2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§5.2　与圆有关的位置关系

这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§5.2　与圆有关的位置关系，共60页。
考点一　点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020广东广州,7,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cs A= ,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 (　　) A.相离　    B.相切C.相交　    D.无法确定
答案    B　∵∠C=90°,AB=5,cs A= = ,∴AC=AB·cs A=5× =4,∴BC= = =3.∵r=3,∴☉B与AC的位置关系是相切.故选B.
2.(2019广东广州,5,3分)平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线的条数为 (    　)A.0条　    B.1条　    C.2条　    D.无数条
答案    C　∵点P到点O的距离为2,☉O的半径为1,∴点P到圆心的距离大于半径,∴点P在☉O外.∵过圆 外一点可以作圆的两条切线,∴过点P可以作☉O的两条切线.故选C.
考点二　切线的判定与性质
答案    D　∵AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°,又∵∠B=20°,∴∠AOB=90°-20°=70°,故选D.
2.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,BC与☉O交于点D,连接OD.若∠ C=50°,则∠AOD的度数为 (　　) A.40°　    B.50°　    C.80°　    D.100°
答案    C　∵AC是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴AB⊥AC,∴∠CAB=90°.∵∠C=50°,∴∠B=180°-90°-50°=40°.∴∠AOD=2∠B=2×40°=80°,故选C.
3.(2020山西,18,7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的☉O与AB相切于点B,与 AO相交于点D,AO的延长线交☉O于点E,连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数. 
解析　连接OB. (1分)∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∴∠OBA=90°. (2分)∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC.∴∠BOC=∠OBA=90°. (3分)∵OB=OC,∴∠C=∠OBC= (180°-∠BOC)= ×(180°-90°)=45°.(4分)∵四边形OABC是平行四边形,∴∠A=∠C=45°. (5分)∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-45°-90°=45°. (6分)∴∠E= ∠DOB= ∠AOB= ×45°=22.5°. (7分)
思路分析　连接OB,由切线的性质可得OB⊥AB,再由四边形OABC是平行四边形可得∠BOC=∠OBA=9 0°,然后根据OB=OC可求∠C,根据圆周角定理可求∠E.
4.(2020陕西,23,8分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于 点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:AD∥EC;(2)若AB=12,求线段EC的长.
解析　(1)证明:如图,连接OC.∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°. (1分)又∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°.∴AD∥EC. (3分) (2)如图,过点A作AF⊥EC,垂足为F.∵OA=OC,∴四边形AOCF为正方形.∵∠ABC=45°,∠BAC=75°,∴∠ACB=60°.∴∠D=60°.∵AD是直径,
∴∠ABD=90°,∴∠BAD=30°.在Rt△ABD中,AD= =8 . (6分)∴AF=CF=OA=4 .∵AD∥EC,∴∠E=∠BAD=30°.在Rt△AEF中,EF= =12.∴EC=EF+FC=12+4 . (8分)
5.(2020宁夏,23,8分)如图,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的☉O交AB于点E,连接CE, 且CE平分∠ACB.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)连接DE,若∠A=30°,求 . 
解析　(1)证明:连接OE.∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE.又∵OE=OC,∴∠ACE=∠OEC,∴∠BCE=∠OEC,∴OE∥BC, (2分)∴∠AEO=∠B.又∵∠B=90°,∴∠AEO=90°,∴OE⊥AE,∵OE是☉O的半径,∴AE是☉O的切线. (4分) (2)解法一:∵CD是☉O的直径,∴∠DEC=90°.又∵∠DCE=∠ECB,∴△DCE∽△ECB.∴ = . (6分)
∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=60°,∴∠DCE= ∠ACB= ×60°=30°.∴ =cs∠DCE=cs 30°= .∴ = . (8分)解法二:设OD=OC=r,在Rt△AOE中,∵∠A=30°,OE=r,∴AO=2r,即D为AO的中点,∴DE= AO=r. (6分)在Rt△ABC中,AC=3r,∠A=30°,∴BC= r.在Rt△BCE中,BC= r,∠BCE=30°,∴BE=BC·tan 30°= r× = r,
6.(2019新疆,22,10分)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE⊥AB于点E.(1)求证:∠BCE=∠BCD;(2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径. 
解析　(1)证明:连接OC,AC, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°,又∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠OCB+∠BCD=90°.∴∠ACO=∠BCD. (2分)∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴∠BCE+∠ABC=90°,∵∠A+∠ABC=90°,∴∠BCE=∠A.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO=∠BCD.∴∠BCE=∠BCD. (5分)(2)作BF⊥CD于点F,得△BFD∽△CED,由(1)得BF=BE.∵CE=2BE,∴ = = = ,即CD=2BD. (7分)∵∠BCD=∠A,∠CDB=∠ADC,∴△CBD∽△ACD,∴ = .∵AD=10,∴BD= ,∴AB= ,∴OA= .∴☉O的半径为 . (10分)
7.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直径,过点A的切线与CD的延长线 相交于点P,且∠APC=∠BCP.(1)求证:∠BAC=2∠ACD;(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求☉O的半径. 
解析　(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∵PA是☉O的切线,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴∠APC=90°-∠ACD,∵∠BCD=∠APC,∴∠BCD=90°-∠ACD,∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°-2∠ACD,∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-(90°-2∠ACD)=2∠ACD.(2)连接DO并延长,与BC交于点F,如图.
∵∠AOD=2∠ACD,∠BAC=2∠ACD,∴∠AOD=∠BAC,∴DF∥AB,∴∠DFC=∠ABC=90°,∴DF⊥BC,∴BF=FC=3,∵DE⊥AC,∴∠DEO=∠DFC=90°,∵∠DOE=∠COF,OD=OC,∴△DOE≌△COF, ∴DE=FC=3,在Rt△DOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2,解得OD= ,即☉O的半径为 .
8.(2018天津,21,10分)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图①,若D为 的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如图②,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小. 
解析　(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为 的中点,得 = .∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.
∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.∵DP∥AC,∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD= ∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.
考点三　三角形的内切圆
1.(2019云南,13,4分)如图,△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13, CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是 (　　) A.4　    　    C.7.5　    D.9
答案    A　∵AB=5,BC=13,AC=12,∴AB2+AC2=52+122=132=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°.∵AB,AC分别与☉O相切于点F,E,∴OF⊥AB,OE⊥AC,∴∠A=∠AEO=∠AFO=90°,又∵OE=OF,∴四边形AEOF是正方形.设OE=r,则AE=AF=r,又∵△ABC的内切圆☉O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,∴BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,∵BD+CD=BC,∴5-r+12-r=13,解得r=2,∴S阴影=22=4.故选A.
2.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的☉O交斜边AC于点D,过点D作☉ O的切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H.(1)求证:E为BC的中点;(2)若☉O的面积为12π,△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,求△DEC的内切圆面积S1和四边形 OBED的外接圆面积S2的比. 
解析　(1)证明:连接OE, ∵在△ODE和△OBE中, ∴△ODE≌△OBE,∴∠DOE=∠BOE= ∠DOB,
又∵∠DAB= ∠DOB,∴∠DAB=∠BOE,∴OE∥AC,又∵O是AB的中点,∴E为BC的中点.(2)∵△AHD与△MHB都是直角三角形,且∠DAH=∠HMB,∴△AHD∽△MHB,∴其外接圆面积的比= =3,∴ = ,易得△AHD∽△MHB,∴ = = ,又∵DH=HM,∴ = ,∴∠BMH=30°=∠DAH,∴∠C=60°,又易知☉O的半径为2 ,∴AB=4 ,在Rt△ABC中,可求得BC=4,AC=8,
连接BD,由题意知△BDC是直角三角形,由(1)知E是斜边BC的中点,而∠C=60°,∴△CDE是等边三角形,且边长为2,∴△CDE的内切圆的半径r1= ,又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE= AC=4,∴四边形ODEB的外接圆的半径r2=2,∴ = .
1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为　　　    . 
解题关键　确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心, MN的长为半径的圆弧上是解题的关键.
2.(2019河北,25,10分)如图1和图2,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB= .点P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x.(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时,如图2,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小;(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 图2
解析　(1)∵☉O切CP于点P,∴OP⊥PC,即∠CPB=90°.由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC,∴tan∠CBP=tan∠DAB= ,设PC=4k,BP=3k,则BC= =5k,∴5k=15,即k=3.∴PC=12,BP=9.∴x=9. (2分)PE与BC垂直. (3分)
(2)如图,连接OP,OQ,作CK⊥AB于点K,OH⊥AP于点H,同(1)得CK=12,BK=9.∵AK=AB+BK=12,∴CK=AK.
∴∠CAP=∠ACK=45°. (4分)∵BP=4,∴AP=7,∴HP= AP= .又∵PK=BK-BP=5,∴PC=13.∵∠HOP=90°-∠OPH=∠CPK,∴Rt△HOP∽Rt△KPC.∴ = ,即 = ,∴OP= . (6分)∵∠POQ=2∠PAQ=90°,∴l = . (8分)∵ l . (9分)(3)x≥18. (10分)详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图,
 当☉O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则∠OAD=∠OPC=90°.由OA=OP得∠OAP=∠OPA,∴∠ DAP=∠CBP=∠CPA,∴BC=PC.作CK⊥AP于K,则BK=PK.由(1)知,BP=2BK=18,即x=18.当x>18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.∴x的取值范围是x≥18.
1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于 (　　) A.55°　    B.70°　    C.110°　    D.125°
答案    B　连接OA,OB.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB.∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°,∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-110°=70°.故选B. 
2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= 　　　    °. 
3.(2020内蒙古呼和浩特,16,3分)已知AB为☉O的直径且长为2r,C为☉O上异于A,B的点,若AD与过点C的 ☉O的切线互相垂直,垂足为D.①若等腰三角形AOC的顶角为120度,则CD= r;②若△AOC为正三角形,则CD= r;③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D,则CD=r;④无论点C在何处,将△ADC沿AC折叠,点D一定落在直径AB上,其中正确结论的序号为　　　    .
解析　∵∠AOC=120°,AO=OC,∴∠OCA= ×(180°-120°)=30°,∵CD为☉O的切线,∴∠DCO=90°,∴∠DCA=∠DCO-∠OCA=60°,∴CA=2CD.在Rt△ACB中,∠CAB=30°,∠ACB=90°,∴CA= AB,∴CD= AB= r,故①错.∵△AOC为正三角形,∴∠ACO=60°,∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=30°,
∴CD= CA= AO= r,故②对.当△AOC的对称轴经过点D时,AD=CD,∴四边形ADCO为正方形,∴CD=CO=r,故③对.∵∠ADC=∠DCO=90°,∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∵∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴将△ADC沿AC折叠,点D一定落在AB上,故④对.故答案为②③④.
方法指导　解决动态几何问题时,要学会化动为静,在有关圆的问题中,要精准把握圆的性质,寻找圆中的 等量关系,要注意利用数形结合的思想来解决问题.
4.(2020四川成都,20,10分)如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画☉O,☉O与边AB相 切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B= ,求☉O的半径;(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由. 
解析　(1)证明:连接OD,∵☉O与边AB相切于D,∴∠ADO=90°,∵OC=OD,AC=AD,AO=AO,∴△ACO≌△ADO(SSS),∴∠ACO=∠ADO=90°,∴OC⊥AC,又∵C为☉O上一点,∴AC是☉O的切线.(2)∵AB=10,tan B= ,∠BCA=90°,∴AC=8,BC=6,∴sin B= = ,设CO=r,则DO=r,∵∠ODB=90°,sin B= ,∴OB= = r,∴BC=OB+CO= r+r=6,∴r= .即☉O的半径为 .
(3)BD+CE=AF.证明:连接ED,由(1)得∠CAE=∠DAE,又∵AC=AD,AE=AE,∴△ACE≌△ADE,∴CE=DE.∵F为AB的中点,∠ACB=90°,∴AF=CF=BF.∴∠CAF=∠ACF,∴∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠ACF.∵∠ACB=90°,∴∠BCF=90°-∠ACF.∵OC=OE,∴∠BCF=∠OEC=90°-∠ACF.∵△ACE≌△ADE,∴∠AEC=∠AED,∴∠OEC=∠OED=90°-∠ACF,∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-(90°-∠ACF)-(90°-∠ACF)
=2∠ACF,∴∠CFD=∠DEF,∴DE=DF,∴BD+CE=BD+DF=BF,∴BD+CE=AF. 
5.(2020新疆,22,11分)如图,在☉O中,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,P是 的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.(1)求证:DP是☉O的切线;(2)若AC=5,sin∠APC= ,求AP的长. 
解析　(1)证明:连接OP.∵P是 的中点,∴ = ,∴∠DAP=∠BAP,又∵OA=OP,∴∠BAP=∠APO,∴∠DAP=∠APO,∴OP∥AD,∴∠D+∠OPD=180°,又∵PD⊥AD,∴∠D=90°,∴∠OPD=90°,又OP为☉O的半径,∴DP是☉O的切线. 
(2)连接PB,过点P作PH⊥AB,垂足为点H,过点C作CG⊥AP,垂足为点G.在△CGP中,sin∠APC= = ,∴设CG=5x,则CP=13x,∵∠DAP=∠PAB,PD⊥AD,PH⊥AB,∴PH=PD,∠D=∠PHB=90°,∵P是 的中点,∴CP=BP, 
在Rt△PDC和Rt△PHB中, ∴Rt△PDC≌Rt△PHB(HL),∴∠DPC=∠HPB,∵AC=5,CG=5x,∴sin∠DAP= = =x,∵∠DAP=∠PAB,∴sin∠PAB= = =x,∴AB=13,∴OP= ,∵∠DPO=∠APB=90°,∴∠DPC+∠APC+∠APO=∠BPH+∠OPH+∠APO,又∵∠DPC=∠BPH,∴∠OPH=∠APC,∴sin∠OPH=sin∠APC= ,∴OH= ,PH=6,AH=9,
∴根据勾股定理得,AP= =3 .
6.(2020云南,20,8分)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥CE,垂足为D,AC平分∠DAB.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若AD=4,cs∠CAB= ,求AB的长. 
解析　(1)证明:连接OC. (1分)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∵OA、OC是☉O的半径,∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥CO. (2分)∴∠ADC=∠OCE.∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠OCE=90°. (3分)∴OC⊥CE,∵OC是☉O的半径,∴CE是☉O的切线. (4分)
 (2)连接BC. (5分)∵∠DAC=∠CAB,cs∠CAB= ,∴cs∠DAC= . (6分)在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=4,∴AC= = =5. (7分)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴AB= = = . (8分)
7.(2020广西北部湾经济区,25,10分)如图,在△ACE中,以AC为直径的☉O交CE于点D,连接AD,且∠DAE= ∠ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与☉O相切于点B.(1)求证:AP是☉O的切线;(2)连接AB交OP于点F,求证:△FAD∽△DAE;(3)若tan∠OAF= ,求 的值. 
解析　(1)证明:∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠ACE+∠CAD=90°,又∠DAE=∠ACE,∴∠DAE+∠DAC=90°,∴OA⊥AP,∴AP为圆O的切线.(2)证明:连接OB, ∵PA,PB为圆O的切线,∴PA=PB,又OB=OA,OP=OP,
∴△OBP≌△OAP(SSS),∴∠BOD=∠DOA,∴ = ,∴∠FAD=∠ACE,在△AOB中,∠AOF=∠BOF,OA=OB,∴OF⊥AB,∴∠AFD=∠ADE=90°,又∵∠ACE=∠DAE,∴∠FAD=∠DAE,∴△FAD∽△DAE.(3)在Rt△OFA中,tan∠OAF= ,设OF=x,则AF=2x,OA= x,DF=OD-OF=OA-OF=( -1)x,易知∠APO=∠OAF,∴AP=2OA=2 x,由(2)知∠FAD=∠ACE,∴tan∠ACE=tan∠FAD,
即 = = ,又AC=2OA=2 x,∴AE=(5- )x,∴ = = .
8.(2020湖北武汉,21,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,AE与过点D的 切线互相垂直,垂足为E.(1)求证:AD平分∠BAE;(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值. 
解析　(1)证明:如图1,连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∵AE⊥DE,∴∠AED+∠EDO=180°,∴AE∥OD,∴∠EAD=∠ODA,∴∠EAD=∠OAD,∴AD平分∠EAB.(2)解法一:如图1,连接BD.设CD=a,BC=b. 图1∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠BDC=∠E=90°.
∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.又∵CD=DE,∴△CDB≌△DEA,∴AD=BC=b.∵∠CDB=∠CBA=90°,∠C=∠C,∴△CDB∽△CBA,∴CB2=CD·CA,即b2=a(a+b).∴ + -1=0,∴ = 或 (舍去负值).∴sin∠BAC=sin∠CBD= = .解法二:如图1,设CD=DE=a,AD=b.∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠CDB=∠CBA=∠E=90°.∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.
∴△CDB∽△CBA∽△DEA.∴BC2=CD·CA=a2+ab.由△CBA∽△DEA,得 = ,∴ = ,即 = .解得 = 或 (舍去负值).∴sin∠BAC=sin∠EAD= = .(注:如图2,过点D作DF⊥AB于点F,连接BD,则DF=DE=DC.可以由△ADF∽△ACB,△CDB∽△CBA或△ CDB≌△DEA,其中,两个组合列方程求解.)
思路分析　(1)连接OD,由ED是☉O的切线和AE⊥ED可推AE∥OD,由OA=OD可证∠EAD=∠OAD,问题 解决;(2)思路一:连接BD,设CD=a,BC=b,由AB是直径可推∠ADB=∠BDC=90°,再由∠ABC=90°,AD平分 ∠EAB,CD=DE证明△CDB≌△DEA,进一步证明△CDB∽△CBA,由此列方程求出 = 的值,问题解决;思路二:设CD=DE=a,AD=b,由AB是直径可推出∠ADB=∠BDC=90°,再由∠ABC=90°,AD平分∠EAB, 可证△CDB∽△CBA∽△DEA,得到BC2=CD·CA和 = ,由此列方程求出 = 的值,问题解决.
9.(2020四川南充,22,10分)如图,点A,B,C是半径为2的☉O上三个点,AB为直径,∠BAC的平分线交圆于点 D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.(1)判断直线EF与☉O的位置关系,并证明;(2)若DF=4 ,求tan∠EAD的值. 
解析　(1)直线EF与☉O相切. (1分)理由如下:连接OD. (2分)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠OAD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=∠EAD, (3分)∴OD∥AE. (4分)由AE⊥EF,得OD⊥EF.又∵点D在☉O上,∴EF是☉O的切线. (5分) 
(2)在Rt△ODF中,∵OD=2,DF=4 ,∴由勾股定理得OF=6. (6分)∵OD∥AE,∴ = = , (7分)即 = = ,得AE= ,ED= . (9分)∴在Rt△AED中,tan∠EAD= = . (10分)
10.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB