中考数学几何模型加强版 模型27 平行线侧M型

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专题27 平行线侧M型
一、单选题
1．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（　　）

A．100° B．60° C．40° D．20°
【答案】A
【详解】
解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．

【点睛】
本题考查平行线的判定与性质．
2．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
【答案】B
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【详解】
如图，过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.
3．如图，已知，则∠BCE的度数为（ ）

A．70° B．65° C．35° D．55°
【答案】B
【分析】
过点C作CF平行于AB，根据平行线的性质及题意可直接求出．
【详解】

过点C作，


．
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
【答案】C
【分析】
过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
5．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（　　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】B
【分析】
过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
6．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【详解】
解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
7．如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ）


A．101° B．103° C．105° D．107°
【答案】B
【分析】
如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【详解】
解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故选：B．

【点睛】
该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
二、解答题
8．已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【分析】
（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】
解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
9．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】
（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
【详解】
（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，
即∠B+∠A+∠C=360º；
（4）如图（4），设BE与AC相交与D，
∵与平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如图（5），设CF与AB相交与D，
∵与平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．
10．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：

证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行
【分析】
根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】
证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
11．如图，ABCD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．
在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：
（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　 　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQnF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由见解析；（3）∠EPF+（2n+1）•∠EQnF＝360°．
【分析】
（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；
（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根据（1）中的解题方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；
猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
即∠EPF＝2∠EQF；
故答案为55°；
（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：
如图2，过P作PMAB，过Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），
∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β），
…
则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），
∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，
∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°．

【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角的规律等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
12．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．

（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝　 　°．
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
【答案】（1）50；（2）∠α＝∠1+∠2，证明见解析；（3）不成立．理由见解析．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；
（2）由题意过P作PG∥AB，则PG∥AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；
（3）根据题意过P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，利用平行线的性质进行分析即可求解．
【详解】
解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°
∴∠2＝∠α＝50°，
故答案为：50；
（2）∠α＝∠1+∠2．
证明：过P作PG∥AB，

∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，
∴∠α＝∠1+∠2；
（3）不成立．
理由：过P作PH∥AB，

∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，
∴∠α＝∠2﹣∠1，
故不成立．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键．
13．（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

【答案】(1)110°；（2）①；②或
【分析】
（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数；
（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．
【详解】
解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：

，所以：
，
所以，；
（2）①，理由如下：
如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

，
∵，∴；
②分两种情况讨论：
第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

；
第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：


【点睛】
本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．
14．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG.
(1) 如图1，AB∥CD，求证：∠AEF＋∠FGC＝∠EFG；
(2) 若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD 如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）2∠EFG=∠AEF+∠FGC，理由见解析．
【分析】
（1）过F作FQ∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG；
（2）延长AB，CD，交于点P，依据∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC），再根据四边形内角和，即可得到四边形EFGP中，∠F+∠P=360°-（∠FEP+∠FGP）=∠AEF+∠FGC，进而得出结论．
【详解】
（1）如图1，过F作FQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FQ∥CD，
∴∠AEF=∠QFE，∠FGC=∠GFQ，
∴∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG；

（2）如图2，延长AB，CD，交于点P，
∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，
∴∠FEG=∠PEG，∠FGE=∠PGE，
∴∠EFG =∠P，
∵∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，
∴∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC），
∵四边形EFGP中，
∠EFG +∠P=360°-（∠FEP+∠FGP）
=360°-[360°-（∠AEF+∠FGC）]
=∠AEF+∠FGC，
即2∠EFG=∠AEF+∠FGC．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
15．问题情境：如图1，已知，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________．
问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，
问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
【答案】问题情境： 252°；问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β-∠α；理由见解析；或∠CPD=∠α-∠β．理由见解析；问题拓展：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
【分析】
问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
问题迁移：（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】
解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．

故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．
16．如图，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将沿轴向右平移，平移后得到，点的对应点是点，已知点的坐标为，点的坐标为，且，，满足．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）点是线段上一动点（不与点，重合），连接，，在点运动过程中，，，之间是否存在永远不变的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并请证明；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）(4，0)；（2）见解析；（3）存在，∠DPA=∠CDP+∠PAE，证明见解析
【分析】
（1）根据非负数的性质可得关于a、b、c的方程，解方程即可求出a、b、c的值，再根据平移的性质解答即可；
（2）根据平移的性质和平行线的性质即可证得结论；
（3）如图，过点P作PQ∥AB，根据平行公理的推论可得PQ∥CD∥AB，然后根据平行线的性质和角的和差即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵，
∴ ，解得：，
∴点A的坐标是(﹣2，0)，点C的坐标是(6，4)，点D的坐标是(0，4)．
∴△AOD沿x轴向右平移6个单位长度得到△BEC．
∴点A的对应点B的坐标是(4，0)；
（2）证明：∵△AOD沿x轴向右平移，平移后得到△BEC，
∴AD∥BC，CD∥AB．
∴∠DAE=∠CBE，∠CBE=∠BCD．
∴∠DAE=∠BCD；
（3）答：∠CDP、∠DPA、∠PAE之间存在永远不变的数量关系∠DPA=∠CDP+∠PAE．
证明：如图，过点P作PQ∥AB．
∵CD∥AB，
∴PQ∥CD∥AB．
∴∠CDP=∠DPQ，∠QPA=∠PAB．
∴∠DPA=∠DPQ+∠QPA=∠CDP+∠PAE．

【点睛】
本题考查了非负数的性质、平移的性质、平行公理的推论以及平行线的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
17．如图，已知，平分，平分，．

（1）求的度数；
（2）若，试求的度数．
【答案】（1）35°；（2）55º
【分析】
（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出与∠FED的度数，再根据角的和差计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和角的和差计算，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
18．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过作，通过平行线的性质来求的度数．

（1）按小明的思路，易求得的度数为________度；
（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，试问与，之间有何数量关系？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点在点左侧和点右侧运动时（点与点，，三点不重合），请直接写出与，之间满足的数量关系．
【答案】（1）110°；（2）∠APC=α+β；（3）∠CPA=α-β或∠CPA=β-α
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；

（3）如下图所示，
①当P在BD延长线上时，
∠CPA=α-β；
②当P在DB延长线上时，
∠CPA=β-α．


【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
19．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图，若，点在、外部，我们过点作、的平行线，则有，则，，之间的数量关系为_________．将点移到、内部，如图，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．

（2）迎“”科技节上，小兰制作了一个“飞旋镖”，在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，他很想知道、、、之间的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系：__________．
（3）设交于点，交于点，已知，，直接写出的度数为_______度，比大______度．

【答案】（1）∠BPD=∠B-∠D；将点P移到AB、CD内部，∠BPD=∠B-∠D不成立，∠BPD=∠B+∠D，证明见解析；（2）∠BPD=∠ABP+∠D+∠BQD；（3）80，46．
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，即可得出∠BPD=∠B-∠D；将点P移到AB、CD内部，延长BP交DC于M，由平行线的性质得出∠B=∠BMD，即可得出∠BPD=∠B+∠D；
（2）由平行线的性质得出∠A′BQ=∠BQD，同（1）得：∠BPD=∠A′BP+∠D，即可得出结论；
（3）过点E作EN∥BF，则∠B=∠BEN，同（1）得：∠FQE=∠F+∠QEN，得出∠EQF=∠B+∠E+∠F，求出∠EQF=180°-100°=80°，即∠B+∠E+∠F=80°，由∠AMP=∠APB-∠A=126°-∠A，∠FMQ=180°-∠AQF-∠F=180°-100°-∠F=80°-∠F，∠AMP=∠FMQ，得出126°-∠A=80°-∠F，即可得出结论．
【详解】
解（1）∵AB∥CD∥PE，
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，
∵∠BPE=∠BPD+∠DPE，
∴∠BPD=∠B-∠D，
故答案为：∠BPD=∠B-∠D；
将点P移到AB、CD内部，∠BPD=∠B-∠D不成立，
∠BPD=∠B+∠D，理由如下：
延长BP交DC于M，如图b所示：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BMD，
∵∠BPD=∠BMD+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）∵A′B∥CD，
∴∠A′BQ=∠BQD，
同（1）得：∠BPD=∠A′BP+∠D，
∴∠BPD=∠ABP+∠D+∠BQD，
故答案为：∠BPD=∠ABP+∠D+∠BQD；
（3）过点E作EN∥BF，如图d所示：
则∠B=∠BEN，
同（1）得：∠FQE=∠F+∠QEN，
∴∠EQF=∠B+∠E+∠F，
∵∠AQF=100°，
∴∠EQF=180°-100°=80°，即∠B+∠E+∠F=80°，
∵∠AMP=∠APB-∠A=126°-∠A，∠FMQ=180°-∠AQF-∠F=180°-100°-∠F=80°-∠F；
∵∠AMP=∠FMQ，
∴126°-∠A=80°-∠F，
∴∠A-∠F=46°，
故答案为：80，46．

【点睛】
本题考查了平行线性质，三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点作，通过平行线性质来求．

（1）按照小明的思路，写出推算过程，求的度数．
（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，请直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
【分析】
（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于点E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
21．(1)问题发现：如图①，直线??//??，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠? +∠?= ∠???．

请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作??//??，
∵ ??//??(已知)，??//??(辅助线的作法)．
∴ ??//??( )．
∴ ∠? = ∠???( )
∵ ??//??，∴ ∠? = ∠???(同理)．
∴ ∠? + ∠? = (等量代换)
即∠? + ∠? = ∠???．
(2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠? + ∠? = 360°−∠???，请说明理由．
(3)解决问题：如图③，??//??，∠?=120°，∠???=80°，请直接写出∠?的度数．
【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）见解析；（3）20°
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
解：（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C=∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；

（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠AEC=360°，
∴∠B+∠C=360°-∠BEC；

（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，
∵∠C=120°，∠AEC=80°，
∴∠CEF=180°-120°=60°，
∴∠BEF=80°-60°=20°，
∴∠A=∠AEF=20°．
故答案为：20°．

【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
22．已知射线平行于射线，点、分别在射线、上.

（1）如图1，若点在线段上，若，时，则_________.
（2）如图1，若点在线段上运动（不包含、两点），则、、之间的等量关系是_____________________.
（3）①如图2，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________；
②如图3，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________.
（4）请说明图2中所得结论的理由.
【答案】（1）；（2）；（3）①；②；（4）见解析；
【分析】
（1）过P作GH∥CD，根据平行线的性质得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，则∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，把∠A=25°，∠APC=70°代入计算可得到∠C的度数；
（2）过P作GH∥CD，根据平行线的性质得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，则∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，可得到∠APC=∠A+∠C；
（3）过P作MN∥CD，根据平行线的性质得∠MPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥MN，得到∠APM=∠A，则∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A，可得到∠APC=∠C-∠A；
② 过P作IJ∥CD，根据平行线的性质得∠IPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥IJ，得到∠API=∠A，则∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C，可得到∠APC=∠A-∠C；
（4）过点作，由两直线平行，内错角相等，得到，，再由角的关系进行相减即可.
【详解】
解：

（1）如图1，过P作GH∥CD，
∴∠C=∠CPH.
∵AB∥CD，
∴AB∥GH，
∴∠A=∠APH.
∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，
∴∠C=∠APC-∠A=70°-25°=45°.
（2）如图1，如图1，过P作GH∥CD，
∴∠C=∠CPH.
∵AB∥CD，
∴AB∥GH，
∴∠A=∠APH.
∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，
∴.
（3）①如图2，过P作MN∥CD，
∴∠MPC=∠C.
∵AB∥CD，
∴AB∥MN，
∴∠APM=∠A.
∵∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A
∴；
②如图3，过P作IJ∥CD，
∴∠IPC=∠C.
∵AB∥CD,
∴AB∥IJ,
∴∠API=∠A.
∵∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C
∴.
（4）理由：过点作

∵
∴
∴，
∵
∴
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题的关键是熟练运用平行线的性质进行解题.
23．如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数.

【答案】.
【解析】
【分析】
先设，.由题意的
，，又因为的余角等于的补角，所以，最终求得.
【详解】
设，.
由基本图形HABCG知，
由基本图形HAFCG知，
因为的余角等于的补角，
所以，解得，
所以
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线、余角和补角，解题的关键是设，，由题意得到有关x，y有关的等式.
24．如图所示，，是两直线内部一点.
（1）与的平分线交于点，探究和之间的的数量关系.
（2）如图所示，，，与之间又有何数量关系？
（3）若，，与之间又有又有何数量关系？

【答案】（1）； （2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由侧M图ABEDC知，所以.
（2）解题思路和（1）相似；
（3）解题思路和（1）相似.
【详解】
（1）.
侧M图ABFDC知，由侧M图ABEDC知，所以.
（2）.
侧M图ABFDC知，
因为，，
所以，
由侧M图ABEDC知，所以
.
（3）.
侧M图ABFDC知，
因为，，
所以，
由侧M图ABEDC知，所以
.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉并掌握平行线的性质，题目难度一般.