中考数学几何模型加强版 模型17 角平分线和高线的夹角

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专题17  角平分线和高线的夹角 1．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.
【解析】66° 【分析】过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．【详解】过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，∵DH=DF，DG=DF，∴DH=DG，∵DG⊥AC，DH⊥BA，AD平分∠HAC，∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．故答案为：66．【点睛】本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键． 2．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．【解析】5【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可．【详解】解：在△ABC中，
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°．故答案为：5.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．3．如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠B＝60°，则∠DCE＝_______．【解析】15°【解析】试题分析：根据三角形内角和定理可得：∠ACB=180°－∠A－∠B=90°，根据角平分线的性质可得：∠BCE=90°÷2=45°，根据CD⊥AB，∠B=60°可得：∠BCD=30°，则∠DCE=45°－30°=15°.考点：（1）、角平分线的性质；（2）、三角形内角和定理二、解答题4．（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由（2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成 锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示）【解析】（1）2∠P＝∠A；理由见解析；（2）①∠P＝（α+β）﹣90°；②∠P＝90°﹣．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质可得2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，运用等量代换即可得解；（2）①添加辅助线，延长BA交CD的延长线于F，利用（1）中结论解决问题即可；②添加辅助线，延长AB交DC的延长线于F，同①的思路求解即可．【详解】（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）①延长BA交CD的延长线于F．∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣．【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．小学我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题：已知的平分线与的平分线交于点，      （1）如图2，若，，，则_________；（2）如图3，若不平行，，，则_______．（3）在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明．【解析】（1）35°；（2）40°；（3）∠D+∠B=2∠E，理由见解析【分析】(1)（2）在△CDF和△AEF中，有：∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①；在△ABG和△CEG中, ∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②；①＋②再结合的平分线与的平分线交于点，进行化简得到∠E=（∠B+∠D），然后将∠B和∠D代入即可解答；（3）根据（1）（2）的推导即可得到∠D+∠B=2∠E．【详解】解：（1）如图2在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE又∵的平分线与的平分线交于点∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE∴∠E=（∠B+∠D）∵，∴∠E＝35°（2）如图3:同(1)可得∠E=（∠B+∠D）∵，∴∠E＝40°（3）解：∠D+∠B=2∠E．理由如下：在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE又∵的平分线与的平分线交于点∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE∴∠E=（∠B+∠D）∴∠D+∠B=2∠E【点睛】考查了平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质，解题方法较多，关键在于选择合适的解题方法．6．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝　   　度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为　   　（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【解析】（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分别为125°，90°+α．（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由轴对称性质知：，由（1）②可得，∴．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．7．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.【解析】，【解析】【分析】由AD是高易得∠DAC与∠C互余，即可求出∠DAC，由三角形内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABO与∠BAO，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数.【详解】解：是的高在中在中、是角平分线在中，【点睛】本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．（1）求∠C的度数．（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．【解析】（1）70°；（2）∠C=β+2α．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案；（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案．【详解】（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵∠EAD=15°，∴∠BAE=50°-15°=35°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=35°，∴∠BAC=70°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=β，∴∠BAD=90°-β，∵∠EAD=α，∴∠BAE=90°-β-α，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=∠BAC=90°-β-α，∴∠BAC=180°-2β-2α，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．9．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数.【解析】【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABE的度数，二者作差即可得出答案.【详解】解：∵是的高，∴∠ABD=，∵是的角平分线，∴∠ABE=，∴.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的性质.在图形中找出这一数量关系是解题的关键.10．如图，在中，是角平分线，是延长线上一动点，于点下，试探索与、的数量关系.【解析】，见解析.【解析】【分析】过点C作于点G，首先根据三角形的内角和定理，求出∠BCA的度数；然后根据角平分线的性质，求出∠ACE；再根据三角形的外角的性质，求出∠CED的度数，进而求出∠ECG，再根据同角的余角相等得出∠ECG=∠D即可．【详解】解：如图，过点C作于点G，，，在中，∠ACB=180°-（∠A+∠ABC）
∵CE是角平分线，∴∠ACE=90°-∠A-∠ABC∴∠DEC=90°+∠A-∠ABC∵∴∠ECG=90°-∠DEC∴，【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的角平分线把这个角分成两个大小相同的角．11．如图，在中，，，平分，于，于，求.【解析】.【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠ACE，根据三角形的外角的性质求出∠FED，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠A=42°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-70°-42°=68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB=34°，
∴∠FED=∠A+∠ACE=76°，
∵DF⊥CE，
∴∠EDF=90°-∠FED=14°，
故答案为14°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及三角形的角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．12．如图，在中，，为内一点，使得，求的度数．【解析】150°【解析】【分析】作于点，延长交于点，连接，,故，证，从而.由，得，故.【详解】如图，作于点，延长交于点，连接，则，，，得.又，所以，又因此，从而.由，得，故.【点睛】考核知识点：全等三角形判定和性质，等腰三角形性质.作好辅助线是关键.13．如图，在中，是的平分线，为上一动点，，交的延长线于点.（1）若，，求的度数；（2）当点在上运动时，探求与、之间的数量关系，并证明.【解析】（1），（2），见解析.【解析】【分析】（1）先根据三角形外角的性质及角平分线求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数；（2）先根据三角形外角的性质及角平分线得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出与、之间的数量关系.【详解】解：（1）∵是的平分线，∴，∴,∵，；（2）∵是的平分线，∴，∴,∵，；∵,∴,即.【点睛】本题考查了三角形内角和定理及其推论、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.14．如图，在中，，于，平分，试用表示.【解析】.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得,根据三角形外角的性质得,再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论.【详解】解：∵，∴，∴,∵平分，∴，∵于，∴,∵,∴,即.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论.灵活转化角之间的关系是解题的关键.