所得的分-选错所扣的分＝最后的得分解：设这人选错了 x 道题，则选对了(50-5-x)道.
3(50-5-x)-x＝103
解这个方程得 x＝8.
答：这个人选错了 8 道题.
例 7 某校学生进行军训，以每小时 5 千米的速度去执行任务，出发 4 小时
12 分钟后，学校军训指挥部派通讯员骑摩托车追赶学生队伍传达新任务，用了
36 分钟赶上了队伍，求摩托车的速度.
分析：等量关系是：学生队伍的行进路程＝摩托车行驶的路程 解：设摩托车的速度为每小时 x 千米.根据题意，列方程得

解这个方程得 x＝40.
答：摩托车的速度为每小时 40 千米.
【教学说明】学生独立思考并完成，师生评价，给予学生充分的肯定，鼓励学生自我展示.
四、复习训练，巩固提高
1. 若关于 x 的方程 3(x-1)+a=b(x+1)（a,b 为常数）是一元一次方程，则（D）
A. a,b 为任意有理数
B. a≠0

C. b≠0 D.b≠3
2.方程|2x-1|=4x+5 的解是（C）
A.x=-3 或 x=-2/3
B.x=3 或 x=2/3 C.x=-2/3
D. x=-3
3.解方程 3/4×(4/3x-1)=3,下列变形中，较简捷的是（B） A.方程两边都乘以 4，得 3（4/3x-1）=12
B.去括号，得 x-3/4=3
C.两边同除以 3/4，得 4/3x-1=4 D.整理，得(4x-3)/4=3
4.解方程（1）5(x-4)-7(7-x)-9=12-3(9-x)
解：5x-20-49+7x-9=12-27+3x 5x-3x+7x=12-27+20+49+9
9x=63
x=7



5(10x-20)-2(10x+10)=30
50x-100-20x-20=30
50x-20x=30+100+20
30x=150
x=5
（3）x-2［x-3(x-1)］=8 解： x-2［x-3x+3］=8
x-2x+6x-6=8
x-2x+6x=8+6
5x=14

x=2.8
5. 某校组织学生春游，如果包租相同的大巴 3 辆，那么就有 14 人没有座位；
如果多包租 1 辆，那么就多了 26 个空位，问春游的总人数是多少？
分析：本题若直接设总人数则较难列出方程，所以可以改设每辆大巴的座位数为 x 较方便.等量关系为：两种方案中的总人数相同.
解：设每辆大巴的座位数为 x 人，根据题意列方程得
3x+14＝4x-26
解这个方程得 x＝40
所以总人数为：3×40+14＝134（人） 答：春游的总人数是 134 人.
6. 某工人原计划用 26 天生产一批零件,工作两天后,因改变了操作方法，每天
比原来多生产 5 个零件，结果提前 4 天完成任务,问原来每天生产多少个零件?这批零件有多少个?
分析：本题利用“前 2 天的工作量＋后 20 天的工作量＝工作总量”来列等式，而“工作量＝工作效率×工作时间” .
解：设改进操作方法前每天生产零件 x 个，根据题意，得
2x＋(26-2-4)(x＋5)＝26x
解得 x＝25.
所以，这些零件有 26×25＝650(个).
答：原来每天生产零件 25 个，这批零件有 650 个.
7. 一队学生去校外进行军事野营训练.他们以 5 千米/时的速度行进，走了 18 分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发，骑自行车以14 千米/时的速度按原路追上去.通讯员用多少时间可以追上学生队伍？


分析：(1)细审题意：学生队伍出发 18 分钟后，通讯员才开始出发，并且与学生队伍同向而行.通讯员追上队伍时，通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等，但是在同一时间里(从通讯员出发到追上队伍)，他们所走的路程是不同的，通讯员比学生队伍多走了 5×18/60 千米，设通讯员用 x 小时可以追上学生队伍

(2) 找等量关系：追上学生队伍时，通讯员走的路程=学生队伍走的路程.
解：设通讯员用 x 小时可以追上学生队伍，根据题意，得 14x=5×18/60+5x.
解这个方程，得 x=1/6(小时)=10(分钟)
答：通讯员用 10 分钟可以追上学生队伍.
【教学说明】学生独立作答，自我检验，提升信心. 五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？请与同学交流.



1. 布置作业:教材第 21~22 页“复习题”中第 4、5、6、7、8、9、16、17 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课的教学中，老师分层次设置练习题，逐步突破难点.初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应.其中，第一个方面是主要的，解决了它，另两个方面就都好解决了.重点训练学生找相等关系列方程；要求学生独立设未知数列方程，并能突破用算术解法解应用题的思维定势，学会通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关系、列出方程解决问题的方法.

第 7 章 一次方程组
7.1 二元一次方程组和它的解



【知识与技能】
1. 理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义.
2. 会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
3. 能根据问题情境列二元一次方程组.
【过程与方法】
通过概念的形成过程，发展分析问题、解决问题、归纳概括的能力；在经历分析实际问题数量关系的过程中，体会方程是刻画现实世界的数学模型.
【情感态度】
通过对情境问题的观察、思考，激发学习数学的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的过程中获取成功的喜悦，建立学习的自信心.
【教学重点】
二元一次方程组和它的解的概念.
【教学难点】
二元一次方程组的解的概念.



一、 情境导入，初步认识
暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛 9 场, 得 17 分. 比赛规定胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得0 分. 勇士队在这一轮中只负了 2 场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢?
【教学说明】 从学生感兴趣的话题引入，激发学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知
1. 能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?
可以用一元一次方程来求解.
设勇士队胜了 x 场, 因为它共赛了 9 场, 并且负了 2 场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程:

3x+(9-x-2)=17.
解这个方程可得 x=5.
所以勇士队胜了 5 场, 平了 2 场.
【教学说明】 一元一次方程的复习与巩固，为学习二元一次方程组提供了素材.
2. 由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，而这其中有两个未知数， 那么能不能同时设出这两个未知数呢?
师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了 x 场, 负了 y 场. 在下表的空格中填入数字或式子.

根据填表的结果可知:
x+y=7 ①
3x+y=17 ②
观察这两个式子，和我们以前所学的一元一次方程有什么不同？它们有什么共同点？
引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是 1.
【归纳结论】 含有两个未知数, 并且未知数的次数是 1 的方程叫做二元一次方程.
把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.
【教学说明】 注意：方程组中的各方程中, 同一个字母必须代表同一个量. 3.什么是方程的解?
答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
由算术法我们已得到答案, 勇士队胜了 5 场, 平了 2 场, 即 x=5,y=2.x=5 与
y=2 既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说 x=5 与 y=2 是二元一次方程组

ìx + y = 7 ìx = 5
í3x + y = 17 的解, 并记作í y = 2 .
î î
【归纳结论】 一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等
的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.
【教学说明】 注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取 x=4, y=3 时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解.
(2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把 x=5 与 y=2
合起来, 才是方程组的解.
4.某校现有校舍 20000m2, 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加 30%,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4 倍. 若设应拆除旧校舍 xm2 , 建造新校舍 ym2, 请你根据题意列一个方程组.
分析：由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4 倍, 我们马上可得出
方程 y=4x.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积增加 30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程y-x=20000×30%.
解：设应拆除旧校舍xm2 , 建造新校舍 ym2,根据题意列出方程组：
ì y - x = 20000´ 30%
î
í y = 4x
三、运用新知，深化理解
1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）


A.xy-7＝1 B.2x-1＝3y+1 C.4x-5y＝3x-5y
D.3x- 2 =1
y


2. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）




íx + y = 3
3. 方程组ì2x - y = 3 的解是（ ）
î



4. 关于 m,n 的两个方程 2m-n=3 与 3m+2n=1 的公共解是（ ）




5. 由 x+2y＝4，得到用 y 表示 x 的式子为 x＝ ；得到用 x 表示 y 的式子为 y＝ .

í y = -1
6.若ìx = 2
î
是二元一次方程 ax+by=-2 的一个解，则 2a-b-6 的值是 .


í y = 3
7. 已知ìx = 2 是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方
î

程组.
8. 根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.
（1） 甲数的 13 比乙数的 2 倍少 7；
（2） 摩托车的时速是货车的 32 倍，它们的速度之和是 200km/h；
（3） 某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4 倍，5 件皮装比 3 件时装贵 700
元.
【教学说明】 进一步理解二元一次方程组和它的解概念，突破教学难点.

【答案】1.B 2.D 3.B 4.B 5.4-2y， 4 - x
2

6.-8

7. 解：答案不唯一，现举一例：
∵ x＝2，y＝3，∴ x+y＝2+3＝5，2x+y＝2×2+3＝7，
ìx + y = 5
î
∴ í2x + y = 7 就是所求的一个二元一次方程组.

8. 解：（1）设甲数为 x，乙数为 y，则 1 x+7=2y.
3
í
ìx = 3 y

（2） 设摩托车的速度为 x km/h，货车的速度为 y km/h，则ï 2
ïîx + y = 200
ìx = 1.4 y
（3） 设时装的价格为 x 元/件，皮装的价格为 y 元/件，则í
î5y - 3x = 700

四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.



1. 布置作业:教材第 26 页“习题 7.1”中第 1 、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节从学生感兴趣的问题入手，意在让学生经历一个实际背景，激发学生自觉探究数学问题，体验发现问题的乐趣.学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组，初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系.在本节课的学习中让学生运用自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、总结归纳等方法.学生的角色从学会转变为会学，本节课，学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是与老师一起站在探究者的角度深入其境，体验探究的氛围与真谛.

7.2 二元一次方程组的解法第 1 课时 代入消元法

【知识与技能】
会用代入消元法解简单的二元一次方程组.
【过程与方法】
通过探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法.
【情感态度】
通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识.
【教学重点】
用代入消元法解二元一次方程组.
【教学难点】
探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想.



一、 情境导入，初步认识
1. 复习提问: 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的
解?
2. 回顾上节课中的问题:设应拆除旧校舍xm2 , 建造新校舍ym2, 那么根据题
意可列出方程组:



问：怎样求出这个二元一次方程组的解?
【教学说明】 通过学生身边熟悉的事情，建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的最近“发展区”，愉悦地接受教学活动.
二、思考探究，获取新知

1. 我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍 xm2, 则建造新校舍 4xm2, 根据题意可得到 4x-x=20000×30%. 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程, 我们的问题不就可以解决了吗? 可是如何来转化呢?
引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系.
在方程组中的方程②y=4x, 把它代入方程①中 y 的位置, 我们就可以得到一元一次方程 4x-x=20000×30%.通过“代入”, 我们消去了未知数 y,得到了一元一次方程, 这样就可以求解了.
ìx = 2000
î
解方程得:x=2000, 把x=2000 代入②得 y=8000. 所以í y = 8000 .

答：应拆除旧校舍 2000m2 , 建造新校舍 8000m2.
ì x + y = 7 ①
2. 解方程组: í
î3x + y = 17 ②

与上面的方程组不同, 这里的两个方程中, 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式, 这时怎么办呢?
由学生观察后得出结论: 可以将方程①变形成为用 x 来表示 y 的形式, 即
y=7-x, 然后再将它代入方程②, 就能消去 y, 得到一个关于 x 的一元一次方程. 解：由①得 y=7-x ③. 将③代入②, 得 3x+7-x=17. 即 x=5.
ìx = 5
î
将 x=5 代入③, 得 y=2. 所以í y = 2 .
(可以再依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)
【归纳结论】 由上面的例题可看出, 我们是通过“代入”消去一个未知数, 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”.
ì2x - 7 y = 8 ①
3. 解方程组í
î3x - 8y -10 = 0 ②

分析：观察分析此方程组与 2 题中的方程组在形式上的差别. 易知 2 题的方
程组中有未知数系数的绝对值是 1 的方程, 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是 1, 这时怎么办呢? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表

示另一个未知数?显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化 1, 化成 1 题的形式； 另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化 1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.
显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见方程①中x 的系数比较简单, 所以将方程①中的x 用y 来表示.

解：由①, 得
x=4+ 7 y ③.
2

将③代入②, 得 ：
7

3(4+
2
y)-8y-10=0, y=-0.8.

将 y=-0.8 代入③, 得 x=1.2.
ìx = 1.2
î
所以í y = -0.8 .
【教学说明】 这里是先消去 x,得到关于 y 的一元一次方程,可不可以先消去 y 呢?(让学生试一试, 并比较两种解法的优劣. 易知先消去 x 使变形后的方程比较简单且代入后化简比较容易).
由上面的解题过程，你能总结出用代入法解二元一次方程组的步骤吗？
【归纳结论】 代入法解二元一次方程组的方法：
1. 将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示.
2. 把得到的式子代入另一个方程，得到一元一次方程，并求解.
3. 把求得的解代入方程，求另一未知数的解.
三、运用新知，深化理解
1.方程-x+4y=-15 下面是用含 y 的代数式表示 x 是（ ）
A.-x=4y-15 B.x=-15+4y
C.x=4y+15 D.x=-4y+15
2.将 y=-2x-4 代入 3x-y=5 可得（ ）
A.3x-2x+4=5 B.3x+2x+4=5
C.3x+2x-4=5 D.3x-2x-4=5

í
3.用代入法解方程组ì2x + 3y = 8 有以下过程：
î3x - 5 y = 5
（1）由①得 x= 8 - 3y ③；
2
（2）把③代入②得 3× 8 - 3y -5y=5；
2
（3）去分母得 24-9y-10y=5；
（4） 解之得 y=1，再由③得 x=2.5，其中错误的一步是（ ） A.（1） B.（2） C.（3） D.（4） 4.把下列方程写成用含 x 的代数式表示 y 的形式:
(1) 3x+4y-1=0； (2)5x-2y+9=0.
5. 解下列方程组












ìax + by = 16
6. 在解方程组í
îbx + ay = 19
ìx = 1,
①
时，小明把方程①抄错了，从而得到错解
②

ìx = -2,

í y = 7. ，而小亮却把方程②抄错了，得到错解í y = 4.
，你能求出正确答案吗？

î î
原方程组到底是怎样的？
【教学说明】 通过不同题型考察代入法解方程组，从而加强对所学知识点的巩固提高，加深对所学知识的理解与应用.
【答案】1.C 2.B 3.C 4.分析:即将方程作适当的变形, 把含有 y 的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把 y 的系数化 1.
解 :(1)y= 1- 3x ；(2)y= 5x + 9 .
4 2
5.(1)解：由②得 y=4x-5 ③
把③代入①得 2x+3（4x-5）=-1， 解得 x=1，把x=1 代入③，得 y=-1.

ìx = 1
î
所以原方程组的解为í y = -1 .
(2)解：由①得方程 y=1-x ③；
将③代入②消去 y, 得 2x+3(1-x)=5；x=-2； 把 x=-2 代入③，得 y=3；
ìx = -2
î
所以方程组的解是í y = 3 .

(3)解：由①得 x=3+2y ③
将③代入②, 得 3(3+2y)+2y=17； 解得 y=1；
把 y=1 代入③, 得 x=5；
ìx = 5
î
所以原方程组的解为í y = 1.

ìx - 4 y = 3 ①
(4) 解：整理得í
î15x + 8y = 45 ②
由①得 x=3+4y ③
将③代入②, 得 15(3+4y)+8y=45； 解得 y=0.
把 y=0 代入③, 得 x=3;
ìx = 3
î
所以原方程组的解为í y = 0 .
í y = 7
6.解：把ìx = 1 代入方程②，得 b+7a=19.
î
ìx = -2

î
把í y = 4
代入方程①，得-2a+4b=16.


ìb + 7a = 18 ìa = 2,
解方程组í-2a + 4b = 16 , 得í = 5.
î îb
ì2x + 5 y = 16 ìx = 3
所以原方程组为í5x + 2 y = 19 , 解得í y = 2.
î î

四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 30 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



本课按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的代入消元法——典型例题——归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计.在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学.教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中.重视知识的发生过程.将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元） 解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的.

第 2 课时 加减消元法



【知识与技能】
1. 会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路.通过“加减”达到“消元” 的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；
2. 会用加减法解简单的二元一次方程组.
【过程与方法】
在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验.
【情感态度】
培养学生观察、归纳、类比、联想以及分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
学会用加减法解简单的二元一次方程组.
【教学难点】
准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组.



一、 情境导入，初步认识
1. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
2. 用代入法解方程组的关键是什么？
3. 你会解下面这个方程组吗？

ìï3x + 5y = 5
î
íï3x - 4 y = 23
(1)
(2)

【教学说明】 由问题导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了学生的学习热情，对学生探究新知识起到很好的推动作用，让学生发表自己的见解，既培养了学生的数学语言表达的能力，又发挥了学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上.
二、思考探究，获取新知

í
1.观察方程组: ìï3x + 5 y = 5
ïî3x - 4 y = 23
(1)
(2)

（1） 未知数 x 的系数有什么特点？
（2） 怎么样才能把这个未知数 x 消去？这样做的依据是什么？
（3） 把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减.你得到了什么结果？
9y=-18,(消去了未知数 x，达到了消元的目的) y=-2.
ìx = 5
î
把 y=-2 代入（1），得 3x＋5×(-2)=5,x=5.所以í y = -2 .
从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？
【教学说明】 把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦.这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神， 同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼.

íï4x - 7 y = 5
2.解方程组： ìï3x + 7 y = 9
î
(1)
(2)

看一看：y 的系数有什么特点？
想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 解：(1)+(2)得,
7x=14, x=2.
把 x=2 代入（1）得,
6+7y=9,
7y=3,
3
y= . 7




所以
【归纳结论】 将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.这种解法叫做加减消元法，简称加减法.
3.讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？

【教学说明】 这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础.
【归纳结论】 当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的.

í
4.解方程组： ìï3x - 4 y = 10
ïî5x + 6 y = 42
(1)
(2)

问题：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？
解：方法一：利用加减消元法消去未知数 y.

í
(1)×3，(2)×2 得， ìï9x -12 y = 30
ïî10x +12 y = 84
(3)+(4)得，19x=114，
x=6.
把 x=6 代入(2)得，30+6y=42，
y=2.
(3)
(4)


ì x = 6
î
所以í y = 2 .
思考：能否先消去 x 再求解？
方法二：利用加减消元法消去未知数 x.
解：(1)×5，(2)×3，得
í
ìï15x - 20 y = 50(3)
ïî15x +18 y = 126 (4)
(4)-(3)得 38y=76
y=2
把 y=2 代入(2)得,5x+12=42
x=6

ìx = 6
î
所以í y = 2 .
当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？
【归纳结论】 一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.
三、运用新知，深化理解
íx - y = 9k,
1. 若关于 x、y 的二元一次方程组ìx + y = 5k, 的解也是二元一次方程 2x+3y
î

＝6 的解，则 k 的值为（ ）




2. 已知方程组 中，x、y 的值相等，则 m 等于（ ）
A.1 或-1 B.1 C.5 D.-5
3. 解下列方程组：





ì2x - 3y = -5 ①
(3) í
î3x + 2 y = 12 ②
(4) ìïx4 + y3 = 43 ①
í
ïî3( x - 4) = 4( y + 2) ②





4. 已知关于 x，y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有 .
（1） 求 k，b 的值.
（2） 当 x=2 时，y 的值.
（3） 当 x 为何值时，y=3？
【教学说明】 通过这一系列有层次有梯度形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地选择准确的加减法完成对二元一次方程组的求解，并能在解解答的过程中摸索运算技巧，培养计算能力与观察问题、分析问题与解决问题的能力.

【答案】1.B 2.B
3.(1)解：①-②得，-x=-2， 解得 x=2，




把 x=2 代入①得，2+y=1， 解得 y=-1.

四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 34 页“练习”.

2. 完成练习册中本课时练习.



用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同， 但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”.

第 3 课时 选择恰当的方法解二元一次方程组



【知识与技能】
1. 会根据方程组的具体情况选择适合的消元法.
2. 理解二元一次方程组的解的三种情况.
【过程与方法】
通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.
【情感态度】
通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法.
【教学重点】
会根据方程组的具体情况选择合适的消元法.
【教学难点】
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.



一、 情境导入，初步认识
1. 代入法解二元一次方程组的步骤是什么？
2. 加减法解二元一次方程组的步骤是什么？
3. 代入法、加减法的基本思想是什么？
4. 我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？
【教学说明】 既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
.









2. 观察上面的解题过程，回答下列问题：
（1） 代入法和加减法有什么共同点？
（2） 什么样的方程组用代入法简单？什么样的方程组用加减法简单？

【归纳结论】 ①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元” 为“一元”.
②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是 1 时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.
通过学生自学、对比、讨论、互帮互助，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法.
3. 计算下列方程组：





让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：
（1） 有唯一解；
（2） 无解；
（3） 有无穷多解.
让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？
（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系，必要时把它们乘一乘或者除一除.）




由上我们可以猜想：若方程组中 x,y 两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中 x,y 两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中 x,y 两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解.



三、运用新知，深化理解
1. 用恰当的方法解下列方程组：









2. 当 a、b 的取值满足什么情况时，关于 x,y 的方程组



（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无穷多解.


3. 已知关于 x,y 的二元一次方程 y=kx+b 的解有
（1） 求 k，b 的值.
（2） 当 x=2 时，y 的值.
（3） 当 x 为何值时，y=3.
4. 求适合 3x - 2 y = 6x + y = 1的 x，y 的值.
2 3
5. 在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错了方程组中的 b，而得解为.
（1） 甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？
（2） 求出原方程组的正确解.


【教学说明】 通过练习，使学生熟练地用代入法、加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.





（3） 分析：注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的.















.
2.解：由题意知

（1） 当 4 ≠ a
2 1
时,即 2a≠4 时，即 a≠2 时方程组有唯一解；

（2） 当 4 = a ≠ b 时,即 a=2 且 b≠8 时方程组无解；
2 1 4

（3） 4 = a
2 1
= b 时,即 a=2 且 b=8 时方程组有无穷多解. 4


















四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 36 页“习题 7.2”中第 1 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课是让学生学会根据方程组的具体情况选择合适的消元法.在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知” 的化归思想.因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析总结出在解二元一次方程组时，根据方程组的特点选择恰当的方法.

*7.3 三元一次方程组及其解法



【知识与技能】
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元” 方程来解决.
3. 能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
【过程与方法】
让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”、“加减”消元的方法.
【情感态度】
让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
【教学重点】
三元一次方程组的解法及“消元”思想.
【教学难点】
根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.



一、 情境导入，初步认识
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数， 我们来看下面的问题：
在足球比赛中，胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场及 0 分，勇士队参加
了 10 场比赛，共得 18 分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在比赛中胜、平、负的场次各是多少？
对于这个问题，我们可以用二元一次方程组来解决.这个问题中有三个未知数，如果我们设三个未知数，你能列出几个方程？它们组成一个方程组，你能解出来吗？

【教学说明】 通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题.
二、思考探究，获取新知
对于上面的问题，设胜、负、平的场次分别为x、y、z，分别将已知条件直接“翻译”出来，列出方程，并将它们写成方程组的形式，得：
ï
ìx + y + z = 10①
í3x + y = 18②
î
ïx = y + z③
像这样的方程组称为三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢？
回忆我们在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？你会用几种方法解二元一次方程组？
对于三元一次方程组，我们能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程求解.
将③代入①和②中得：



思考：上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解？或者能否利用方程
③，直接代入方程①中的 y+z？比较一下，哪种方法更简便？由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗？
【归纳结论】 解三元一次方程组的步骤：
1. 利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.
2. 解二元一次方程组.
3. 将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.
【教学说明】 结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程

组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路. 三、运用新知，深化理解
ì3x - y + 2z = 3
í
1. 解方程组ï2x + y - 4z = 11，若要使运算简便，消元的方法应选取( )
î
ï7x + y - 5z = 1
A.先消去 x B.先消去 y
C.先消去 z D.以上说法都不对

íï2kx + (k -1) y = 3
2.若方程组ìï4x + 3y = 1
î

的解x 和y 的值互为相反数,则k 的值等于( )

A.0 B.1 C.2 D.3






6. 有一个三位数，个位数字是百位数字的 3 倍，十位数字比百位数字大 5， 若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的 2 倍多 35，求原数.
7. 某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：




【教学说明】 检查学生是否掌握三元一次方程组的求解.
【答案】1.B 2.C 3.C









6. 解：设个位数字为 x，十位数字为 y，百位数字为 z，








7. 解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为 x 公顷，y 公顷，z 公顷，根据题意得
答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为 15 公顷，20 公顷，16 公顷. 四、师生互动，课堂小结
1. 三元一次方程组的概念.
2. 三元一次方程组的解法.注意选好要消的“元”，选好要消的“法”.
3. 谈谈求解多元一次方程组的思路.



1. 布置作业:教材第 41 页“习题 7.3”中第 1 、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



通过本节课的学习能让学生在本节课上了解到三元一次方程组的概念，掌握用“代入法”、“加减法”对三元一次方程组进行消元，并逐步领会如何选择适合的方法，以提高解题效率.原来本环节的目的是让学生熟练掌握三元一次方程组的解法和调动学生学习的积极性，但因为计算结果比较复杂，学生不敢肯定自己动手计算结果，从而影响了效果.

7.4 实践与探索



【知识与技能】
1. 通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力.
2. 学会用二元一次方程组解决简单的实际问题.
【过程与方法】
通过学生积极思考、互相讨论，探索事物之间的数量关系，形成方程模型.
【情感态度】
通过在解决实际问题的过程中，同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的意识.
【教学重点】
1. 学生积极参与讨论和探究问题；
2. 抽象出数学模型.
【教学难点】
用二元一次方程组解决简单的实际问题.



一、 情境导入，初步认识
通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗?其中什么是关键?
【教学说明】 采用提问的形式，让学生对列二元一次方程组解决实际问题的步骤进行复习，为本节课作铺垫.
二、 思考探究，获取新知
问题 1：要用 20 张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做 2 个侧面，或者 3
个底面，如果 1 个侧面和 2 个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？

请同学们独立思考,试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题进行方法.
学生有困难，教师可加以引导：
1.本题有哪些已知量？ (1)共有白卡纸 20 张；
(2) 一张白卡纸可以做盒身 2 个或盒底盖 3 个；
(3) 1 个盒身与 2 个盒底盖配成一套. 2.求什么？
用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？
3. 若设用 x 张白卡纸做盒身，y 张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？ 盒底盖多少个？（2x 个盒身，3y 个盒底盖）
4. 找出 2 个等量关系.
(1) 用做盒身的白卡纸张数+用做盒底盖的白卡纸张数=20；


(2) 由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的 2 倍，才能使盒身与盒底盖正好配套.
由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成 16 个包装盒，无法全部
利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用 8 张半
做盒身，11 张半做盒底盖，可以做成盒身 17 个，盒底盖 34 个，正好配套成 17
个包装盒，较充分地利用了材料.
问题 2：小明在拼图时，发现 8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红拼成如下图所示的正方形，但中间还留有一个边长刚好为 2mm 的小正方形，你能解释一下吗？你能求出这些长方形的长和宽吗？



1. 观察小明的拼图你能发现小长方形的长 xmm 与宽 ymm 之间的数量关系吗？
（根据矩形的对边相等，得 3x=5y）
2. 再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长 xmm 与宽 ymm 之间的另一个关系式吗？
(显然有 x+2=2y)
.
8 个小矩形的面积和=8xy=8×10×6=480(mm2)； 大正方形的面积=(x+2y)2=(10+2×6)2=484(mm2)； 484-480=4（mm2）=22(mm2)
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2mm 的小正方形.
【教学说明】 在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励.鼓励学生进行质疑和大胆创新.
三、运用新知，深化理解
1. 一个长方形，它的长减少 1cm，宽增加 3cm，可得到一个正方形，其面积比原来的长方形面积大 21cm2.求原来长方形的长与宽各是多少厘米？
2. 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为 5∶4，第二个长方形的长与宽之比为 3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大 112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的 2 倍还大 6cm，求这两个长方形的面积.
3. 如图：用 8 块相同的长方形拼成一个宽为 48 厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？




4. 某纸品厂为了制作甲、乙两种长方形无盖小盒(图 1)，利用边角料裁出长方形和正方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(图 2).现用 300 张长方形硬纸片和 150 张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可做甲、 乙两种小盒各多少个？
【教学说明】 通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.
【答案】1.分析：本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少 1cm，宽增加 3cm，就可得到一个正方形，据此有相等关系“原长方形的长-1=原长方形的宽+3”，而所得的正方形比原来的长方形面积大 21cm2.据此又可以得相等关系“所得正方形的面积-原来的长方形的面积=21”.
解：设原来长方形的长为 xcm，宽为 ycm，根据题意，得



答：原来长方形的长与宽分别是 10cm,6cm.
2.解:设第一个长方形的长与宽分别为 5xcm 和 4xcm，第二个长方形的长与

宽分别为 3ycm 和 2ycm，根据题意，得



答：这两个长方形的面积分别为 1620 cm2,150 cm2. 3.解：设小长方形的长是 x 厘米，宽是 y 厘米.

答：小长方形的长是 36 厘米，宽是 12 厘米.
4.解：设可做甲种小盒 x 个，可做乙种小盒 y 个.根据题意可得：




答：可做甲种小盒 30 个可做乙种小盒 60 个. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 43 页“习题 7.4”中第 1 、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程， 什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便.再通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.教学效果较好.

章末复习



【知识与技能】
1. 使学生对二元一次方程、二元一次方程的解，二元一次方程组以及二元一次方程组的解有进一步理解，能熟练准确地用代入法和加减法解二元一次方程组、三元一次方程组；
2. 能较熟练地列出一次方程组解简单的应用题.
【过程与方法】
在通过归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.
【情感态度】
进一步培养学生快速准确的计算能力，进一步渗透“转化”的思想方法.
【教学重点】
一元一次方程组的解法.
【教学难点】
灵活运用一元一次方程组的解法.



一、知识框图，整体把握



【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1. 二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且含有未知数的 是
的方程叫做二元一次方程.理解二元一次方程时特别强调注意：（1）二元

一次方程左右两边的代数式必须是 ；（2）二元一次方程必须只含有 个未知数.
2. 二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值 的一对未知数的值叫做二元一次方程的解.在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值.因此， 任何一个二元一次方程都有 个解.
3. 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
4. 二元一次方程组的解法：（1） 消元法； （2） 消元法.
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法.
5. 三元一次方程组的解法：
先利用代入法或加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.再解二元一次方程组.最后将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.
6. 解决实际问题的过程：
（1） 审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；
（2） 设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x、y，设未知数要带好单位名称）；
（3） 找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；
（4） 列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；

（5） 解：解所列方程组，得未知数的值；
（6） 答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）. 归纳为 6 个字：审，设，找，列，解，答.
【教学说明】 从总体上把握本章主要内容及其间的联系，重在回顾整理， 查缺补漏.
三、典例精析，复习新知
ì y = 1- x
î
例 1 用代入法解方程组íx - 2 y = 4 时，代入正确的是（C）
A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4 C.x-2+2x=4 D.x-2+x=4


ìx = -1
î
例 2 已知í y = 0
ìx = 2
î
和í y = 3 都是方程 y=ax+b 的解，则 a 和 b 的值是（B）





íïkx + (k -1) y = 6
例 3 若方程组ìï4x + 3y = 14
î

的解中 x 与 y 的值相等，则 k 为（C）

A.4 B.3 C.2 D.1
例 4 解下列方程组














例 5 若(x-2y-4)2-(2y+z)2+|x-4y+z|=0，则 2x+y-z 等于多少.
例 6 A、B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发.同向而行时,甲车 3 小时可追上乙车；相向而行时，两车 1.5 小时相遇，求甲、乙两车的速度.
分析：这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；有两个相等的关系：
(1) 同向而行：甲车 3 小时的行程=乙车 3 小时的行程+150 千米；
(2) 相向而行：甲车 1.5 小时的行程+乙车 1.5 小时的行程=150 千米. 解：设甲车的速度为 x 千米/小时，乙车的速度为 y 千米/小时.
.
答：甲车的速度为 75 千米/小时，乙车的速度为 25 千米/小时. 四、复习训练，巩固提高

íax + 5 y = 4
1. 已知方程组ì5x + y = 3
î
ìx - 2 y = 5
和í 有相同的解，则 a，b 的值为（D）
î5x + by = 1



í y = b
2. 已知二元一次方程 3x+y=0 的一个解是ìx = a ，其中 a≠0，那么（C）
î
A. ba>0 B.ba=0 C.ba<0 D.以上都不对3.如图（1），宽为 50cm 的矩形图案由 10 个全等的小长方形拼成，其中一个


小长方形的面积为（A）
A.400 cm2 B.500 cm2 C.600 cm2 D.4000 cm2


ímx - 20 y = -224
4. 方程组ìax + by = 62
î
ìx = 11
ìx = 8
î
的解应为í y = 10

, 但是由于看错了系数 m，而得

î
到的解为í y = 6
, 求 a+b+m 的值.




5. 某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐 45 人，那么有

15 个学生没车坐；如果每辆车坐 60 人，那么可以空出一辆车.问共有几辆车，几个学生？
解：设有 x 辆车，y 个学生，则



答：有 5 辆车，240 个学生.
6. 欣欣有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计 68 万元，每年需付出利息 8.42 万元.甲种贷款每年的利率是 12％，乙种贷款每年的利率是 13％， 求这两种贷款的数额各是多少？
解：设甲种贷款 x 万元，乙种贷款 y 万元，则



答:甲种贷款 42 万元，乙种贷款 26 万元.
7. 小花服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知 3 米长的布料可做上衣
2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 600 米长的这种布料生产， 应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？
解：设用 x 米布料生产上衣，y 米布料生产裤子才能配套，则



答：用 360 米生产上衣，240 米生产裤子才能配套，共能生产 240 套.
8. 某商场以每件 a 元购进一种服装，如果规定以每件 b 元卖出，平均每天卖出 15 件，30 天共获利润 22500 元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价 20%
卖出，结果平均每天比降价前多卖出 10 件，这样 30 天仍可获利润 22500 元，试求 a、b 的值.
分析：本题要求 a、b 的值，只要根据条件列出一个关于 a、b 的二元一次方程组，题中的相等关系为“降价前每件售价与进价的差乘以降价前售出的件数= 利润”；“降价后每件售价与进价的差乘以降价后售出的件数=利润”；“降价后售价=降价前售价×(1-20%)”；“降价后每天售出的件数=降价前每天售出的件数
+10”.利用这些关系可表示相应量并列出关于 a、b 的方程组.

解：根据题意，得



答：a=50,b=100.
【教学说明】 通过实际应用的例题来分析所学知识进行巩固提高. 五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你有哪些收获？



1. 布置作业:教材第 46 页“复习题”中第 2、7、9、10 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



通过课堂上的教学实践，我认为我的教学设计还是比较合理的，基本上达到预期目标，学生通过一节课的复习，进一步明确了二元一次方程组及其解的有关概念，对于二元一次方程组的解法更熟练准确了，对于不太复杂的应用性题目学生均能解决，但对于难度较大的应用性题目，学生的分析能力还有待于进一步提高.通过这一节的教学，我有许多感触，事实上，学生的潜能是不可低估的，教师应进一步大胆放手，给学生充分的自由空间，让他们去探索、去研究，这样他们的求知欲望反而会更强烈，积极性和主动性自然会大大提高.

第 8 章 一元一次不等式


8.1 认识不等式
【知识与技能】
1. 能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.
2. 正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
3. 理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否是某个不等式的解.
【过程与方法】
通过由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
【情感态度】
使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获.
【教学重点】
理解并会用不等式表达数学量之间的关系，知道不等式的解的意义.
【教学难点】
不等号的准确应用；不等式的解.



一、 情境导入，初步认识
世纪公园的票价是：每人 5 元；一次购票满 30 张，每张可少收 1 元.某班有
27 名少先队员去世纪公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买 27 张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买 30 张票.但有的同学不明白， 明明我们只有 27 个人，买 30 张票，岂不是“浪费”吗？
那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？
【教学说明】通过实际问题的导入，提高了学生的学习兴趣. 二、思考探究，获取新知

1. 小华和小敏两人的建议，到底谁的比较合算呢？为什么?
同学们的探索过程如下:
小华：买 27 张票，付款：5×27=135(元);
小敏：买 30 张票，付款：4×30=120(元).
显然 120<135.
这就是说，买 30 张票比买 27 张票付款要少，表面上看是“浪费”了 3 张票， 而实际上节省了.
2. 我们只用 120 元就买了 30 张票，买 30 张票，我们不仅省钱，而且多买了
票，那么剩下的 3 张票如何处理呢？
【教学说明】发散性思维训练和思想教育水到渠成.
3. 买 30 张票比买 27 张票付的款还要少，这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少？
4. 至少要有多少人去参观，多买票反而合算呢？能否用数学知识来解决？ 设有 x 人要进世纪公园，如果 x≧30，显然按实际人数买票，每张票只要付
4 元.如果 x<30，那么：
按实际人数买票 x 张，要付款 5x（元） 买 30 张票，要付款 4×30＝120（元） 如果买 30 张票合算，那么应有
120<5x
现在的问题就是：x 取哪些数值时，上式成立？
前面已经算过，当 x＝27 时，上式成立.让我们再取一些值试一试，将结果填入课本 P51 页的表格中.
由上表可见，当 x＝ 时，不等式 120<5x 成立.也就是说，少于 30 人时， 至少要有 人进公园时，买 30 张票反而合算.
【归纳结论】像上面出现的 120<135，x<30，120<5x 那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式.
不等式 120<5x 中含有未知数 x.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
【教学说明】通过学生的亲自计算，从而自己得出不等式的概念和不等式的

解.
三、运用新知，深化理解
1. 见教材第 52 页例题
2.有下列数字表达式，（1）3x+4y<0,(2)y≠3,(3)2a+3 于不等式的有（ ）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
3. 下列按要求列出的不等式中正确的是( ) A.“a 不是负数”即 a>0
B. “b 是不大于零的数”即 b<0
C. “m 是不小于-2 的数”即 m>-2
D. “P+Q 是正数”即 P+Q>0
4.下列各数:0，-3，3，4,-0.5，-20 ,-0.4 中, 是方程 x+3=0 的解； 是不等式 x+3＞0 的解； 是不等式 2x+3＜x 的解.
5. 用不等式表示.

(1) x 的 2
3
与 5 的差小于 1;

(2) x 与 6 的和大于 9;
(3) 8 与 y 的 2 倍的和是正数;
(4) a 的 3 倍与 7 的差是负数;
(5) x 的 3 倍大于或等于 1;
(6) x 与 5 的和不小于 0.
6. 下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.
（1） “2x 与 1 的和是负数”用不等式表示为：2x+1＜0；
（2） “a 与 b 的差是非负数”用不等式表示为：a-b＞0；
（3） “a 的 2 倍与 4 的差不小于 5”用不等式表示为：2a-4＞5；
（4） “x 的相反数与 3 的和是正数”用不等式表示为：3-x＞0. 7.当 x 取下列数值时,1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5,不等式 x+3<6 是否成立?


【教学说明】通过学生做题情况，了解他们列不等式的掌握情况，通过分析错误，提出容易犯错的地方，及时巩固新知识.
【答案】2.C 3.D 4.-3 0,3,4,-0.5,-0.4 -20

5.(1)解：x 的 2
3
与 5 的差小于 1”就是 2 x-5<1.
3

(2) 解：x 与 6 的和大于 9”就是 x+6>9.
(3) 解：“8 与 y 的 2 倍的和是正数”就是 8+2y>0. (4)解：“a 的 3 倍与 7 的差是负数”就是 3a-7<0. (5)解：“x 的 3 倍大于或等于 1”就是 3x≥1.
(6)解：“x 与 5 的和不小于 0”就是 x+5≥0.
6.解:（1），（4）正确；（2）（3）错误,改正如下：（2）因为非负数即≥0,可改为:a-b≥0；（3）因为不小于 5 即≥5,可改为:2a-4≥5.
7.解：将 1,0,-2.5,-4,3.5,4,4.5 分别代入 x+3 的值分别为 4,3,0.5,-1,6.5,7,7.5,其中只有 4,3,0.5,-1 小于 6.
∴上述各数中,只有 1,0,-2.5,-4 可使不等式 x+3<6 成立, 当 x 取 3.5,4,4.5 时,不等式 x+3<6 不成立.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

1. 布置作业:教材第 52 页“习题 8.1”中第 1 、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节教学过程中，始终通过师生互动，鼓励学生积极思考，努力探索，合作交流，关注学生能否发现问题，提出问题，能否敢于发表自己的见解，吸取正确的见解；关注学生学习过程中表现的学习习惯、个性品质、情感态度等. 通过游戏、分组竞赛等激发学生的积极性，培养团队精神.通过例题和闯关游戏，检测学生学习情况，及时反馈调节；通过不同层次的变式题，评价各层学生的学习效

果，增强学习信心.留给学生思考、探究的时间和空间.对学生回答是否正确、全面都给予及时的肯定和鼓励，时刻注意激发学习内驱力，确保学生学得更多、更快、更好！总之，本节教学既贴近生活，又超越生活，既努力从生活中来，又努力到生活中去，实现了：生活世界、数学世界、教学世界的融会贯通！

8.2 解一元一次不等式


1. 不等式的解集
【知识与技能】
1. 使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式.
2. 使学生能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想.
【过程与方法】
1. 通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念.
2. 教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集.
【情感态度】
通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系， 体验数学活动充满探索性与创造性.
【教学重点】
1. 认识不等式的解集的概念.
2. 将不等式的解集表示在数轴上.
【教学难点】
不等式的解集的概念.



一、 情境导入，初步认识
1. 用不等式表示：
（1）x 的 12 与 3 的差是正数；
（2）2x 与 1 的和小于 0；
（3）a 的 2 倍与 4 的差是正数；
（4）b 的-12 与 1 的和是负数；
（5）a 与 b 的差是非正数；
（6）x 的绝对值与 1 的和不小于 1.
2. 下列各数中，哪些是不等式 x+2>5 的解？哪些不是？

3，-2，-1，0，1.5, 3，3.5 ,5,7.
【教学说明】通过对上节课内容的复习巩固，为本节课的学习作准备. 二、思考探究，获取新知
在上一节“习题 8.1”第 2 题中，我们发现 3.5,5,7 都是不等式 x ＋2>5 的解. 由此可以看出，不等式 x＋2>5 有许多个解.
进而看出，大于 3 的每一个数都是不等式 x＋2>5 的解，而不大于 3 的每一个数都不是不等式 x＋2>5 的解.由此可见，不等式 x＋2>5 的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式 x＋2>5 的解集.
【归纳结论】一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集；
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.不等式 x＋2>5 的解集，可以表示成
x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示.





同样，如果某个不等式的解集为 x≤-2，也可以在数轴上直观地表示出来， 如图所示.




观察讨论：这两条折线所指的方向为什么不同？它们有什么规律吗？数轴上空心的圆点和实心的圆点是什么意义？
【归纳结论】不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边.当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≥”“≤”时用实心圆圈.
【教学说明】学生自己观察总结规律，锻炼了学生的概括归纳能力. 三、运用新知，深化理解
1. 方程 3x=6 的解有 个，不等式 3x<6 的解有 个.
2. 判断题.
（1） x=2 是不等式 4x<9 的一个解；
（2） x=2 是不等式 4x<9 的解集；

（3） 不等式 4x<9 的解集是 x<2；
（4） 不等式 4x<9 的解集是 x< 9
4
3. 将下列不等式的解集在数轴上表示出来.

（1）x< 2 1
2
（2）x≥-2（3） -2 1
2

【教学说明】进一步巩固所学知识，感受新知识的用途.
【答案】1.解：方程 3x=6 的解只有 1 个，即 x=2. 不等式 3x<6 的解有无数个，其解集为 x<2，其中非负数整数解有两个, 即 x=0，x=1.
2.解：（1）正确.因为当 x 用 2 代替时，不等式 4x<9 成立.
（2）错误.因为 x=2 仅仅是不等式 4x<9 的一个解，不能称为该不等式的解集.（3）错误.因为解集 x<2 不是不等式 4x<9 的所有解的集合.

（4）正确.因为 x< 9
4
是不等式 4x<9 的所有的解组成的集合.




四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以
补充.



1. 布置作业:教材第 61 页“习题 8.2”中第 2、3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课属于一节概念课，我按照“情境诱导—学生自学—展示归纳—巩固练习”的步骤进行.但从教学中来看，部分学生不会自学，个别学生不积极参与到小组活动之中.
通过本节课的教学让我深深认识到，作为一名数学教师，要想让自己的学生

出类拔萃，一要在平时培养学生的自学习惯，自学能力，表达能力，教师就要舍得时间，不能急躁.



2.不等式的简单变形
【知识与技能】
1. 通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质.
2. 教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法.
3. 在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系.
【过程与方法】
1. 通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论.
2. 通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质（加法性质）.
【情感态度】
通过在教学中发挥学生的主体作用，加深在学习中“转化”思想的渗透.
【教学重点】
掌握不等式的三条基本性质.
【教学难点】
正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形.


一、 情境导入，初步认识
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质一：在等式的两边都或（ ）同一个或，等式仍然成立. 等式的基本性质二：在等式的两边都或（ ）同一个，等式仍然成立.
请同学们大胆地猜想一下不等式有哪些基本性质？解一元一次方程有哪些基本步骤呢？一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类同呢？
【教学说明】通过复习等式性质以旧引新，为新知识的学习和应用作好铺垫， 为下一步的类比、联想提供必要的生长点.
二、思考探究，获取新知
在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形.在研究解不等式时，我

们同样应先探究不等式的变形规律.


如图所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为 a 和 b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码 c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即 a＋c>b＋c）.
【归纳结论】不等式的性质 1：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c，a-c>b-c.
这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变.
思考：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
试一试：将不等式 7>4 两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”， “>”或“＝”填空：



……
从中你能发现什么？
【归纳结论】不等式的性质 2：如果 a>b，并且 c>0，那么 ac>bc.
不等式的性质 3：如果 a>b，并且 c<0，那么 ac
这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成 x>a 或 x 【教学说明】让学生参与知识的形成过程的学习，有利于培养学生动手实践， 积极探索的科学学习方法，有利于培养学生的良好学习习惯和严谨的学习态度， 有利于发展学生的直觉思维、形象思维和逻辑思维能力，有利于培养学生的独立钻研、相互交流和共同协作的科学态度，符合新课标的思想.
三、运用新知，深化理解
1. 见教材第 57 页例 1、例 2.
2. 已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系是（ ）
A. a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>b>-a>-b D.a>-b>b>-a
3. 如果 a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是（ ）
A.a-d>b-c
B. a > b c d
C.a+c>b+d D.ac>bd
4. 给出下列命题，其中正确的是( )



A. ①② B.②③ C.②③④ D.①②③④

5.设 a>b>1，



则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A.y1 6.在 上填上适当条件，使下列命题成立：
（1） 若 a>b 且 ，则 ac≤bc；
（2） 若 a>b>0 且 ，则 ac>bd；
（3）若 a>b 且 ， 则 1 ＜ 1 ；
a b
（4）若 a>b 且，则 a(c-1)2>b(c-1)2.
7.解不等式：（1）x-7>26；(2)-8x<10
【教学说明】让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深， 在拓展题中得到升华.
【答案】2.D 3.B 4.C 5.C
6.解：(1)c≤0;(2)c>d>0;(3)ab＞0;(4)c≠1
7.(1)解：不等式两边都加上 7,不等号的方向不变，所以x-7+7>26+7 x>33；
(2)解：不等式两边都除以-8，不等号的方向要改变，所以
-8x÷ (-8) >10÷ (-8) x> - 5 .
4
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 58 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



新知识的生成，总觉得不是很到位.由于没有亲自组织学生对新知识的由特殊到一般的探究过程，学生对不等式的性质的归纳总结到底处于一个什么层次， 心里总是没有个底，从前面的回答来看，学生直接拿结论的现象比较严重，我们都很重视学生对新知识的学习方法，为此，我也一再要求学生自学，本课在学生学习方法的指导上，丢下了这方面的指导和检查.

3. 解一元一次不等式


第 1 课时 一元一次不等式的解法(1)
【知识与技能】
1. 掌握一元一次不等式的概念.
2. 体会解不等式的步骤，体会数学学习中比较和转化的作用.
3. 用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握.
【过程与方法】
通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用导入对解不等式的讨论.
【情感态度】
通过类比一元一次方程的解法，从而更好的掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义思想.
【教学重点】
掌握一元一次不等式的解法.
【教学难点】
掌握一元一次不等式的解法.



一、 情境导入，初步认识
1. 不等式的三条基本性质是什么？
2. 一个方程是一元一次方程的三个条件是什么？
3. 解一元一次方程的一般步骤是什么？
4. 如何来解一元一次不等式呢？
【教学说明】既能对以前所学内容复习，又能给本节课的教学打好基础. 二、思考探究，获取新知
观察下列不等式： ①x-7≥2 ②3x＜2x+1
③ 1 x≤5 ④-4x＞8 3
它们有什么共同点？你能借鉴一元一次方程给它下个定义吗？

【归纳结论】只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.我们再来解一些一元一次不等式.
例：解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）2x-1<4x＋13；
（2）2（5x＋3）≤x-3（1-2x）. 解:（1）2x-1<4x＋13，
2x-4x<13＋1，
-2x<14， x>-7.
它在数轴上的表示如图



（2）2（5x＋3）≤x-3（1-2x），
10x＋6≤x-3＋6x，
3x≤-9， x≤-3.
它在数轴上的表示如图



通过上面 2 题的解题过程，并类比解一元一次方程的一般步骤，总结解一元一次不等式的步骤.
【归纳结论】解一元一次不等式的步骤：
1. 去括号；
2. 利用不等式的性质移项；
3. 合并同类项；4.系数化为 1.
【教学说明】解方程和不等式问题由简单到复杂，循序渐进.通过解一元一次方程与解一元一次不等式的类比让学生发现解一元一次方程与解一元一次不等式的区别和联系，实现解方程到解不等式的正迁移.
三、运用新知，深化理解

1. 若关于x 的不等式（m+1）x＜1+m 的解集是x＜1，则满足的条件是 .
2. 解下列不等式.
（1）3x+2＜2x-5
（2）3（y+2）-1≥8-2（y-1）
（3）2（2x+3）＜5（x+1）
（4）3［x-2(x-2)］＞x-3(x-2)
3. 已知方程 ax+12=0 的解是 x=3，求不等式（a+2）x＜-6 的解集.
4.已知 3x+4≤6+2（x-2），则|x+1|的最小值是多少？
5. 关于 x 的一元一次方程 2（x-m）=4+x 的解是非负数，则 m 的取值范围是多少？
6. 已知不等式 x+8＞4x+m（m 是常数）的解集是 x＜3，求 m.
【教学说明】使学生由点到面、进而掌握解一元一次不等式的方法，并能解决具体的数学问题.
【答案】
1.解：∵点 M（1，2a-1）在第四象限内，∴2a-1＜0，解得：a<1
2.
1.解：（m+1）x＜1+m，
∵x＜1，∴m+1＞0，
∴m＞-1.
2.(1)解：移项得：3x-2x＜-5-2
合并同类项得：x＜-7
所以，不等式的解集为 x＜-7.
(2)解：去括号得：3y+6-1≥8-2y+2
移项得：3y+2y≥8+2+1-6 合并同类项得：5y≥5
系数化为 1 得：y≥1
所以，不等式的解集为 y≥1. (3)解：去括号得：4x+6＜5x+5 移项得：4x-5x＜5-6

合并同类项得：-x＜-1 系数化为 1 得：x＞1
所以，不等式的解集为 x＞1.
(4)解：去括号得：3x-6x+12＞x-3x+6
移项得：3x-6x-x+3x＞6-12 合并同类项得：-x＞-6
系数化为 1 得：x＜6
所以，不等式的解集为 x＜6.
3.解：由 ax+12=0 的解是 x=3， 得 a=-4.
将 a=-4 代入不等式（a+2）x＜-6， 得（-4+2）x＜-6，
所以 x＞3.
4.解：3x+4≤6+2x-4，
3x-2x≤6-4-4， 解得 x≤-2.
∴当 x=-2 时，|x+1|的最小值为 1. 5.解：去括号得 2x-2m=4+x，
移项得 x=2m+4，
∵x≥0，
∴2m+4≥0，
∴m≥-2.
6.解：因为 x+8＞4x+m，

所以 x-4x＞m-8，-3x＞m-8，x＜ - 1 m-8）.因为其解集为 x＜3，所以- 1


m-8）

（ （
3 3
=3.解得 m=-1.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.



1. 布置作业:教材第 61 页“习题 8.2”中第 1、4 题.

2. 完成练习册中本课时练习.



在教学过程中，由于通过简单的类比解方程，学生很快掌握了解不等式的方法，而且对比起方程，不等式题目的形式较简单，计算量不大，所以能引起学生的兴趣.但是部分学生在作业中存在以下问题：由于没有结合不等式的性质，认真分析解方程与解不等式的区别：在两边同时乘以或者除以负数时，不等号忘记改变方向.



第 2 课时 一元一次不等式的解法(2)
【知识与技能】
较熟练的解一元一次不等式，熟练掌握去分母，会求不等式的整数解.
【过程与方法】
运用类比的方法来探索解一元一次不等式的一般步骤，获得分析问题和解决问题的方法.
【情感态度】
在解一元一次不等式的数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重点】
归纳掌握含有分母的一元一次不等式的解题方法.
【教学难点】
掌握含有分母的一元一次不等式的解法.



一、 情境导入，初步认识
1. 解一元一次不等式的步骤？
2. 解下列不等式
-4x≥-16
-3x-10≥2x 3(x+2)<4(x-1)+7
3. 如果在含有分母的一元一次方程中如何去分母呢？
【教学说明】回顾解一元一次不等式的步骤，为去分母解一元一次不等式作铺垫.


二、思考探究，获取新知例：解不等式

，并把解集表示在数轴上.
讨论：如何去不等式中的分母.
解：去分母得：2（2x-1）-（9x+2）≤6， 去括号得：4x-2-9x-2≤6，
移项得：4x-9x≤6+2+2， 合并同类项得：-5x≤10，
把 x 的系数化为 1 得：x≥-2.





【教学说明】系数化为 1 时，不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变.
经过对例题的分析，你能根据解一元一次方程的步骤，总结对含有分母的一元一次不等式的解答步骤吗？
【归纳结论】步骤有：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化 1.
三、运用新知，深化理解
1. 见教材第 59 页例 4.
2. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来.








6.若关于 x 的不等式（2a-b）x+a-5b＞0 的解集是 x< 10
7
，那么关于 x 的不

等式（a-b）x＞ 1 b 的解集是多少？
3
【教学说明】通过做题，掌握解一元一次不等式的一般步骤.
【答案】2.解：去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60， 整理，得-27x≥-54，
系数化为 1，得 x≤2.
解集在数轴上表示为：






去分母，得 2（x+4）-3（3x-1）＞6
去括号 得 2x+8-9x+3＞6
整理得 -7x+11＞6-7x＞-5
系数化为 1 得 x< 5 .
7
解集在数轴上表示为：



3.解：2x-3≤5（x-3），
去括号，得 2x-3≤5x-15， 移项，得 3x≥12，
即 x≥4；



去分母得 y-1-2y-2＞6， 解得 y＜-9；
所以 x＞y.



5.解：解关于 x 的一元一次方程 x - k +1=5 得，x=8+k，∵关于 x 的一元
2
一次方程 x - k +1=5 的解大于 2，∴8+k＞2，解得 k＞-6.
2
6.解：∵（2a-b）x+a-5b＞0 的解集是，




四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.






3.完成练习册中本课时练习.



在教学过程中，由于通过简单的类比解方程，学生很快掌握了解不等式的方法，但也应该强调：
① 解一元一次不等式的步骤中的去分母和未知数的系数化 1 这两步，若乘数或除数是负数，要改变不等号的方向；
② 一元一次不等式的解集中含有无限多个数；
③ 在解题过程中，要避免解方程中易出现的错误在解不等式中重犯；
④ 对于一元一次不等式的解法步骤，在解题时，要做到灵活运用.



第 3 课时 列一元一次不等式解决实际问题
【知识与技能】
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题.
【过程与方法】
通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系.
【情感态度】
在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识
一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯.
【教学重点】
寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型.
【教学难点】
弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式.



一、 情境导入，初步认识
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有 20 道题，对于每一道题，答对
得 10 分，答错或不答扣 5 分，总得分不少于 80 分者通过预选赛.育才中学有 25
名学生通过了预选赛，通过者至少答对了多少道题？有哪些可能的情形.
【教学说明】通过实际问题的导入，引出了学生的求知欲，提高了的学习兴趣.同时，问题的提出，让学生感受学习数学知识的重要性.
二、思考探究，获取新知
讨论：（1）试解决这个问题（不限定方法）.你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下.
（2）如果利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后， 如何给出原问题的答案？应该如何表述？
分析：如果用不等式，必须找出不等关系.根据题意可知，答对题的得分减

去答错题的扣分大于或等于 80 分.所以这个问题的关键是表示出答对的题数和答错或不答的题数.
解：设通过者答对了 x 道题，答错或不答的题有（20-x）道，根据题意可得，
10x-5（20-x）≥80
解得：x ≥12
所以，通过者至少要答对 12 道题.
你能类比列一元一次方程解决实际问题的方法，总结出列不等式解决实际问题的步骤吗？
【归纳结论】用一元一次不等式解决实际问题的步骤：(1)审题，找出不等关系； (2)设未知数；(3)列出不等式；(4)求出不等式的解集； (5)找出符合题意的值； (6)作答.
【教学说明】向学生渗透类比的思想.同时锻炼了学生的归纳能力. 三、运用新知，深化理解
1. 毛笔每枝 2 元，钢笔每支 5 元，现有的购买费用不足 20 元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是 ( )
A.5 枝毛笔，2 枝钢笔
B.4 枝毛笔，3 枝钢笔
C.0 枝毛笔，5 枝钢笔
D.7 枝毛笔，1 枝钢笔
2. 某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压， 商店准备打折出售，但要保持利润率不低于进价 5％，则至多可打()
A.6 折
B.7 折
C.8 折
D.9 折
3. 某市的一种出租车起步价为 7 元，起步路程为 3 km(即开始行驶路程在 3
km 以内都需付 7 元)，超过 3 km，每增加 1 km 加价 2.4 元(不足 1 km 以 1 km 计
价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费 14.2 元，问从甲地到乙地的路程最多是多少?

4. 某工人计划在 15 天内加工 408 个零件，最初三天中每天加工 24 个.问以后每天至少加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？
5. 在比赛中，每名射手打 10 枪，每命中一次得 5 分，每脱靶一次扣 1 分，
得到的分数不少于 35 分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？
6. 某花农培育甲种花木 2 株，乙种花木 3 株，共需成本 1700 元；培育甲种花木 3
株，乙种花木 1 株，共需成本 1500 元. （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1 株甲种花木售价为 760 元，1 株乙种花木售价为540 元.若培育乙种花木的株数是甲种花木的 3 倍还多 10 株，那么要使总利润不
少于 21600 元，花农应该种甲、乙两种花木各多少株？
【教学说明】通过本题的练习，让学生进一步体会到数学知识在生活中的应用，树立学生学好数学的信念.
【答案】1.D 2.B
3.解：设从甲到乙地的路程为 x km，则由题意，可得
7＋2.4（x-3)≤ 14.2,
解得 x≤6.
所以从甲到乙地的路程为乙地的路程最多是 6 km.
.4.分析：所谓“超额完成任务”，就是前后两个阶段完成的工作总量应大于 408 个.因为是超额完成.
不等关系：前三天的工作量+后 12 天的工作量＞408 个. 解：设后面每天加工 x 个零件，则24×3+（15—3）x＞408
12x＞336，x＞28，
那么每天加工的个数应大于 28 个，才能超额完成任务. 5.解：设命中 x 次，脱靶（10-x）次，则
5x-(10-x)≥35
6x≥45，
因为 x 为整数，所以x=8.
答：至少要中靶 8 次.
6.解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为 x 元和 y 元.由题意得：



（2）设种植甲种花木为 a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株.则有：
（760-400）a+（3a+10）×240≥21600
解得：a≥ 160
9
由于 a 为整数，且取最小值所 以 ，a=18 3×18+10=64（株）
答：花农应该种甲、乙两种花木各 18 株 、64 株. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 61 页“习题 8.2”中第 6 、7 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课是在学习不等式的概念、性质及其解法和运用一元一次方程（或方程组）解决实际问题等知识的基础上，利用不等式解决实际问题.这既是对已学知识的运用和深化，又为今后在解决实际问题中提供另一种有效的解决途径.通过实际问题的探究，让学生学会列一元一次不等式，解决具有不等关系的实际问题. 经历由实际问题转化为数学问题的过程，掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程.促进学生的数学思维意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息， 愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用.同时向学生渗透由特殊到一般、类比、建模和分类考虑问题的思想方法.

8.3 一元一次不等式组


第 1 课时 解一元一次不等式组（1）
【知识与技能】
1. 了解一元一次不等式组及其解集的概念.
2. 探索不等式组的解法及其步骤.
【过程与方法】
通过对典型例题的分析，加深对解一元一次不等式组的认识.
【情感态度】
通过数轴表示不等式组的解集，渗透数形结合这一重要的思想方法.
【教学重点】
1. 一元一次不等式组的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的情况.
2. 一元一次不等式组的解法.
【教学难点】
一元一次不等式组的解法.



一、 情境导入，初步认识
1. 什么叫一元一次不等式？
2. 求解一元一次不等式的步骤是什么?
3. 解下列不等式，并把解集在数轴表示出来.
（1）3x-2>1-x
（2）4+x<2x+16
【教学说明】对一元一次不等式的有关知识进行复习，为一元一次不等式组的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
问题：用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积
存的污水不少于 1200 吨且不超过 1500 吨，那么需要多少时间能将污水抽完？ 分析：设需要 x 分钟能将污水抽完，那么总的抽水量为 30x 吨，由题意可知





在这个实际问题中，未知量 x 应同时满足这两个不等式，我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：

分别求这两个不等式的解集，得



在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，可知其公共部分是 40 和 50 之间的数（包括 40 和 50），记作 40≤x≤50.这就是所列不等式组的解集.
所以，需要 40 到 50 分钟能将污水抽完.
【归纳结论】不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.


解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，利用数轴可以帮我们得到一元一次不等式组的解集. 探究：设 a、b 是已知实数，且 a＞b，在数轴上表示下列不等式组的解集.




你能归纳其规律吗？
【归纳结论】皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.
【教学说明】教师应尽量引导学生自主探究完成，教师最后做出总结三、运用新知，深化理解
1. 不等式组 3x-1>28-4x≤0 的解集在数轴上表示为（ ）



2. 解集如图所示的不等式组为（ ）



3. 将一筐橘子分给几个儿童，若每人分 4 个，则剩下 9 个橘子；若每人分 6
个，则最后一个孩子分得的橘子将少于 3 个，则最少有 个儿童， 个橘子.
4. 在△ABC 中，三边为 a、b、c,
（1） 如果 a=3x，b=4x，c=28，那么 x 的取值范围是 ；
（2） 已知△ABC 的周长是 12，若 b 是最大边，则b 的取值范围是 ；




（3）|a+b+c|-|b-c-a|-|c-a+b|+|b-a-c|= . 5.解不等式组，并把解集表示在数轴上.




























【教学说明】通过练习，检查学生掌握情况，分析易错点及时强调.
【答案】1.A 2.A 3.7, 37
4.(1)4＜x＜28 (2)4＜b＜6 (3)2a
5.解：（1）解不等式①，得 x>2
解不等式②，得 x>4
把不等式①和 ②的解集在数轴上表示出来：



则原不等式的解集为 x>4.
（2）解不等式①，得 x≥8




把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：




则原不等式组无解.









7.解①得：x≥-7， 解②得：x≤8，
所以不等式组的解集为：-7≤x≤8.
所以不等式组的负整数解为：-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.



1. 布置作业:教材第 65 页“习题 8.3”中第 1 、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



教学“不等式组的解集”时，用数形结合的方法，通过借助数轴找出公共部分解出解集，这是最容易理解的方法，也是最适用的方法.用“皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”求解不等式，我认为减轻学生的学习负担，有易于培养学生的数形结合能力.在教学中我要求学生在解不等式（组） 时，一定要通过画数轴，求出不等式的解集，建立数形结合的数学思想.



第 2 课时 解一元一次不等式组（2）
【知识与技能】
1. 一元一次不等式组与二元一次方程组的综合应用.
2. 根据不等式组的解集求字母的取值范围.
【过程与方法】
通过观察、对比、思考等数学活动过程，体会化归思想和数形结合思想.
【情感态度】
通过小组讨论交流，培养学生的合作意识.
【教学重点】
一元一次不等式组的灵活运用.
【教学难点】
一元一次不等式组的灵活运用.



一、 情境导入，初步认识
1. 什么是一元一次不等式组？
2. 什么是一元一次不等式组的解集？
3. 你能用什么方法确定一元一次不等式组的解集？
【教学说明】通过对上节课的知识的复习，为继续探究一元一次不等式组的应用作铺垫.
二、思考探究，获取新知









【归纳结论】通过此处的讨论探索，期望学生能实现无师自通.先自主探究解题步骤，后具体解题.


三、运用新知，深化理解
A. m＝2 B.m＞2 C.m＜2 D.m≥2



解，则 a 的取值范围是 ( ) A.a＜1
B. a≤1 C.1
D.a≥1



则 k 的取值范围是 .





解是正数，且 x 的值小于 y 的值.
（1）求 a 的范围；
（2）化简|8a+11|-|10a+1|.




是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.
【教学说明】学生在练习过程中，借助数轴表示解集，从而使学生更直观地掌握不等式组的解集.本组题目有一定的难度，教师应作适当的引导.
【答案】1.D 2.A
3.B



∴ a＝2，b＝-1.∴ a+b＝1. 6.解：（1）根据题意，得










∴ 8+11＞0，10a+1＜0.
∴ |8+11|-|10a+1|
＝8a+11-［-(10a+1)］
＝18a+12.
7.解：解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x≥-3，
解不等式③，得：x≥-2.
在数轴上分别表示不等式①、②、③的解集：




∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.
∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 65 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



我在本课的设计上突出了以学生为主，强调知识发生发展的过程，通过先学后教，当堂训练使学生对一元一次不等式组与二元一次方程组的综合应用，根据不等式组的解集求字母的取值范围，有了更深刻的理解，并能用所学知识解决相关的问题，达到了预期的教学目标.



第 3 课时 列一元一次不等式组解决实际问题
【知识与技能】
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的问题.
【过程与方法】
通过例题的讲解，让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题，培养应用意识.
【情感态度】
通过解决实际问题，初步认识
数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
【教学重点】
用一元一次不等式组的知识去解决实际问题.
【教学难点】
审题，根据具体信息列出不等式组.



一、 情境导入，初步认识
在以前的学习中，我们曾经利用方程（组）解决了许多实际问题；在本章我们又学习了用一元一次不等式解决一些实际问题.其实，用一元一次不等式组也可以解决一些实际问题.
一个人的头发大约有 10 万根到 20 万根，每根头发每天大约生长 0.32 mm. 小颖的头发现在大约有 10 cm 长，那么大约经过多长时间，她的头发才能生长到16 cm 到 28 cm？
分析：这个问题中的不等关系是16 cm ≤小颖若干天后的头发长度≤ 28 cm. 小颖现在的头发长度为 10 cm，每根头发每天大约生长 0.32mm，如果设经过 x 天小颖的头发可以生长到 16 cm 到 28 cm 之间，那么她 x 天后的头发长度为
（100+0.32x）mm.于是，可得
160 ≤100+0.32 x≤280.
解这个不等式组，得 187.5 ≤x≤562.5.

因此，大约需要 188 天到 563 天，小颖的头发才能生长到 16cm 到 28cm.
【教学说明】通过一个学生熟悉的问题情景引入新课，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面对本节课的内容作一个铺垫.
二、思考探究，获取新知
例1 用若干辆载重量为8 t 的汽车运 一批货物, 若每辆汽车只装4 t,则剩下20 t 货物；若每辆汽车装满 8 t，则最后一辆汽车不满也不空.请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？
分析：这个问题中的不等关系是：货物的总质量<全部汽车载重量之和，货物的总质量>减少 1 辆后剩余汽车的载重量之和.
解：设有 x 辆汽车，那么这批货物共有（4x+20）t.于是，可得



解这个不等式组，得 5 例2 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分 2 件，则剩余 3 件；若前面每
人分 3 件，则最后一个人得到的玩具数不足 2 件.求小朋友的人数与玩具数.
解：设小朋友的人数为 x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得



解不等式组，得 4＜x≤6
因为 x 是整数，所以x=5,6，则 2x+3 为 13，15.
因此，当有 5 个小朋友时，玩具数为 13 个；当有 6 个小朋友时，玩具数为
15 个.
例3 某园林部门决定利用现有的349 盆甲种花卉和295 盆乙种花卉搭配A、B 两种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 8 盆，乙种花卉 4 盆；搭配一个 B 种造型需甲种花卉 5 盆，乙种花卉 9 盆.
（1） 某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，

问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
（2） 若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本是
360 元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？
分析：本题的不等关系比较隐蔽，好像与不等式没有什么关系，但仔细分析题意并结合实际可知：A、B 两种造型所需甲种花卉不能超过 349 盆，乙种花卉不能超过 295 盆，依此便能够建立不等式组求解.
解：（1）设搭建 A 种园艺造型 x 个，则搭建 B 种园艺造型（50-x）个.根据题意得




解不等组得：31≤x≤33
因为 x 为整数，所以x=31,32,33
所以共有三种方案：①A：31，B：19；②A：32，B：18；
③A：33，B：17
（2）由于搭配一个 A 种造型比 B 种成本低，则应该搭配 A 种 33 个，B 种
17 个.
成本是：33×200+17×360=12720（元）.
【教学说明】用不等式组解决实际问题类似于列方程组解决实际问题，同样要经历“审”“设”“找”“列”“解”“答”等几个步骤.其中找出实际问题中的不等关系是解决问题的关键.
例 4 已知利民服装厂现有 A 种布料 70 米，B 种布料 52 米，现计划用这两种布料生产 M,N 两种型号的时装共 80 套，已知做一套 M 型号时装需 A 种布料
0.6 米，B 种布料 0.9 米，做一套 N 型号时装需用 A 种布料 1.1 米，B 种布料 0.4 米，若设生产 N 型号的时装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？
解：生产 N 型号的时装套数为 x 时，则生产M 型号的时装套数为（80-x），根据题意，得



解不等式组，得 40≤x≤44.
因为 x 是整数，所以 x 的取值为 40，41，42，43，44.因此，生产方案有五种.（1）生产 M 型 40 套，N 型 40 套；（2）生产 M 型 39 套，N 型 41 套；（3）生产 M 型 38 套，N 型 42 套；（4）生产 M 型 37 套，N 型 43 套；（5）生产 M 型 36 套，N 型 44 套.
【教学说明】让学生更进一步体会数学知识生活化，并能利用不等式组解决实际问题. 你能总结用不等式组解决实际问题的步骤吗？
【归纳结论】列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
（1） 审：审题，分析题目中已知是什么，求什么，明确各数量之间的关系.
（2） 设：设适当的未知数.
（3） 代：用代数式表示题中的直接量和间接量.
（4） 列：依据不等关系列不等式(组).
（5） 解：求出不等式(组)的解集.
（6） 答：写出符合题意的答案. 三、运用新知，深化理解
1.一件商品的成本价是 30 元，若按原价的八八折销售，至少可获得 10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足 20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 2.某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小
学捐赠一批饮用水和蔬菜共 320 件，其中饮用水比蔬菜多 80 件.
（1） 求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2） 现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部
运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水 40 件和蔬菜 10 件，每辆乙
种货车最多可装饮用水和蔬菜各 20 件,有哪几种方案可供选择？
（3） 在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费 400 元，乙种货车每辆需付运费 360 元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
3. “8.3”云南地震后，我市立即组织医护工作人员赶赴云南灾区参加伤员抢救工作. 拟派 30 名医护人员，携带 20 件行李（药品、器械），租用甲、乙两种

型号的汽车共 8 辆，日夜兼程赶赴灾区.经了解，甲种汽车每辆最多能载 4 人和 3
件行李，乙种汽车每辆最多能载 2 人和 8 件行李.
(1) 设租用甲种汽车 x 辆，请你设计所有可能的租车方案；
(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为 8000 元、6000 元，请你选择最省钱的租车方案.
4. 某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若干辆， 则刚好坐满；
若单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位.
（1） 求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2） 已知 35 座客车的租金为每辆 320 元，55 座客车的租金为每辆 400 元.
根据租车资金不超过 1500 元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满）.请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金.
【教学说明】对所学知识进行巩固提高.
【答案】1.解：设这件商品原价为 x 元，根据题意可得：






解得：37.5≤x<40.
答：此商品的原价在 37.5 元（包括 37.5 元）至 40 元范围内.



所以饮用水和蔬菜分别为 200 件和 120 件.
（2） 设租用甲种货车 m 辆，则租用乙种货车(8-m)辆.



解得 2≤m≤4.
又因为 m 为整数，所以 m＝2 或 3 或 4.所以安排甲、乙两种货车时有 3 种方

案：
方案①：安排甲车 2 辆，乙车 6 辆；
方案②：安排甲车 3 辆，乙车 5 辆；
方案③：安排甲车 4 辆，乙车 4 辆.
（3） 设计方案费用分别为：
①2×400+6×360＝2960（元）；
②3×400+5×360＝3000（元）；
③4×400+4×360＝3040（元）.
所以方案①运费最少，最少运费是 2960 元.
3. 解：（1）设租用甲种汽车 x 辆，则租用乙种汽车(8-x)，则：






∵应为整数，∴ x=7 或 8，
∴有两种租车方案，分别为：
方案 1：租甲种汽车 7 辆，乙种汽车 1 辆；
方案 2：租甲种汽车 8 辆，乙种汽车 0 辆.
（2）租车费用分别为：
方案 1: 8000×7＋6000×1＝62000（元）；
方案 2：8000×8＝64000（元）.
∴ 方案 1 花费最低，所以选择方案 1.
4. 解：（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆，由题意得：
35x=55(x-1)-45,
解得：x=5.
∴ 35x=35×5=175（人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人.
（2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（4-y）辆，由题意得：






∵y 取正整数， ∴y=2，
∴4-y=4-2=2，
∴320×2＋400×2=1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



完成练习册中本课时练习.



本节课以生活实际中的问题为导引，让学生自主探究，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程——这种过程和体验正是“新课标”所倡导的基本理念之一.通过本课时的学习，学生能够对不等式组的解法和不等式组的运用有一定的理解和掌握，能够体会数学知识在现实生活中的运用.



章末复习
【知识与技能】
1. 要求学生通过复习熟练掌握不等式和不等式的解集的概念.
2. 掌握求一元一次不等式及不等式组的解集.
3. 能较熟练地应用一元一次不等式和一元一次不等式组来解决简单的实际问题.
【过程与方法】
通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解.
【情感态度】
在练习过程中让学生认识到数形结合的思想，从而让他们感觉到数学解题的简洁美.
【教学重点】
一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法.
【教学难点】
利用一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.



一、知识框图，整体把握



【教学说明】总结学生的发言，并将本章的内容作一次总结，指出本章重难点，鼓励学生作出知识结构图.
二、释疑解惑，加深理解
1.不等式（组）的概念：
①用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式.

②只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.
③把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组. 2.不等式（组）的解（解集）：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
②不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边.当不等号为“>”、“<”时用空心圆圈，当不等号为“≥”、 “≤”时用实心圆圈.
③不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.
④求不等式组的解集的规律：皆大取大，皆小取小，大小小大取中间，大大小小是无解.
3. 不等式的性质：
①不等式的性质 1：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c，a-c>b-c；
②不等式的性质 2：如果 a>b，并且 c>0，那么 a > b 或 ac＞bc；
c c

③不等式的性质 3：如果 a>b，并且 c<0，那么 ac c
> b .
c

4. 解一元一次不等式的步骤：
①去括号；
②利用不等式的性质移项；
③合并同类项；
④系数化为 1.
5. 列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
（1） 审：审题，分析题目中已知是什么，求什么，明确各数量之间的关系.
（2） 设：设适当的未知数.
（3） 代：用代数式表示题中的直接和间接的量.
（4） 列：依据不等关系列不等式(组).
（5） 解：求出不等式(组)的解集.
（6） 答：写出符合题意的答案.
【教学说明】通过引导学生复习总结本章概念和知识点，进一步加深学生对本章知识的理解.

三、典例精析，复习新知
例 1 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ B）个.
①x>-3 ②xy≥1 ③x2<3




A.1
B.2
C.3
D.4
例 2 不等式 ax+b>0（a<0）的解集是（B）




例 3 若关于 x 的方程 3x+2m=2 的解是正数，则 m 的取值范围是（B）
A.m>1 B.m<1
C.m≥1


D.m≤1










例 5 解不等式 2x-13-5x+12≤1，并把它的解集在数轴上表示出来.





解：2（2x-1）-3（5x＋1）≤6. 4x-2-15x-3≤6.
4x-15x≤6＋2＋3.
-11x≤11.
x≥-1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:



例 6 解不等式组：



解不等式①，得 x＜5.
解不等式②，得 x≥-2.
因此，原不等式组的解集为-2≤x＜5. 四、复习训练，巩固提高
1.若不等式 3x-m≤0 的正整数解是 1，2，3，则 m 的取值范围是. 答案：9≤m<12
（解不等式得 x≤ m ，其正整数解是 1，2，3，说明 3≤ m <4，所以 9≤
3 3
m<12.）




的值不大于代数式 5k-1 的值，则 k 的取值范围是 .
答案：k≥ 17
4



3. 如果不等式 4x-3a>-1 与不等式 2（x-1）+3>5 的解集相同，请确定 a 的值. 解：解 4x-3a>-1 得 x>3a-14；

解 2（x-1）+3>5 得 x>2，
由于两个不等式的解集相同，






4. 关于 x 的一元一次方程 4x+m+1=3x-1 的解是负数，求 m 的取值范围. 解：解此方程得 x=-2-m，


根据方程的解是负数，可得-2-m<0， 解得 m>-2.
解：解不等式-3（x-2）≥4-x 得x≤1；




得 x＞-2；


所以该不等式组的解集为：-2＜x≤1， 所以该不等式组的整数解是-1，0，1.
你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？ 证明：∵a>b，∴a+c>b+c.
又∵c>d，∴b+c>b+d，
∴a+c>b+d.
7. 某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元.后来由于该商品积压， 商店准备打折出售，但要保持利润不低于 5%，请你帮忙算一算，该商品至多可以打几折？
解：设该商品可以打 x 折，则有




解得 x≥7.
答：该商品至多可以打 7 折.
8. 郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多 8 元.用 124 元恰好可以买到 3 个书包和 2 本词典.
（1） 每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2） 郑老师计划用 1000 元为全班 40 位学生每人购买一件学习用品(一个书
包或一本词典)后.余下不少于 100 元且不超过 120 元的钱购买体育用品.共有哪几种购买书包和词典的方案?
（1） 解：设每个书包的价格为 x 元，则每本词典的价格为(x-8)元.根据题意得：
3x +2(x-8)＝124
解得：x＝28.
∴ x-8＝20.
答：每个书包的价格为 28 元，每本词典的价格为 20 元.
（2） 解：设购买书包 y 个，则购买词典(40-y)本.根据题意得：



解得：10≤y≤12.5.
因为 y 取整数，所以 y 的值为 10 或 11 或 12.
所以有三种购买方案，分别是：
①书包 10 个，词典 30 本；
②书包 11 个，词典 29 本；
③书包 12 个，词典 28 本.
9. 整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一.根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的 15%. 根据相关信息解决下列问题：
（1） 降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为 6.6 元.经过若干中间环

节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的 5 倍少 2.2 元，乙种药品每盒的零售
价格是出厂价格的 6 倍，两种药品每盒的零售价格之和为 33.8 元.那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2） 降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒 8 元和 5 元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价 15%、对乙种药品每盒加价 10%后零售给患者.实际进药时，这两种药品均以每 10 盒为 1 箱
进行包装.近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共 100 箱，其中乙种药
品不少于 40 箱，销售这批药品的总利润不低于 900 元.请问购进时有哪几种搭配方案？
解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒 x 元，乙种药品的出厂价格为每盒 y
元.
则根据题意列方程组得：



5×3.6 -2.2=18-2.2=15.8（元）
6×3=18（元）
答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是 15.8 元和 18 元.
（2）设购进甲药品 x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组得：




则 x 可取：58，59，60，此时 100-x 的值分别是：42，41，40. 有 3 种方案供选择：
第一种方案，甲药品购买 58 箱，乙药品购买 42 箱；
第二种方案，甲药品购买 59 箱，乙药品购买 41 箱；

第三种方案，甲药品购买 60 箱，乙药品购买 40 箱；
【教学说明】对所学知识进行巩固提高. 五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你有哪些收获？



1. 布置作业:教材第 68 页“复习题”中第 4、5、7、8、10 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



通过对学生和教材的分析，制定出了合适的教学目标，设计了合理的教学流程，教学中学生参与度较高，基本达到预定教学目标，突出了重点、突破了难点.

第 9 章 多边形
9.1 三角形
1.认识三角形


第 1 课时 三角形的概念
【知识与技能】
1. 了解三角形的基本元素与主要线段.
2. 能区分不同形状的三角形，按角、按边分类的两种方法.
3. 理解等腰三角形、等边三角形的概念.
【过程与方法】
联系小学已学过的三角形的知识，经历探索三角形基本知识的过程.
【情感态度】
结合实践与应用，充分感受三角形的有关概念，体会三角形按角、按边的分类方法.
【教学重点】
三角形内角、外角，等腰三角形、等边三角形等概念.
【教学难点】三角形的外角.

一、 情境导入，初步认识
在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题.
【教学说明】使学生明白三角形在生活中的作用，激发学生学习的动力. 二、思考探究，获取新知
1. 三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.
2. 如图三角形的顶点采用大写字母 A、B、C 或 K、L、M 等表示，整个三角

形表示为△ABC 或△KLM(参照顶点的字母).



3. 如图，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB； 三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ ACD 是与△ABC 的内角∠ACB 相邻的外角.


思考：(1)一个三角形（如△ABC）有多少个内角？多少个外角？
答：三个内角，表示为∠ABC,∠ACB,∠BAC 六个外角（三对）.(2)与内角相邻的外角有几个？它们是什么关系？
答：两个，是一对对顶角.
4. 如图，三个三角形的内角各有什么特点？



(1)中：三个内角均为锐角； (2)中：有一个内角是直角； (3)中：有一个内角是钝角.
那么三角形按角来分，应如何分类？
【归纳结论】三角形按角可以分为： 所有内角都是锐角——锐角三角形； 有一个内角是直角——直角三角形； 有一个内角是钝角——钝角三角形.



5. 如图，三个三角形的边各有什么特点？
(1)中：三角形的三边互不相等； (2)中：三角形有两条边相等； (3)中：三角形的三边都相等.
【归纳结论】我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形).
【教学说明】通过探究、观察、总结得出三角形的相关元素及三角形的分类. 三、运用新知，深化理解
1.如图，三角形有 个，它们是 ，∠ACD 是
△ 的内角且是△ 的外角，△ 和△ 是钝角三角形.


2.10 个点如图所示那样放着，把这些点作为三角形的顶点，可以作多少个正三角形？












3. 看图填空
(1) 图中有△ABC、△ABE 和 、 、；

(2) 点 B 是△ABC 和 、 、 的公共顶点，∠A 是△ABC 和 的公共角，BC 是△ABC 和 、 的公共边.
4. 观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：



锐角三角形（ ）；
直角三角形（ ）；
钝角三角形（ ）.
【教学说明】对本章知识进行复习巩固.
【答案】1.6 个，△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE，ACD
和 ACE，ABC，ABC,ADE.
2.13 个
3.（1）△EBC、△ECD、△BCD，
(2) △ABE、△EBC、△BCD，△ABE，△EBC，△BCD. 4.(3)、(5);（1）、（4）、（6）；（2）、（7）
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 82 页“习题 9.1”中第 1 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加难度，让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同.这样

既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步.从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率.



第 2 课时 三角形的高、角平分线和中线
【知识与技能】
1. 掌握三角形的角平分线、中线和高的概念，并会用数学式子表示.
2. 掌握三角形的角平分线、中线和高的画法.
【过程与方法】
通过画、折等实践活动操作过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神.学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.
【情感态度】
通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心.
【教学重点】
认识三角形的中线、角平分线、高.
【教学难点】
三角形的中线、角平分线、高的应用.



一、 情境导入，初步认识
已知，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高， E 是 BC 的中点.



则△ABE 与△ACE 的面积相等，你知道为什么吗？
【教学说明】通过问题情境，激发学生好奇心和强烈的求知欲，让学生在生动具体的情境中学习数学.
二、思考探究，获取新知
1.如图所示，过顶点 A 作△ABC 边 BC 的垂线，垂足为 D，线段 AD 就是△

ABC 的一条高；
取△ABC 边 BC 的中点 E，连结 AE，线段 AE 就是△ABC 的一条中线； 作△ABC 的内角∠ABC 的平分线交 AC 于点 F，线段 BF 就是△ABC 的一
条角平分线.



显然，△ABC 有三条中线、三条角平分线、三条高.


2.（1）下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.








（2） 把锐角三角形换成直角三角形后，试一试.
（3） 把锐角三角形换成钝角三角形后，试一试.
【归纳结论】
1. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；
2. 锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点.
【教学说明】使学生通过画、折等实践操作，理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的.

三、运用新知，深化理解
1. 三角形的角平分线是（ ）
A. 直 线 B. 射 线 C. 线 段 D.不确定
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形


3. 如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线 AC 翻折 180°,使点B 落在点 B′的位置,则线段 AC 是( )







A. 边 BB′上的中线
B. 边 BB′上的高C.∠BAB′的角平分线D.以上答案都正确
4. 如图，△ABC 中，AD 是角平分线，BE 是中线，指出图中相等的线段和相等的角.


5. 如图，∠ACE=∠BCE,BD=CD，指出图中三角形的特殊线段.



6. 如图，把下列条件分别用式子表示出来

(1) AD 是 △ABC 的 高 ； (2)BE 是△ABC 的角平分线； (3)CF 是△ABC 的中线.
7. 在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，周长为 14cm，BD 是 AC 边上的中线，
△ABD 比△BCD 周长长 4cm，求△ABC 各边长.
【教学说明】通过实际问题的解决，让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度.
【答案】1.C 2.B
3.D
4. 解：相等的线段有：AE=CE 相等的角有：∠BAD=∠DAC.
5. 解：CE 是△ABC 的角平分线. AD 是△ABC 的中线.
ED 是△EBC 的中线.
CF 是△ACD 的角平分线
6.解：(1)AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°；
(2) ∠ABE=∠CBE= 1 ∠ABC，
2
或∠ABC=2∠ABE=2∠CBE；

(3) AF=BF= 1
2
AB，或 AB=2AF=2BF.

7.解：如图，设 AD＝x，则 DC＝x，AB＝2x.设 BC＝y.



由题意可以列方程：



解之得：x=3，y=2
所以△ABC 的三边长分别为：AB＝AC＝2x=6cm，BC＝y=2cm. 四、师生互动，课堂小结
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结.

1. 布置作业:教材第 76 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



课堂上通过同学们在画图等实践活动中充分调动学生自主学习的积极性，丰富学生对此内容的体验和理解，同时发展他们的空间观念，从而提高他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦.当学生在探究过程中遇到困难时，教师层层设问，启发诱导，设计适当的铺垫，让学生在通过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不是代替他们思考，并鼓励探究多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获.



2.三角形的内角和与外角和
【知识与技能】
1. 理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.
2. 会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计
算.
【过程与方法】
联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，探索三角形的外角的两条性
质和三角形的外角和.
【情感态度】
结合实践与应用，充分感受三角形外角的性质，体会三角形的外角和它不相邻两个内角之间的关系转化.
【教学重点】
掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
【教学难点】
三角形角的有关计算.



一、 情境导入，初步认识
1. 什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？
2. 三角形的内角和等于多少?
【教学说明】对前面的知识进行复习，为本节课作准备. 二、思考探究，获取新知
1. 我们都知道三角形的内角和为 180°，那么，你能用几何知识进行证明吗？如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明：∠ 1+∠2+∠3=180°.


解：延长 BC 至点 E，以 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE=∠2，则 CD∥ BA ∵ CD ∥ BA ∴∠ 1= ∠ ACD ∵∠ 3+ ∠ ACD+ ∠ DCE=180 ° ∴ ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=180°
2. 你能根据三角形的内角和计算出直角三角形的两个锐角的度数和吗？
【归纳结论】三角形的内角和等于 180°；直角三角形的两个锐角互余.
3. 如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.


三角形的外角与内角有什么关系呢？
很显然：∠CBD（外角）+∠ABC（相邻内角）=180°
那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
∵∠CBD+∠ABC=180°
∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°
∴∠CBD=∠ACB+∠BAC
【归纳结论】三角形的外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
4. 与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
问：你能用“三角形的内角和等于 180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360° 吗？


∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3 又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360°
【归纳结论】三角形的外角和等于 360°.
【教学说明】学生亲自动手进行几何证明，使学生三角形的内角和与外角和以及外角的性质掌握的更牢固.
三、运用新知，深化理解
1. 将一副直角三角板如图所示放置，使含 30°角的三角板的一条直角边和含


45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1 的度数为（）
A.45° B.60° C.75° D.85°
2. 如图中有四条互相不平行的直线 L1、L2、L3、L4 所截出的七个角.关于这
七个角的度数关系，下列正确的是（）




A.∠2=∠4+∠7 B.∠3=∠1+∠6 C.∠1+∠4+∠6=180° D.∠2+∠3+∠5=360°
3. 若钝角三角形 ABC 中，∠A=27°，则下列哪个不可能是∠B 的度数？
（ ）
A.37° B.57° C.77° D.97°
4.如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3 的度数.


第 4 题图 第 5 题图
5. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数.
6. 如图，∠ABC=31°，又∠BAC 的平分线 AE 与∠FCB 的平分线 CE 相交于 E 点，求∠AEC 的度数.












第 6 题图 第 7 题图
7. 如图，△ABC 内有一点 D，且 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠ DAC=30°，求∠BDC 的大小.


【教学说明】通过练习，巩固三角形内角与外的有关计算问题.从中总结角的有关计算的规律.
【答案】
1.C
2.C
3.C
4.解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°， 又∠5=180°-∠2=180°-95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°
5. 解：如图连接 CE，
根据三角形的外角性质得
∠1=∠A+∠B=∠2+∠3， 在△DCE 中有
∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°.
6. 解：设∠BAC=2x°，
则根据三角形外角的性质得：
∠BCF=（2x+31）°，
∵∠BAC 的平分线与∠FCB 的平分线 CE 相交于 E 点，
∴∠EAC=x°，∠ECD=（∠E+x）°，
∵∠ECF 是△AEC 的外角，
∠ECD=∠ECF,∴∠ECD=∠E+∠EAC，
即：∠E+(∠E+x°）=x°+31°， 解得：∠E=15.5°.
7. 解：如图，延长 BD 交 AC 于 E.
∵DA=DB=DC，
∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°.

又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠
ABE+∠BAE，
∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 79 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



我们常说“实践出真知”，因此，我们在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作， 大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”. 教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获.归纳、对比对于知识的掌握有不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用.本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质， 却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质.



3. 三角形的三边关系
【知识与技能】
1. 掌握和理解三角形三边的关系.
2. 认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.
【过程与方法】
联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系.
【情感态度】
结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.
【教学重点】
三角形任何两边之和大于第三边的应用.
【教学难点】
已知三角形的两边求第三边的范围.



一、 情境导入，初步认识


警察抓劫匪（一名罪犯实施抢劫后，经 AB—BC 的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线 AC 追赶，终于在山顶将罪犯捉拿归案.）
警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？（学生各抒已见.）
引入：警察的追击路线和罪犯的逃跑路线正好围成了一个三角形，那么警察能在这么短的时间内抓到罪犯，是不是与三角形的三条边有关系呢？是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？今天我们就通过实际操作，分组讨论来研究三角形三条边之间的关系.
【教学说明】创设情境，激发学生探究知识的欲望. 二、思考探究，获取新知

探究 1 画一个三角形，使它的三条边分别为:4cm,3cm,2.5cm.



画法步骤如下：
(1) 先画线段 AB=4cm；
(2) 以点 A 为圆心，3cm 长为半径画圆弧；
(3) 再以 B 为圆心，2.5cm 长为半径画圆弧，两弧相交于点 C； (4)连接 AC、BC.
△ABC 就是所要画的三角形.
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等.
探究 2 现有长 2cm、3cm、4cm、5cm、6cm 的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长.你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？
【归纳结论】三角形的任意两边的和大于第三边.
你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？
探究 3 用 3 根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？
用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？


【归纳结论】如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.

你还能列举生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，哪些地方用到了四边形的不稳定性吗？
【归纳结论】教师有意设置这些动手操作，共同探讨的活动，既满足了学生的这种需要，又让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功.
三、运用新知，深化理解
1. 三条线段的长度分别为：
(1) 3cm、4cm、5cm (2)8cm、7cm、15cm (3)13cm、12cm、20cm (4)5cm、5cm、11cm 能组成三角形的有（ ）组.
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 现有 3cm，4cm，7cm，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶
6∶10;⑥3∶4∶5.其中可 构成三角形的有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
C.4 个 4.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长为( ) A.9
B.12 C.15
D.12 或 15
5. 已知一个三角形的两边长分别是 3cm 和 4cm，则第三边长 x 的取值范围是 .若 x 是奇数，则 x 的值是 ，这样的三角形有 个；若 x 是偶数，则x 的值是 ，这样的三角形有 个.

6. 已知一个三角形的两边长分别是 4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
7. 已知等腰三角形的两边长分别为 4,9,求它的周长.
8. 如图，在△ABC 内有一点 D，试说明 AB+AC＞BD+DC.




【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.
【答案】
1.B
2.B
3.B
4.C
5.1 6.解：根据三角形三边的关系可知，
3<第三条边<11
所以三角形的周长大于：4+7+3 三角形的周长小于：4+7+11
即，三角形的周长的取值范围是大于 14 cm 小于 22 cm. 7.解：因为三角形是等腰三角形，
所以，当腰长为 4 时，三角形的三边分别为：4、4、9，
而 4+4<9
所以不能构成一个三角形，应舍去.
当腰长为 9 时，三角形的三边分别为：9、9、4，
4+9>9
所以能构成一个三角形.即周长为 22.
8.解：如图延长线段 BD 交 AC 于点 E， 在△ABE 中，AB+AE＞BE. ①

在△DEC 中，DE+EC＞DC. ② 由①+②得，
AB+AE+EC+DE＞BD+DE+DC，即 AB+AC＞BD+DC.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.



1. 布置作业:教材第 82 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获.



9.2 多边形的内角和与外角和
【知识与技能】
1. 理解多边形的概念和正多边形的概念.
2. 了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3、在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理.
【过程与方法】
经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验， 在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法.
【情感态度】
让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造.
【教学重点】
多边形内角和定理的探索和应用.
【教学难点】
多边形的内角和，外角和定理的推导.



一、 情境导入，初步认识
什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？
【教学说明】把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫. 二、思考探究，获取新知
探究 1 多边形的概念
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：△ABC.



四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形 ABCD.
五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形 ABCDE.
一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n
边形，又称为多边形.
注意：①我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)；
②图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围.
③与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，∠CBE 和∠ABF 都是与∠ABC 相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角.

探究 2 正多边形
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.



连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 探究 3 多边形的内角和
我们知道三角形的三个内角和是 180 度，那么四边形、五边形、六边形…… 的内角和是多少？


由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于 180 度，这样我们就可以求出多边形的内角和.
根据我们的分析，完成下表：



由此，我们可以得出：
【归纳结论】n 边形的内角和为(n-2)·180°. 探究 4 多边形对角线的条数
你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？
分析：n 边形从一个顶点可以画出（n-3） 条对角线，n 边形共有 n 个顶点， 这样 n 边形一共可以画 n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以 n
边形一共有 n( n(n - 3) 条对角线.
2
探究 5 多边形的外角和

与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
如图(1)四边形 ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4 分别是四个外角，求：∠1+∠
2+∠3+∠4 的度数.



因为∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180°
又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°（四边形内角和等于 360°） 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
所以四边形的外角和等于 360°.


根据 n 边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得 n 边形的外角和，填表：














【归纳结论】任意多边形的外角和都为 360°.
【教学说明】我们是把多边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为
180°，求出多边形内角和与外角和，从而使问题得到解决！ 三、运用新知，深化理解

1. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的 3 倍，那么这个多边形是（ ）
A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形
2. 若 n 边形的内角和与外角和的比为 7∶2，则 n 为（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
3. 如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是 2∶1，那么这个多边形是（ ）
A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形
4. 四边形的内角和为 度，四个内角中最多可有 个锐角.
5. 若四边形的四个内角之比为 1∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺次是 度.
6. 多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的
5 .求这个多边形的边数. 12
7.(1)一个多边形的内角和等于 2340°，求它的边数；
(2)一个正多边形的一个内角为 150°，你知道它是几边形吗？
8.一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36°，求这个正多边形的边数.
9.(1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n 边形呢？


10.已知多边形的内角和等于 1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数.
【教学说明】复习今天所学，了解学生学习效果.
【答案】
1.B
2.D
3.A
4.360, 3
5.24，72，120，144
6. 6
7. 解：(1)设边数为 n，则有(n-2)·180°=2340°
n-2=13, n=15；
(2)设这个多边形为 n 边形，则有(n-2)·180°=150°n n=12
这个多边形是十二边形.
8. 分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是 360°.
解：设一个外角为 x°，则内角为(x+36)° 因为多边形的内角与相邻的外角互补； 所以 x°+x°+36°=180°
解得 x°=72° 360°÷72°=5
答：这个多边形是五边形.

9. 解：(1)四边形有两条对角线.
(2)如图 2，以 A 为顶点的对角线有两条 AC、AD 同样以 B 为端点的对角线也有 2 条，以 C 为端点也有 2 条，但 AC 与 CA 是同一条线段，以 D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 分别表示同一条线段，所以只有 5 条，以此类推六边形有 9 条对角线，从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3) 条，那么 n 个顶点就有 n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以 n 边形一
共有 n(n - 3) 条对角线.
2
10.解：(1)(n-2)·180°=1440° n=10
(2)n-3=10-3=7



答：这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有 7 条，共有 35 条对角线. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.



1. 布置作业:教材第 88 页“习题 9.2”中第 1 、2、3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°.这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握.由于多边形的外角和等于 360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理.通过练习情况来看学生本节课掌握的较好.



9.3 用正多边形铺设地面
【知识与技能】
1. 通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.
2. 探索用多种正多边形拼地板的过程和原理.
【过程与方法】
结合现实世界中的美丽图案，充分感受用正多边形拼地板的意义，体会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的相互关系.
【情感态度】
联系多边形的内角和与外角和公式，探索用正多边形拼地板的道理.
【教学重点】
通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.
【教学难点】
通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键.



一、 情境导入，初步认识
小明家刚买了新房，准备装修，小明想把新房的地面铺上地板砖，所以他这段时间特别留心已铺了地板砖的地面.看了一些地板砖的铺设后，小明打算用同一种正多边形的地砖来铺满新房的地面.请你帮小明想想，他可以买哪种形状的地板砖？为什么？
【教学说明】挖掘生活材料，使课堂教学尽量结合学生的生活实际，以实物图形加深对地板（地砖）铺设的认识.提出问题，导出本节要探究的课题.
二、思考探究，获取新知探究 1 用相同的正多边形
1. 使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白， 又不相互重叠？（请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形）



【教学说明】通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°.


2. 下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形.完成下表：
每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图形呢？
因为 60°×6=360°，用 6 个正三角形瓷砖就可以铺满地面；
90°×4=360°，用 4 个正方形瓷砖就可以铺满地面.


为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢？正八边形也不行？ 因为 360°÷108°，360°÷135°得数都不是整数.






【归纳结论】当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形.
探究 2 用多种正多边形
用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？


由正六边形和正三角形组成
因为正六边形的内角为 120°，正三角形的内角为 60°，这样用 2 块正六边形和 2 块正三角形，它们内角之和为一个周角 360°，所以能铺满地面.（即：2
×120°+2×60°=360°）
能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？



如图①：是用正八边形和正方形拼成的.因为正八边形的内角为 135°，正方形的内角为 90°，那么用 2 个正八边形和 1 个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板.（即：2×135°+90°=360°）
如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的.因为正六边形的内角为
120°，正方形的内角为 90°，正三角形的内角为 60°，那么用 1 个正六边形，
2 个正方形和 1 个正三角形各一个内角之和为 360°，所以可以铺满地面.（即：
120°+2×90°+60°=360°）
【归纳结论】若几个正多边形的一个内角的和等于 360°，那么这几个正多边形可铺满地面.
【教学说明】借助动手操作，计算验证，将难点分解，让学生在活动过程中掌握数学知识，通过合作探索，培养他们的学习能力.
三、运用新知，深化理解
1. 用下列的一样多边形不能铺满地面的是（ ）
A. 平行四边形B.正十边形 C.直角梯形

D.任意三角形
2. 下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A. 正方形与正六边形 B.正八边形和正方形 C.正五边形和正八边形D.正五边形和正十边形
3. 用三种正多边形拼地板，其中的两种是正四边形和正五边形，则第三种正多边形的边数是（ ）
A.12 B.15 C.18 D.20
4. 用 m 个正方形和 n 个正八边形铺满地面，则 m、n 满足的关系是（ ）
A.2m+3n=8 B.3m+2n=8 C.m+n=4 D.m+2n=6
5. 我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正
十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？
6. 用正三角形、正方形、正六边形中至少一种铺满地面，有几种不同的选法？ 请写出来.
7. 现有一批边长相等的正多边形瓷砖（如图所示），设计能铺满地面的瓷砖图案.



（1） 能用相同的正多边形铺满地面的有 .
（2） 从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 .
（3） 从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 .
（4） 你能说出其中的数学道理吗？
【教学说明】通过练习，了解学生掌握情况，再做讲解、强调.
【答案】
1.B
2.B
3.D
4.A
5. 解：正十边形，正八边形，正九边形合在一起不能铺满地面，因为正十边形，正八边形，正九边形的内角分别为 144°，135°，140°，它们的和 144°
+135°+140°>360°.
6. 解：单独用一种正多边形铺满地面的有三种，即正三角形，正方形，正六边形；用两种组合来拼有正三角形与正方形，正三角形与正六边形两种，用这三种正多边形组合也能铺满，故共有 6 种不同的选法.
7.解：（1）①②③
（2）①和②，①和③，①和⑤，②和④
（3）①②③，②③⑤，①②⑤
（4）铺满地面的正多边形的边长都相等，且这些正多边形满足在同一顶点交接处各角之和恰好 360°.

四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 91 页“习题 9.3”第 1、2 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课学习用正多边形铺设地面是在学习多边形的内角和与外角和的前提下来学习的,且是多边形在生活中应用的拓展.所以这节课，教师以生活中常见的地板瓷砖来创造问题情境，学生对此也 比较感兴趣，进而引导学生探索哪些正多边形能铺满地面.这一节课，内容比较简单，幻灯片的图片也比较形象、直观， 所以学生比较感兴趣、课堂气氛也相对活跃，课堂效果比较成功.



章末复习
【知识与技能】
通过学生对本章所学知识的回顾与思考，进一步掌握知识点.
【过程与方法】
通过回忆与交流，经历对已有知识的归纳和复习过程.
【情感态度】
在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决问题的一般方法.
【教学重点】
本章知识点的回顾与整理.
【教学难点】
综合运用所学知识解决问题.



一、知识框图，整体把握



【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.三角形
①三角形按角可以分为：
所有内角都是锐角——锐角三角形；

有一个内角是直角——直角三角形； 有一个内角是钝角——钝角三角形.
②我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形).
③锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，并且都相交于三角形内一点；
④锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线交于三角形外一点.
⑤三角形的内角和等于 180°；三角形的外角和等于 360°；直角三角形的两个锐角互余.
⑥三角形的外角性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
⑦ 三角形的任意两边的和大于第三边.
⑧三角形稳定性，四边形具有不稳定性. 2.多边形
①正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
②连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
③n 边形的内角和为(n-2)·180°；
n 边形一共有 n(n - 3) 条对角线；
2
任意多边形的外角和都为 360°. 3.用正多边形铺设地面.
①当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时， 就拼成一个平面图形；
②若几个正多边形的内角的和等于 360°，那么这几个正多边形可铺满地面.
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.

三、典例精析，复习新知
例 1 下列长度的各组线段中，能作为一个三角形三边的是（ ）
A.1、2、3 B.2、4、4 C.2、2、4
D.a, a-1,a+1(a 是自然数)
例 2 如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是
（ ）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形
例 3 下面的说法正确的是（ ）
A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B.直角三角形的高只有一条
C.三角形的高至少有一条在三角形内D.钝角三角形的三条高都在三角形外
例 4 用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是（ ）
A.内角都是整数度数B.边数是 3 的整数倍
C.内角整除 360°
D.内角整除 180°


例 5 如图，已知 AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED 的度数是( ).






A.63° B.83°

C.73° D.53°
例 6 一个多边形除一个内角外，其余内角之和是 2570°，求这个角.
【教学说明】教师根据学生遇到的问题和出现的错误，有针对性地进行讲解和学法指导.同时教学中应通过恰当的方式让学生理解解题的依据.
【答案】
1.B
2.C
3.C
4.C
5.A


6.解：设这个多边形为 n 边形，则内角和为(n-2)·180°. 根据题意有：2570°＜(n-2)·180°＜2570°＋180°，
从而 n＝17，
(17-2)·180°-2570°＝130°.
所以多边形的这个内角为 130°.
四、复习训练，巩固提高
1. 三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
A.0°＜α＜90° B.60°＜α＜180° C.60°≤α＜90° D.60°≤α＜180°
2. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（ ）
A. 正八边形和正三角形B.正五边形和正八边形C.正六边形和正三角形D.正六边形和正五边形

3. 如果一个多边形的边数增加 1 倍，它的内角和是 2160°，那么原来多边形的边数是（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8


4. 如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 即可固定，这里所用的几何原理是( )










A. 两点之间线段最短B.垂线段最短
C.两点确定一条直线D.三角形的稳定性
5. 多边形每一个内角都等于 120°，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是( )
A.5 条
B.4 条
C.3 条
D.2 条
6. 若多边形的所有内角与它的一个外角的和为 600°，求边数和内角和.
7. 如图所示，已知 DF⊥AB 于 F，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠ACB 的度
数.


8. 如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线交于 O 点.
①当∠A＝30°时，∠BOC＝105°＝90°＋ 1 ×30°；
2
②当∠A＝40°时，∠BOC＝110°＝90°＋ 1 ×40°；
2
③当∠A＝50°时，∠BOC＝115°＝90°＋ 1 ×50°；
2
当∠A＝n°(n 为已知数)时，猜测∠BOC 的度数，并用所学的三角形的有关知识说明理由.
【教学说明】巩固本章内容，根据学生掌握情况，作适当讲解.
【答案】
1.D
2.C
3.C
4.D
5.C
6.解法一：设边数为 n，则(n-2)·180<600，
n< 5 1 .
3
当 n=5 时，(n-2)·180°=540°，这时一个外角为 60°；
当 n=4 时，(n-2)·180°=360°，这时一个外角为 240°，不符合题意.
因此，这个多边形的边数为 5，内角和为 540°.
解法二：设边数为 n，一个外角为α，




这时 n=5，内角和为(n-2)·180°=540° 7.解：因为 DF⊥AB，所以∠AFG＝90°.
在△AFG 中，∠AGF＝180°-∠A-∠AFG＝180°-40°-90°＝50°，
所以∠CGD＝∠AGF＝50°.
所以∠ACB＝∠CGD＋∠D＝50°＋50°＝100°. 8.解：∠BOC＝90°＋12n°，
理由是：∵OB，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
∴∠OBC＝ 1 ∠ABC，∠OCB＝ 1 ∠ACB.
2 2
在△OBC 中，∠BOC＝180°-(∠OBC＋∠OCB)＝180°-（ 1 ∠ABC+ 1 ∠
2 2

ACB）＝180°- 1
2
(∠ABC＋∠ACB)＝180°- 1
2
(180°-∠A)＝90°＋ 1 ∠A＝
2

90°＋ 1 n°.
2
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？



1. 布置作业:教材第 94~94 页“复习题”中第 1、2、6、7、14 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课是一节复习课，我进行了以下教学设计,整个教学过程主要分为三部分：第一部分是通过复习梳理多边形的相应概念、性质，并让学生自学教科书上的内容，然后全班一起回答；第二部分例题讲解，这部分是本次课的核心；第三部分是当堂测评.通过本节课的复习加强了学生的推理能力，并注重细节和总结.

第 10 章 轴对称、平移与旋转
10.1 轴对称1.生活中的轴对称

【知识与技能】
通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程，认识轴对称和轴对称图形， 会找出简单的轴对称图形的对称轴，了解轴对称和轴对称图形的联系和区别.
【过程与方法】
通过大量的实例初步认识轴对称，能识别简单的轴对称图形及其对称轴.
【情感态度】
通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体验轴对称在现实生活中的广泛应用， 体会数学来源于生活.
【教学重点】
正确理解轴对称图形以及轴对称的概念.
【教学难点】
能正确区分轴对称图形和轴对称.



一、 情境导入，初步认识
从各小组收集的图片中选择一些有代表性的，用投影仪演示，使学生能够形象直观地感受图形的对称 .



看完图片以后老师总结：自远古以来，对称形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.
请学生自己讨论，在生活中你见过哪些对称图形.
例如：青山倒映在水中（教材第 98 页图），这是令人难忘的景象.还有一些伟大的建筑物，它们都是轴对称图形.
【教学说明】 通过观察图片.使学生能够形象直观地感受图形的对称.使学生明白对称在美学和自然界中的作用.
二、 思考探究，获取新知


探究 1 轴对称图形

这些美丽的图形来自生活，细心观察之后，你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述.
你能不能在上面的每个图形中画一条线，在把这个图形沿你所画的线对折， 使左右两旁的部分完全重合.
【归纳结论】 如果图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那

么就称这样的图形为轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴.
理解轴对称图形应注意三点：（1）轴对称图形是一个图形；（2）对折；（3）重合.
探究 2 轴对称
观察下面两组图形.



图（1）中有几个天使呢？
请注意观察，当把这两个天使沿着一条直线折叠后，会发现什么样的现象？ 请同学再看图（2），当沿着一条直线折叠后，这两个五边形会有什么现象？这就是说两个图形也可以是对称的.我们把这样的两个图形称为成轴对称.
【归纳结论】 像上面所述，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴， 两个图形的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点.
理解轴对称图形应注意三点：
（1） “轴对称”是两个图形.
（2） 对折.（ 3）重合.
试一试：请同学标出第（2）个图中 A、B、C 三点的对称点 A1、B1、C1.

在图（2）中，如果把它看作两个五边形，那么它就是成轴对称的，如果我们把它看作是一个图形的两个部分，那么它就成了轴对称图形.
从上图中我们可以发现，轴对称图形（或成轴对称的两个图形）沿对称轴对折后的两部分是完全重合的，所以它的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等.
【教学说明】通过感官加深对轴对称图形和成轴对称的理解. 三、运用新知，深化理解
1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是（ ）




2 如图所示，下面的 5 个英文字母中是轴对称图形的有（ ）



A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个3.如图所示的图案中，是轴对称图形的有（ ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4. 如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由.






5. 观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴.

6. 如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？ 请指出这个图形，并简述你的理由.




【教学说明】 进行适当的由浅入深 ，由感性到理性的一些练习 ，老师进行了一些必要的讲解 ，打好学生的知识技能和运算能力的基础.
【答案】1.A 2.B 3.B 4.解：（3）比较独特，它有无数条对称轴，其他图形只有两条对称轴. 5.解：（1）2 条 （2）4 条 （3）5 条 （4）3 条画图略 6.解：② 不是轴对称图形
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 100 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.




本节通过大量生动的生活中的实例引领学生进入图形中的对称世界，深刻体会对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.同时通过本节的学习与探索，使同学们对对称的认识由感性到理性，由浅到深，为后面抽象的对称图形的学习作好铺垫工作.

2. 轴对称的再认识



【知识与技能】
使学生掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形，并请熟练画出轴对称图形的对称轴.
【过程与方法】
通过动手操作探索轴对称的性质，运用轴对称性质解决实际问题.
【情感态度】
培养独立观察思考的习惯，感受数学几何图形的美，体验设计轴对称图形带来的快乐.
【教学重点】
画轴对称图形的对称轴.
【教学难点】
画轴对称图形的对称轴.



一、 情境导入，初步认识


自己用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平.
回答几个问题：
（1） 图中的两个“14”有什么关系？
（2） 在上面扎字的过程中，点 E 与点 E′重合，点 F 与点 F′重合.设折痕所在直线为 l，连接点 E 与点 E′的线段与直线l 有什么关系？点 F 与点 F′呢？
（3） 线段 AB 与线段 A′B′有什么关系？CD 与 C′D′呢？

（4） ∠1 与∠2 有什么关系？∠3 与∠4 呢？说说你的理由.
【教学说明】 对上节课的内容进行复习，为本节课的学习作准备. 二、 思考探究，获取新知


探究 1 线段的垂直平分线
请学生在半透明纸上画出线段 AB 和它的中点 O，再过 O 点画与 AB 垂直的直线 CD，沿直线 CD 将纸对折,观察线段 OA 和线段 OB 是否重合.
在上述试验中,显然线段 OA 和线段 OB 互相重合，因此，线段 AB 是轴对称图形.
垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线.
如上图中直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线.线段的垂直平分线是直线. 探究 2 线段
请同学思考：线段的对称轴是什么？它是唯一的吗？
线段的对称轴有两条，一条是它的垂直平分线，另一条是这条线段所在的直
线.
探究 3 角
小实验：每位同学准备一张半透明的白纸，在纸上画一个角（∠AOB），然
后对折这个角，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕 OM.



请同学思考：从上面的实验中你能发现什么？
角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线.如图所示的直线ＯＭ 就是它的对称轴.
探究 4 画对称轴
有时我们感觉一个图形是轴对称的，那么如何来验证呢？这就需要我们去找到它的对称轴，看看沿着对称轴翻折以后两部分是否重合.
(1) 试一试：如图，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称

轴.




在上图中，由于图形在方格子内，我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴，你能想想是什么原因吗？
因为在方格子中我们比较容易看清楚图形的位置，也就比较容易确定图形的中间位置.


（2） 如果没有方格子，而又不能折叠，你还能比较容易地画出图形的对称轴吗？请同学试试看，如下图的对称轴我们应该如何去画呢？








请同学们画出图形的对称轴，相互交流你是怎样画的？
（3） 如图点 A 和点 A1 关于某直线对称，画出这个图形的对称轴.



如图，连结点 A 和点 A1，画出线段 AA1 的垂直平分线 MN，则直线 MN
就是所是点 A 和点 A1 的对称轴.




做完以后，我们可以总结一下对称轴的画法.
【归纳结论】1.找出轴对称图形的任意一组对应点，连结对称点.
2.画出对称点所在连线段的垂直平分线.则这条垂直平分线就是它的对称轴.
通过以上的操作，我们可以有这样的结论：
如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.
【教学说明】 让学生在准备好的图案上动手操作，通过观察测量，对折等解决以上问题.解决问题的方法和结论学生会说出好多种，对这些结论进行整理， 就是轴对称的性质.
三、运用新知，深化理解
1. 下列说法错误的是( ) A.等边三角形是轴对称图形
B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧
D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分
2. 设 A、B 两点关于直线 MN 轴对称,则 垂直平分 .


3. 下列图形中，哪些是图形对称轴，哪些不是图形的对称轴？
4. 已知，直线 a 与直线 b 是两条相交直线，它是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？画画试试看.




5. 画出以下图形的对称轴.



6. 画出下列图形的对称轴.



7. 下列图形中，哪些是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请你画出对称轴.


【教学说明】对本节知识进行巩固练习.
【答案】1.C 2.直线 MN 线段 AB 3.解：②、④、⑥是图形的对称轴，
①、③、⑤不是图形的对称轴. 4.解：有两条对称轴，作图略. 5.解：作图略6.解：作图略 7.解：第 1 个图形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，其它两个图形不是轴对称图形，作图略.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 110 页“习题 10.1”中第 3 、4、5 题.

2. 完成练习册中本课时练习.



本节课应采用小组学习模式，在小组讨论之前，应该留给学生充分独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成.

3. 画轴对称图形



【知识与技能】
使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.
【过程与方法】
通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操.
【情感态度】
通过画轴对称图形的过程体验图形之间的对称美、和谐美.
【教学重点】
让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴.
【教学难点】画轴对称图形.

一、 情境导入，初步认识


1. 上节课我们学习了画两个图形或一个图形的对称轴.请同学们为下面的两张轴对称图形画出对称轴.
2. 将大家画好的轴对称图形遮掉左边一半或右边一半后，你能还原出原来的图形来吗？同桌可以共同讨论合作完成.


【教学说明】 对上节课的知识进行复习，同时引出本节课学习的内容. 二、思考探究，获取新知
1 如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的
轴对称图形.



画完之后，请同学们思考下面两个问题：
（1） 你可以通过什么方法来验证你画的是否正确.
（2） 和其他同学比较一下，你的方法是最简单吗？
在格点图中，大家会很容易画出已知图形的轴对称图形，如果没有格点图， 我们还能比较准确地画出已知图形的轴对称图形吗？
2. 你能画出点 A 关于直线 L 的对称点吗？




画法：（1）过点 A 向直线 L 画垂线段 AO，垂足点 O；
（2）延长 AO 至 OA1，使 OA1=OA.则点 A1 就是点 A 关于直线 L 的对称
点.
3. 你能画出线段 AB 关于直线 L 的对称线段吗？




画法：（1）画点 A、点 B 关于直线 L 的对称点 A1 、B1；
（2）连结 A1 、B1 .
则线段 A1 B1 就是线段 AB 关于直线 L 的对称线段. 4.你能画出三角形 ABC 关于直线 L 的对称图形吗？


画法：（1）画出点 A、点 B 和 C 点关于直线 L 的对称点 A1 、 B1 和 C1；
（2）连结 A1 B1、 B1 C1 、A1 C1 、则△A1 B1 C1 就是△ABC 关于直线
L 的对称三角形.
【归纳结论】从上面的例子可以知道，如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形.
【归纳结论】先画点的对称点，再画线段的对称图形，最后画三角形的对称图形.由易到难，这样学生就很容易的知道了知识的形成过程.
三、运用新知，深化理解
1. 已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△
ABC 关于 y 轴对称，那么点 A 的对应点 A′的坐标为( )



A.(-4，2) B.(-4，-2) C.(4，-2) D.(4，2)
2. 下列各图都是一个汉字的一半,你能想像出它的另一半并能确定它是什么

字吗?(有几个字的笔划在对称轴上.)



3. 如图，已知△ABC 和直线 MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和
△ABC 关于直线 MN 对称.




4. 如图，作字母 M 关于 y 轴的轴对称图形并写出所得图形相应各端点的坐
标.



5. 如图，在网格中有两个大小、形状一样的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图中画出两种不同的拼法.


【教学说明】检测本节课学生的掌握情况，再作适当的讲解.
【答案】1.D
2.解：图略 (1)中 (2)林 (3)南 (4)京 (5)米 (6)来 (7)共(8)品 (9) 吉 (10)木 (11)釜
3.解：



4.解：A′（4,0）;B′（4,3）;C′（2.5,0）;D′（1，3）;E′（1,0）



5.解：


四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 110 页“习题 10.1”中第 6 题.

2. 完成练习册中本课时练习.



学生是学习的主体，要让学生成为真正的主人，就必须在数学活动中学习数学，也就是在创造中学习数学.本课从最基本的图形中，让学生自己动手画，体验探索成功的快乐；通过动手操作，小组讨论来解决自己提出的问题；通过有层次的练习，提高学生解决问题的能力，巩固所学知识.

4.设计轴对称图案



【知识与技能】
会设计简单的轴对称图案.
【过程与方法】
在探索和实践的过程中，培养学生观察、分析和口头表达能力.
【情感态度】
通过设计简单的轴对称图案让学生体验图案对称的美，感受具有对称美的图
案.
【教学重点】
能灵活运用轴对称进行简单的图案设计.
【教学难点】
能灵活运用轴对称进行简单的图案设计.



一、 情境导入，初步认识
教师通过屏幕向学生展示生活中具有对称美的事物.例如：一只彩蝶、一片绿叶、一些装饰图案.为什么它们总给我们美的感觉 (让学生自由发言) ？
它们的外形呈几何对称性.
人类在漫长的岁月中体验着对称，享受着对称，它给人以平衡与和谐的美感. 今天这节课要求发挥大家的想象力自己去设计对称图案，自己去创造对称美.
【教学说明】 通过观察图形，使学生明白轴对称在生活中的重要性. 二、思考探究，获取新知
一个美丽的图案是如何画出来的呢？下面请看题：
1. 如下图，是一个轴对称图形.
（1） 有多少条对称轴呢?
（2） 可以利用轴对称性来画出它吗?




2. 准备一张正方形纸片，按以下五个步骤一起来画： (1)在正方形纸片上用虚线画出四条对称轴.
(2) 如图，在其中一个三角形中，画出图形形状的基本线条（可以自己设计线条）.
(3) 按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形. (4)按照其中一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形. (5)按照水平（或垂直）对称轴画出(4)中图形的对称图形.



画好后可以涂上自己喜欢的颜色，擦掉其它多余的线条，一幅对称的图案就完成了（如下图）.




【教学说明】 学生亲自动手画图，感受成功的喜悦. 三、运用新知，深化理解
1. 将一张正方形纸片沿右图中虚线剪下，能拼成哪些轴对称图形.请你们画
出.






2. 用四块如图的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称的图案，和自己的同伴比一比，看谁的拼法多.
3. 如图“聪明的机器人”是由 2 条线段、2 个圆、2 个三角形、2 个长方形组成的.请你用以上图形设计一幅对称图案.




4. 仿照课文的过程，利用下图设计出一个轴对称图案.




【教学说明】 学生先独立思考，然后小组内讨论交流.从而发展了学生的空间想象力.
【答案】1.解：略 2.解：略 3.解：略 4.解：略四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补
充.



1. 布置作业:教材第 109 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



课前让学生充分收集生活中的利用轴对称设计的图案，使学生感受到轴对称在生活中的广泛存在和丰富的文化价值.课堂上各个环节为学生展示自己聪明才智提供机会，并在此过程中让学生去发现问题、分析问题、解决问题形成独到见解.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.

10.2 平移
1. 图形的平移



【知识与技能】
1. 通过具体实例认识图形的平移变换，探索它的基本性质.
2. 能按要求画出简单的平面图形平移后的图形，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.
【过程与方法】
通过动手操作，观察分析，学会判断图形在方格纸上沿竖直和水平方向两次平移的方向和平移的格数.
【情感态度】
通过观察、归纳、推理可以获得数学猜想，了解数学活动中充满着探索性和创造性,感受学习的乐趣，体会数学美.
【教学重点】
认识图形的平移变换.
【教学难点】
掌握两次连续平移的方法，正确判断平移的距离.



一、 情境导入，初步认识
请你判断： 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼，一会儿，小明兴奋地大叫起来： “妈妈！妈妈！你看我长高了！我比对面的大楼还要高！”小明说的对吗？为什么？
【教学说明】 通过实际问题引入新课，提高学生学习兴趣. 二、思考探究，获取新知
1. 日常生活中经常可以看到的一些如图所示的现象：如滑雪运动员在白茫茫
的平坦雪地上滑翔，火车在笔直的铁轨上飞驰而过等等.



2. 我们还可以看到如图所示的一幅幅美丽的图案，它们可以看成是由某一基本图形沿着一定的方向移动而产生的结果.




3. 根据上述分析，你能说明什么样的图形运动称为平移吗？
【归纳结论】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
4. 图形在平移的过程中有哪几个要素需要注意的呢？
【归纳结论】平移三要素： 几何图形——运动方向——运动距离.
5. 当我们用直尺和三角板画平行线时，△ABC 沿直尺 PQ 平移到△A′B′
C′时，就可以画出 AB 的平行线 A′B′了.





我们把点 A 与 A′叫作对应点，线段 AB 与 A′B′叫作对应线段，∠A 与
∠A′叫作对应角.此时：
（1） 点 B 的对应点是 ，
（2） 点 C 的对应点是 ，
（3） 线段 AC 的对应边是 ，
（4） 线段BC 的对应边是 ，
（5） ∠B 的对应角是 ，
（6） ∠C 的对应角是，上述问题都给了我们平移的大致印象，哪位同学能说—说什么叫平移?
【教学说明】 让学生自己总结平移的概念，掌握平移的三要素. 三、运用新知，深化理解
1. 平移是由 所决定.
2. 下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是( )



3. 下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( )



4. 在以下现象中，①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动属于平移的是（ ）
A.①，② B.①， ③ C.②， ③ D.②，④
5. 如图，△A′B′C′是由△ABC 平移得到的，写出图中的对应角、对应线段、对应点.




【教学说明】 通过练习，进一步了解平移的概念和三要素.
【答案】1.平面图形、平移的距离、平移的方向 2.D 3.C 4.D 5.解：对应角是:∠A 和∠A′，∠ABC 和∠B′，∠C 和∠A′C′B′. 对应线段是：AB 和 A′B′,AC 和 A′C′,BC 和 B′C′.
对应点是：A 和 A′ B 和 B′C 和 C′.
四、师生互动，课堂小结
组织学生总结这节课所学的内容，并作适当的补充.



1. 布置作业:教材第 113 页“练习”
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课首先，通过创设大量的生活情境让学生形成直观上的初步认识.然后， 让学生通过演示,使平移运动生动、形象地展现在学生面前，给学生更多的空间和机会.将静态的教学内容，设计成动态的过程，将传统的教学方法演变得更加生动有趣.引导学生在丰富、有趣的数学活动中，积极思考、充分探究、获取知识、发展能力.加深了学生对概念的理解，起到突破难点的作用.

2. 平移的特征



【知识与技能】
能根据所给条件作简单的平面图形平移后图形.
【过程与方法】
经历观察、操作、欣赏、认识探索平移的基本特征的过程，理解平移时对应点所连线段平行（有时在同一条直线上.）且相等，对应线段平行（有时在同一条直线上.）且相等以及对应角相等的理论.
【情感态度】
培养良好的识图能力，体会变换的美.
【教学重点】
平移的特征和平移的基本性质.
【教学难点】
准确理解平移的特征和平移的基本性质.



一、 情境导入，初步认识
1. 展示日常生活中的平移实例，学生回忆已学知识.
2. 什么是平移？
3. 平移的三要素是什么？
【教学说明】 通过这些画面的展示切身感受到我们身边的生产、生活中广泛存在着平移现象，激发了学生原有的认知结构,为本节课探究问题作好了铺垫.
二、思考探究，获取新知
1. 如图△A′B′C′是由△ABC 平移得到的.




（1） 平移后的图形与原来的图形的形状、大小有没有发生变化？
（2） 每对对应线段有怎样的位置关系和数量关系？
（3） 每对对应角之间又有怎样的关系？
【归纳结论】 平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等(也可能在同一条直线上)，对应角相等，图形的形状和大小不变.
2. 观察探索：△ABC 沿着 PQ 的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现有哪些线段平行且相等？




【归纳结论】 平移后对应点所连的线段平行并且相等.
3. 注意：若把△ABC 沿着 BC 的方向平移到△A′B′C′的位置，在平移过程中，同学们发现了不同于所概括规律的特征吗？




【归纳结论】 在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上.
4. 将图中的△A′B′C′沿着 RS 的方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段 RS 的长度.




【教学说明】 先让学生独立思考，便于让每个同学都能在自己的探索过程中找到一定的成就感，从而获得进一步探索的信心和勇气.
三、运用新知，深化理解
1. 见教材第 116 页例题.
2. 在平移过程中,对应线段( ) A.互相平行且相等
B.互相垂直且相等
C.互相平行(或在同一条直线上)且相等
3. 如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°, 那么∠E= 度,∠EDF= 度,∠F= 度,∠DOB= 度.




4. 如图，面积为 12cm2 的△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边 BC 长的两倍，则图中的四边形 ACED 的面积为（ ）



A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.无法确定


5. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BC＞AD，∠B 与∠C 互余, 将 AB， CD 分别平移到 EF 和 EG 的位置，则△EFG 为 三角形，若 AD=2cm， BC=8cm，则 FG= .

6. 将字母 A 按箭头所指的方向,平移 3cm,作出平移后的图形.




【教学说明】 考察学生能否灵活运用平移的特征解决实际问题.
【答案】2.C 3.70 50 60 60 4.B 5.直角 6 cm 6.解：略四、师生互动，课堂小结
1. 通过本节课，你学习了哪些知识？
2. 通过本节课，你掌握了哪些学习方法？
3. 通过本节课，你最大的体验是什么？



1. 布置作业:教材第 117 页“习题 10.2”中第 1、2、3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



该节课要注意关注学困生的学习状态，利用大量的动画展示平移的特征，其目的之一是加强直观性，目的之二是吸引学生的注意力，增强学习的效果.从上课的情况来看，收到了不错的效果，当然，对于学困生来说，在观察引导后，还需多加辅导，特别是画平移的图形.

10.3 旋转
1. 图形的旋转



【知识与技能】
通过具体实例认识旋转，了解旋转的定义,能说出旋转中心、旋转角.
【过程与方法】
经历探索图形的旋转过程，发展几何直觉，领悟变换的数学思想方法.
【情感态度】
经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，感知数学美，提高对数学学习的兴趣.
【教学重点】 旋转的有关概念.
【教学难点】
会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角.



一、 情境导入，初步认识
学生观察教材第 118 页图 10.3.1，并回答下面的问题：（ 1）图中，哪些零部件作转动？
（2） 在这些转动中有哪些共同特征？
（3） 钟上的秒针在不停的转动中，其形状、大小、位置是否发生改变？大风车在转动中其形状、大小、位置是否发生改变？彩票大转盘在转动的过程中其形状、大小、位置是否发生变化？
这就是今天我们所研究的课题“图形的旋转”.
【教学说明】 通过复习，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知
1. 观察教材第 118 页图 10.3.2，我们可以把它们看成是由一个或几个平面图
形，在它所在的平面上转动而产生奇妙画面.
2. 演示单摆上小球的运动



（1） 单摆上小球的转动由位置 P 转到 P′，它是绕着哪一点？沿着什么方向？转动了多少角度？
（2） 单摆上小球转到 P 与 P′中间时，它绕着的点、沿着的方向有没有变化？转动的角度有没有变化？
【归纳结论】 像这样，把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
3. 做一做：大家把准备好的透明纸拿出来.按老师要求完成以下内容：
（1） 任意画一个△ABC.
（2） 把透明纸覆盖在△ABC 上，并在透明纸上画出一个与△ABC 重合的三角形.
（3） 用一枚图钉将点 A 处固定.
（4） 将透明纸绕着图钉（即点 A）转动 45°，透明纸上的三角形就旋转了新的位置，标上 A′、B′、C′.
我们可以认为△ABC 绕着 A 点旋转 45°后到△AB′C′.
同学们考虑一下，可以互相交流，在这样的旋转中，你发现了什么？ 同学们在交流中形成共识后，教师可以让学生回答如下问题：
（1）B 点旋转到哪一点？（点 B′）
（2）C 点旋转到哪一点？（点 C′）
（3） ∠BAC 旋转到哪里？（∠B′AC′）
（4） 线段 AB 旋转到哪里？（线段 AB′）
（5） 线段 AC 旋转到哪里？（线段 AC′）
（6） 线段 BC 旋转到哪里？（线段 B′C′）

（7） ∠B 旋转到哪里？（∠B′）
（8） ∠C 旋转到哪里？（∠C′）
（9） 它的旋转中心是什么？（点 A）
（10） 它的旋转的角度是多少？（45°）
这里要给学生指出：在旋转的过程中，（1）点 B 与点 B′，点 C 和点 C′是对应点；（2）线段 AB 与线段 AB′，线段 AC 与线段 AC′，线段 BC 与线段 B′C′是对应线段；（3）∠BAC 和∠B′AC′，∠B 与 B′，∠C 与∠C′是对应角.
想一想：△ABC 的边 AB 的中点 D 的对应点在哪里？
根据旋转的原理：图形上每一个点都绕着旋转中心，按同一方向，旋转同一角度而得到的，所以 AB 的中点 D 的对应点也应在它的对应线段 AB′的中点位置.
做一做：如果△ABC 的外面一点 O 作为旋转中心，把△ABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转 60°，将△ABC 旋转到△A′B′C′位置，你会做吗？在学生动手操作下，不会的同学也可以互相交流.


4. 观察下图，回答问题.
△ABC 和△A′B′C′的顶点、边、角是如何对应的呢？
（1） 点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′是对应点.
（2） 线段 AB 与线段 A′B′，线段 BC 与线段 B′C′，线段 AC 与线段
A′C′是对应线段（即对应边）.
（3） ∠A 与∠A′，∠B 与∠B′，∠C 与∠C′是对应角.
【教学说明】 引导学生自主探究，动手操作，小组合作学习，配以课件的动画效果，从而突破本节课的难点.

三、运用新知，深化理解
1. 见教材第 120 页例 1、例 2.
2. 如图所示，如果把钟表的指针看成四边形 AOBC，它绕着 O 点旋转到四边形 DOEF 位置，在这个旋转过程中：旋转中心是 ，旋转角是 ，经过旋转，点 A 转到 ，点 C 转到 ，点 B 转到 ，点 A 与点 ，点 C 与点 ， 点 B 与点 是对应点.线段 OA 与线段 ，线段 OB 与线段 ，线段 BC 与线段 ，线段 OB 与线段 是对应线段，∠A 与 ，∠B 与 ，∠C 与 ，∠AOB 与是 对应角.



3. 如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O 点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：


（1） 旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2） 经过旋转，点 A、B 分别移动到什么位置？
4. 如图所示，△DBE 是等边△ABC 绕着B 点按逆时针方向旋转 30°得到的，按图回答：




（1） A、B、C 的对应点是什么？
（2） 线段 AB、AC、BC 的对应线段是什么？
（3） ∠A、∠C 和∠ABC 的对应角是什么？
5. 如图所示，△ABC 的∠BAC=90°，AB=AC，D、E 在 BC 上，∠DAE=45°，
△AEC 按顺时针方向转动一个角后成△AFB.




（1） 图所示中哪一点是旋转中心？
（2） 旋转了多少度？
（3） 指出图中的对应点、对应线段和对应角.
【教学说明】 加深对图形旋转基本概念的理解及应用.
【答案】2.答案：略
3. 解：（1）旋转中心是 O，∠AOE、∠BOF 等都是旋转角.
（2）经过旋转，点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置.
4. 解：（1）D B E （2）DB DE BE （3）∠D ∠E ∠DBE
5. 解：（1）A （2）90° （3）A 的对应点是 A，E 的对应点为 F，C 的对应点是 B，AC 的对应线段 AB，AE 的对应线段是 AF，EC 的对应线段是 FB，
∠1 的对应角为∠2，∠3 的对应角为∠F，∠C 的对应角为∠4. 四、师生互动，课堂小结
本节课你学会了什么？还有哪些问题和不足之处?



1. 布置作业:教材第 121 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



课堂教学是一个动态过程，学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影

响，为了达到最佳的教学效果，教师一方面采取多媒体辅助教学，旨在呈现更直观的印象，提高学生的积极性和主动性，并提高课堂效率.另一方面采取“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式展开，引导学生自己提出问题、解决问题、拓展问题，指导学生用观察、抽象、自主探究为主，合作交流为辅的方法进行学习.

2. 旋转的特征



【知识与技能】
通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质，能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形.
【过程与方法】
通过对日常生活中与旋转现象有关的图形探索过程，掌握相关画图的操作能力，发展审美观.
【情感态度】
培养识图能力，体会旋转现象在现实生活中的价值.
【教学重点】
图形的旋转的基本性质及其应用.
【教学难点】
图形的旋转的基本性质及其应用.



一、 情境导入，初步认识
1. 什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？
2. 什么叫旋转的对应点？
【教学说明】 复习上节课的内容，为本节课的学习做铺垫. 二、思考探究，获取新知
1.如图，若旋转中心在△ＡＢＣ的外面点 O 处，逆时针转动 60°，将整个
△ＡＢＣ旋转到△A′B′C′的位置.





观察上图，探索图中线段之间与角之间的关系，填空.
旋转中心是点 O，点 A、B、C 都是绕着点 O 旋转 60°角到对应点 A′、B′、C′，则 OA= ，OB= ，OC= ，AB= ，BC= ，CA= ，∠ CAB= ，∠ABC= ，∠BCA= .∠AOA′= = =60°
△ABC 和△A′B′C′的形状、大小有何变化？ .你发现了什么？
2.（1）将一个平面图形 F 上的每一点，绕这个平面一 点旋转，得到图形 F′，图形的这种变换就叫做旋转.（2）对应点到对应中心的距离 .
（3）对应点与旋转中心所成的角彼此 ，且等于 角.（4）旋转不改变图形的 和 .
【归纳结论】 图中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段长度相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等；图形的形状与大小不变.
【教学说明】 通过观察图形，让学生自己总结规律，锻炼学生的归纳概括能力.
三、运用新知，深化理解
1. 下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ）
A. 旋转使图形的形状发生改变
B. 由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C. 平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D.对应点到旋转中心距离相等
2. 如图把正方形绕着点 O 旋转，至少要旋转 度后与原来的图形重合.



3. 如图，如果把钟表的指针看做四边形 AOBC，它绕 O 点旋转得到四边形
DOEF.在这个旋转过程中：



（1） 旋转中心是什么?
（2） 经过旋转，点 A，B 分别移动到什么位置？
（3） 旋转角是什么？
（4） AO 与 DO 的长有什么关系？BO 与 EO 呢？
（5） ∠AOD 与∠BOE 有什么大小关系？
4. 如图：P 是等边△ABC 内的一点，把△ABP 通过旋转分别得到△BQC 和
△ACR，




（1） 指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？
（2） △ACR 是否可以直接通过把△BQC 旋转得到？
5. 如图，有边长为 1 的等边三角形 ABC 和顶角为 120°的等腰△DBC，以 D 为顶点作 60°角，两边分别交 AB、AC 于 M、N，连结 MN，试说明△AMN 的周长为 2.




【教学说明】 让学生通过观察图形的特点，发现图形的旋转关系，巩固旋转的性质.
【答案】1.D 2.90 3.解：（1）O （2）D、E （3）∠BOE 和∠AOD
（4） 相等相等 （5）相等 4.解：略 5.解：如图，将△DNC 绕 D 点旋转， 使点 C 与点 B 重合，得到△DN′B，
∵△ABC 为等边三角形， 所以∠ABC=∠ACB=60°，
又∵△DBC 是顶角为 120°的等腰三角形，所以∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=∠DBN′=90°，
DM=DM，DN=DN′，
∠MDN=∠MDN′=60°，
所以△DMN 与△DMN′关于 DM 对称，故 MN=MN′=BM+CN， 所以△AMN 的周长=AM+NA+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC=2.
四、师生互动，课堂小结
引导学生从以下几个方面进行小结：
(1) 这节课你学到了什么?
(2) 对自己的学习情况进行评价.



1. 布置作业:教材第 122 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



在教学的全过程中，教师始终以提问、指导学生操作等方式引导学生发现规律；所有的特征都是通过让学生回顾自己的操作过程和观察自己的画图作品，体会、归纳得出.这样可以有效地培养学生的合作交流、独立思考问题、解决问题的能力. 在练习的设计上，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征，解决生活上的实际问题，从而体现数学的价值；同时，不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要，让不同的人在数学上得到不同的发展.

3. 旋转对称图形



【知识与技能】
理解旋转对称图形和旋转对称的特征.
【过程与方法】
通过探究图形之间的变换关系的过程，发展图形的分析能力，提高“化归” 意识和综合运用变换解决实际问题的能力.
【情感态度】
培养探究意识，感悟变换的内涵，体会其价值.
【教学重点】
认识旋转对称图形.
【教学难点】
合理运用变换解决有关问题.



一、情境导入，初步认识
在日常生活中，一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合.





电扇的叶片转动 °能与自身重合；螺旋桨转动 °后，能与自身重合.你能再举出一些这样的实例吗？
【教学说明】 用生活中的现象引入本节课的内容，使学生明白数学来源于生活，应用于生活.
二、思考探究，获取新知
1. 做一做



用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转， 观察旋转多少度（小于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合.
【归纳结论】 图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形.
注意：这个旋转的角度并不是唯一的.


2. 用类似上述的操作方法对如图所示的图形进行旋转，它是不是旋转对称图形？想一想：旋转中心在何处？该图形需要旋转多少度后，能与自身重合？该图形是轴对称图形吗？
3. 如图所示的图形是轴对称图形，用类似上述的操作方法对所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗？


4. 请你设计一个旋转 30°后能与自身重合的图形.
【教学说明】 通过学生自己动手画图，使学生明白旋转对称图形的特点.

三、运用新知，深化理解


1. 如图所示的图形中,是旋转对称图形的有( )
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
2. 将下列图形绕着一个点旋转 120°后,不能与原来的图形重合的是( )




3. 如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的,把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合,则旋转的角度为( )




A.45°或 90° B.90°或 180°
C.180°或 270° D. 45°n(１≤n≤８,且 n 为正整数) 4.如图,该图形围绕点 O 按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( )




A.72° B.108° C.144° D.216°
5. 如下图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的?每次旋转了多少度?旋转中心是哪个?




6. 如图,下列各图形是否是旋转对称图形?若是, 则各绕哪一点最少要旋转多少度后,能与它自身重合?


【教学说明】 对前面所学知识进行巩固提高.
【答案】1.D 2.C 3.D 4.B
5.解：图案可以看作由一个菱形通过６次旋转得到的,每次旋转 60°,旋转中心在图形的中心.
6.解：(１)是旋转对称图形 ,圆心,１８０°； (２)不是旋转对称图形；

（３)是旋转对称图形 ,圆心,６０°；
（4）是旋转对称图形,正方形对角线的交点,９０°. 四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你学会了什么？



1. 布置作业:教材第 124 页“练习”.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课通过观察图形，分析图形，使学生掌握什么样的图形是旋转对称图形， 会分析一个图形绕某个点旋转多少度后能够与原图形重合.从练习上可以看出学生掌握得较好.

10.4 中心对称



【知识与技能】
1. 了解中心对称、对称中心和对称点的概念.
2. 理解中心对称的性质.
3. 掌握运用中心对称的性质作图的方法.
【过程与方法】
通过观察、探索等过程，使学生更深刻地理解轴对称、平移、旋转及组合等几何变换的规律和特征，并体会图形之间的变换关系.
【情感态度】
运用讨论交流等方式，让学生自己探索出图形变化的过程，发展学生的图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.
【教学重点】
1. 中心对称的概念.
2. 中心对称的性质，利用中心对称的性质进行作图.
【教学难点】
中心对称与轴对称的区别与联系



一、情境导入，初步认识
什么是轴对称图形？什么是轴对称？什么是旋转？什么是旋转对称图形？
【教学说明】对本章所涉及到的几种图形进行复习，为学习中心对称打基础. 二、思考探究，获取新知


1. 观察下图，它们是什么图形？
【归纳结论】 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个

图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.


2. 如图，△ABC 与△A1B1C1 关于点 O 成中心对称，图中有哪些线段相等？
由图形及旋转的性质可以得到：AO=A1OBO=B1O,CO=C1O.
【归纳结论】 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心， 而且被对称中心所平分；反过来，如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点， 并且被这点平分，那么这两个图形关于这一点对称.


3. 中心对称与轴对称的联系与区别
4. 如图，已知△ABC 和点 O，画出△DEF，使△DEF 和△ABC 关于点 O 成中心对称.


分析：中心对称就是旋转 180°，关于点 O 成中心对称就是绕点 O 旋转
180°，因此，我们连 AO、BO、CO 并延长，取与它们相等的线段即可得
到.
解：（1）连结 AO 并延长 AO 到 D，使 OD=OA，于是得到点 A 的对称点 D，
如图所示.
（2） 同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F.


（3） 顺次连结 DE、EF、FD.则△DEF 即为所求的三角形.
【教学说明】 通过以上作图、观察，理解中心对称的概念、性质. 三、运用新知，深化理解
1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )




2. 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.按下列要求正确画出图形：
（1） 已知△ABC 和直线 MN，画出△ABC 关于直线 MN 对称的图形；
（2） 已知四边形 ABCD 和点 O，画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的四边形.





4.如图，在平面直角坐标系中， 若△ABC 与△A1B1C1 关于 E 点成中心对称， 求对称中心 E 点的坐标.
【答案】1.A 2.A 3.解：（1）过点 A 作 AA′⊥MN 且使 MN 垂直平分 AA′，过点 B 作 BB′⊥MN 且使 MN 垂直平分 BB′，过点 C 作 CC′⊥MN 且使 MN 垂直平分 CC′，然后顺次连接即可；（2）连接 AO 并延长至 A′，使 A′O=AO，连接 BO 并延长至 B′，使 B′O=BO，连接 CO 并延长至 C′，使C′O=CO，连接 DO 并延长至 D′，使 D′O=DO，然后顺次连接即可.
（1） △A′B′C′如图所示；





（2） 四边形 A′B′C′D′如图所示.
4.分析：连接对应点 AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心 E 点，在坐标系内确定出其坐标.
解：连接 AA1、CC1，则交点就是对称中心 E 点.观察图形知 E（3，-1）.



四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.



1. 布置作业:教材第 132 页“习题 10.4”中第 3、4 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



本节课还有许多可探讨之处，而且不少学生并没有真正理解.课堂上有一段时间，学生好像成了配合教师上课的配角，没有给足学生应有的思考空间，失去了学生的主体作用.教学过程中学生只是被动的回答问题，很少主动的提出问题； 特别是教师一对多的问答，其实一问一答的机械形式，是一种无实质性交往的“假”对话，是一种变相的灌输式教学，后果是：看着热闹，实则沉闷.人的好奇心是天生的，初中学生的认知特点决定了他们拥有探求新异事物的本能需要.

10.5 图形的全等



【知识与技能】
1. 借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程.
2. 了解图形全等的意义.
3. 了解图形全等的特征.
【过程与方法】
学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴
趣.
【情感态度】
学生积极参与图形全等的探究过程，从中体会合作与成功的快乐，建立学好
数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
全等图形的意义及特征.
【教学难点】识别全等图形.

一、 情境导入，初步认识
观察下面 2 组图片，他们有什么特点？




【教学说明】 学生观察图片，初步感知图形的全等. 二、 思考探究，获取新知
我们已经认识了图形的轴对称、平移、旋转，这是图形的三种基本变换.它
们的位置发生了变化，但它们的大小、形状没变.
要想知道两个图形的大小、形状是否发生了变化，我们可以经过这三种变换，

把它们重合在一起，观察它们是否完全重合.如果能够完全重合，那么它们的大小、形状没变.
【归纳结论】 能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
试一试：观察图中的平面图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？



【归纳结论】 图形的翻折、旋转、平移是图形的三种基本的运动. 图形经过这样的运动，位置虽然发生了变化，但形状、大小却没有改变，前后两个图形是全等的.反过来，两个全等的图形经过这样的运动一定能够重合.


思考：观察下图中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的运动和另一个图形重合？
上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形.两个全等的多边形， 经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
如下图中的两个五边形是全等的，记作五边形 ABCDE≌五边形 A′B′C′

D′E′.（这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”.）.点 A 与 A′，B 与 B′， C 与 C′，D 与 D′，E 与 E′分别是对应顶点.




【归纳结论】 全等多边形的对应边、对应角分别相等.
这就是全等多边形的特征.实际上这也是我们识别全等多边形的方法，即边、角分别对应相等的两个多边形全等.


三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等. 同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 如下图所示，△ABC≌△DEF.
【教学说明】 通过探究，使学生了解全等图形、全等多边形、全等三角形的概念，掌握全等图形的性质.
三、运用新知，深化理解
1. 见教材第 135 页例题.
2. 下列说法正确的是（ ）
①用一张像纸冲洗出来的 10 张 1 寸像片是全等图形；
②我国国旗上的 4 颗小五角星是全等图形；
③所有的正方形是全等图形；
④全等图形的面积一定相等.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3. 对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，面积也相同.

其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4. 下列图形：①两个正方形；②每边长都是 1cm 的两个四边形；③每边都是
2cm 的两个三角形；④半径都是 1.5cm 的两个圆.其中是一对全等图形的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5. 全等图形的 和 都相同.


6. 找出图中的全等图形:
7. 下列图形中，哪些是全等图形？用线把它们连接起来.




8. 如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°,求出△AEC 各内角的度
数.



【教学说明】 通过练习，检测学生掌握的情况，教师在作适当讲解.
【答案】2.C 3.A 4.B 5.大小形状 6.解：（1）和（8），（2）和（6），

（3）和（9），（5）和（7），（13）和（14） 7.解：略
8.解：∠B=30°, ∠ACB=85°∵△ABC≌△AEC, ∴∠E=∠B=30°∠
ACE=∠ACB=85°在三角形ACE 中∠CAE=180°-∠E-∠ACE=65°即△AEC 各
内角的度数分别为∠E=30°、∠ACE=85°、∠CAE=65°. 四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.



1. 布置作业:教材第 136 页“习题 10.5”中第 1、2、3 题.
2. 完成练习册中本课时练习.



通过这节课的教学实践，使教师认识到.教学必须紧密联系学生的生活和实际，使学生对所学的内容兴趣盎然，乐于探究.教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员.全面的培养学生的创新意识与实践能力.

章末复习



【知识与技能】
进一步感知、理解轴对称、平移与旋转现象.并能准确判断图形的平移和旋转现象.
【过程与方法】
通过观察、分类、对比，进一步理解图形的轴对称、平移和旋转的变换特征.
【情感态度】
通过丰富的旋转、平移、轴对称的感性认识，激发学生学习数学的兴趣，感受到生活与数学的密切关系.
【教学重点】
理解物体的轴对称、平移和旋转的变换特征.
【教学难点】
理解物体的轴对称、平移和旋转的变换特征.



一、知识框图，整体把握



【教学说明】 通过引导学生复习总结知识结构，进一步加深学生对本章知识的理解.
二、释疑解惑，加深理解

轴对称：
1. 轴对称图形的概念：如果图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴.
2. 轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形的对应点（即两个图形重合时互相重合的点.）叫做对称点.
3. 轴对称的的特征：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.4.轴对称的画法：如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形.
平移：
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
2. 平移的特征：
（1） 平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等(也可能在同一条直线上.)，对应角相等，图形的形状和大小不变.
（2） 平移后对应点所连的线段平行并且相等.
（3） 在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 旋转：
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋
转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
2. 旋转的特征：图中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等；图形的形状与大小不变.
旋转对称图形：
图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图
形.
中心对称图形：

1. 中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
2. 中心对称图形的特征：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；反过来，如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
中心对称与轴对称的联系与区别：



全等图形
1. 全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
2. 全等图形的性质：
全等多边形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形的对应边、对应角分别相等.
【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
三、典例精析，复习新知
例 1 下列日常生活现象中，不属于平移的是（ ）
A. 飞机在跑道上加速滑行
B. 大楼电梯上上下下地迎送来客C.时钟上的秒针在不断地转动

D.滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔
例 2 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.等边三角形 B.长方形
C.等腰梯形 D.平行四边形
例 3 如图所示,△ABC 平移后得到△DEF,已知∠B=35°,∠A=85°,则∠
DFE=（ ）
A.60° B.35° C.120° D.85°


例 4 如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 1，四边形 ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为 AD 边的中点，若把四边形 ABCD 绕着点 O 顺时针旋转 180°，画出四边形 ABCD 旋转后的图形 A′B′C′D′.








例 5 如图，已知△ACE 是等腰直角三角形，∠ACE=90°,B 为 AE 上一点，
△ABC 经过旋转到达△EDC 的位置，问：




（1） 旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2） 若已知∠ACB=20°，求∠CDE、∠DEB 的度数.
【答案】1.C 2.B 3.A 4.解：如图:
5.解：（1）旋转中心是点 C，旋转了 90°.
（2）∵△ACE 是等腰直角三角形∴∠CAB=∠CEA=45°∵△ABC 经过旋转到达△EDC 的位置∴△EDC 与△ABC 全等∴∠ECD =∠ACB=20°,∠CED=
∠CAB=45°∴∠DEB=∠CED+∠CEA=90°在△EDC 中，∠ECD=20°，∠

CED=45°∴∠CDE=180°-20°-450=115°
四、复习训练，巩固提高
1. 下列标志中，是旋转对称图形但不是轴对称的有（ ）



A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2. 如图，下面的四个图形中，由左图绕点Ｏ顺时针旋转９０°后，向左平移一个单位得到的是（ ）

3. 如图，将三角尺 ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点 B 顺时针转动一个角度到 A1BC1 的位置，使得点 A、B、C1 在同一条直线上，那么这个角度等 于 （ ）




A.120° B.90° C. 60° D. 30°


4. 如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路（图中画线的是两条小路），余下部分绿化，道路的宽为 2 米，则绿化的面积为多少平方米？



5. 如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60° 后能与△ACP′重合，如果 AP=3，试问 PP′是多少？为什么？

【教学说明】 学生先独立完成，教师再作讲解强调.
【答案】1.A 2.B 3.A 4.分析：根据平移的性质，图中水平的路平移到一条直线上，就等于 32 米；竖直的路平移到一条直线上，就等于 20 米，这样就知道了路的面积，从而可以求出剩余的面积.
解：32×20—32×2—20×2+2×2=540 平方米
答：绿化的面积 540 平方米
5.解：∵△ACP′是△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到的.
∴∠PAP′=60° AP=AP′ ∴△APP′是等腰三角形且∠PAP′=60°
∴∠APP′=AP′P=60°∴△APP′是等边三角形∴PP′=AP=3 五、师生互动，课堂小结
通过今天的整理复习，你对对称、平移、旋转有了哪些新的认识？



1.布置作业:教材第 138~142 页“复习题”中第 2、6、10、13、15、17 题.
2.完成练习册中本课时练习.



本节课对轴对称、平移、旋转的特征进行有目的的回顾整理.注重在练习上加深对知识点的进一步掌握.练习题有层次，有效地整合了教材和新课堂设计的练习题，注意练习的层次性.既有基本练习，又有综合练习，尽量结合学生的生活实际去设计，提升学生解决问题的能力；拓展题目，主要让学生自己依据要求去独立或合作完成，培养了学生的空间想象能力和合作意识.